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1、_ 分类号： 密级： 单位代码：1 0 4 2 2 学号： 厶紊另孥 博士学位论文 S h a n d o n gU n i v e r s i t yD o c t o r a lD i s s e r t a t i o n 论文题目：i 磊乙脚如绒 多籽己寺孽割：日趣舌匀砑舳而丢： 作 专 、 B 寸 合作导 b 年年月j 一日 羞蚕薹霉要差 者业 师 师 鼍羹蔫夏藿蓥 i t L 、0 ： ， 一1 - 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
2、对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日 期：讧年剐目 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：坤师签名： l 、 山东大学博士学位论文 中文摘要 目录 英文摘要 第一章控制状态双受限半线性椭圆控制问题的超收敛分析
3、1 1 引言 1 2 最优性条件的正则性分析与有限元逼近 1 2 1最优性条件与正则性分析 1 2 2有限元逼近及其收敛性 1 3 先验误差估计 1 3 1辅助性结论 1 3 2状态变量的误差分析 1 3 3 控制的误差估计与超收敛分析 1 4 数值实验 1 4 1 实验1 ：二维空间的情况 1 4 2 实验2 ：三维空间的情况 1 5 附录：定理1 1 的证明 第二章状态受限S t o k e s 流控制问题的有限元分析 2 1 引言 2 2 最优性条件与有限元逼近 2 2 1 有限元逼近 2 3 先验误差估计 2 4 数值实验 2 4 1 数值实验1 ：一致网格 2 4 2 数值实验2 ：
4、多重网格 第三章速度L 2 一模受限S t o k e s 流的自适应有限元方法4 3 3 1 引言4 3 3 2 最优性条件与有限元离散“ 3 2 1 有限元逼近4 5 3 3 后验误差估计4 6 i i i 一 一 1 1 2 3 5 7 8 8 3 1 1 2 4 卜7 8 D l 7 9 2 一 嘣 1 1 2 3 5 7 8 8坞俎俎勉丝 卯凹勰札卵钇 山东大学博士学位论文 3 3 1 后验误差指示子 3 3 2 上界估计的证明 3 3 3 下界估计的证明 3 4 数值实验 3 4 1 数值实验1 ：自适应一套网格 3 4 2 数值实验2 ：自适应多重网格 第四章状态受限黏性不可压缩
5、流最优控制问题的数值分析 4 1 引言 4 1 1 预备知识与符号记法 4 2 最优性条件与有限元逼近 4 2 1 最优性条件 4 2 2 有限元逼近 4 3 先验误差分析 4 3 1 局部收敛性 4 3 2 误差估计 4 4 数值实验 第五章速度受限稳态N a v i e r - S t o k e s 流控制问题的自适应有限元方法 5 1 引言 5 2 最优性条件与数值离散 5 2 1 有限元逼近 5 3 后验误差估计 5 3 1 等价的误差指示子j 5 3 2 上界估计的证明 5 3 3 下界估计的证明 5 4 数值实验 5 4 1 数值实验1 5 4 2 数值实验2 第六章状态驴模受限
6、椭圆最优控制问题的数值方法 6 1 引言 6 2 最优性条件与有限元逼近 6 2 1 最优性条件 6 2 2 有限元离散 6 7 2 6 6 8 1 1 2 5 6 8 0 0 2 9 5 5 6 7 8 9 O 9 3 3 5 9 9 0 D 1 稻盯犯弱弱弘 缸缸眩酷昌够加为仡两 ：8踮船盯88蹭5； 旧加加n 山东大学博士学位论文 6 3 6 4 6 5 6 6 先验误差估计 最优性条件的牛顿算法 数值实验 6 5 1 实验1 6 5 2 实验2 附录：牛顿迭代中J a c o b i 矩阵的一个预处理 参考文献 致谢 攻读博士期间完成论文情况 作者简历 l 5 8 9 9 1 5 l
7、2 3 m m m m m m 伪 m 抛 m 山东大学博士学位论文 山东大学博士学位论文 流体及非线性最优控制的有限元方法：状态受限与超收敛分析 牛海峰 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 指导老师：羊丹平教授 摘要 偏微分方程最优控制理论是一个庞大的数学分支，涵盖了诸如时问控制，稳态控 制，回馈控制，流体控制与分析以及用于机械制造的材料设计，晶体增长，化学反应中的 最优控制等等许多方面的内容关于这方面的理论研究长期以来一直被许多学者关注， 例如文献【1 3 ，2 8 ，6 1 ，7 6 偏微分方程控制问题数值方法的研究在过去三十年中一直 是应用数学方面一个鲜活而富有生命
8、力的领域；其中，有限元方法在逼近最优控制包 括流体控制问题解方面充分展示了它的灵活性与高效性，成为此类问题应用最广泛的 数值处理方法，广大学者都已经将之作为最主要的分析手段来进行控制问题方面的数 值讨论，这方面的内容我们在文献【4 7 ，6 4 ，7 3 ，8 2 】以及它们的参考文献中可以看到详 细的介绍与展示 流体控制作为最优控制问题一个非常活跃的方面，在实际工程和应用领域变得越 来越重要起来，我们在现实的科技生活与生产实践活动中，诸如液体流，大气流，化学 工程，电磁场以及放射热源和激光技术等许多方面，都能够看到大量的借助流体控制 模型来实现某些应用目的精彩例子，如文献 5 0 】与 5
9、2 】- 【5 4 】及其引用文献中所述实际 应用与案例模型；因此在过去十多年中流体控制正在被人们关注而成为偏微分方程控 制论领域的一个热门方向，并且其理论研究已经有了长足发展，例如，在文献【1 ，7 ，1 8 ， 3 1 ，3 2 ，3 7 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 8 ，8 8 和它们的引用文献中，已经讨论并得到了关于最优 控制解的存在性，最优性条件，对偶状态和拉格朗日乘子的存在性与相应正则性等方 面的许多结果，很自然地，关于流体控制的高效、精确的数值分析与处理方法在实际应 用中也就显得尤为关键了，而有限元方法无疑成为了流体控制计算分析中一个最合适 的处理工具，就在最近
10、的一段时间里，这方面的研究工作也已经有了一些进展，如文献 【1 8 ，4 3 ，4 5 ，4 6 ，5 6 ，6 5 】中所述问题与所做工作，但是，状态受限类型问题与超收敛分析 在此方面仍有许多工作需要讨论和研究 在实际应用中，人们会经常碰到状态受限的控制问题，但是，即使是关于一个线性 偏微分方程作为约束条件的最优控制问题，在数值处理上，状态受限也可能会比控制受 限更加有难度，因为我们必须解决掉由状态约束集而产生的拉格朗日乘子的分析问题， 类似问题可以参阅文献【1 7 ，6 3 ，1 l ，2 3 ，3 0 ，6 7 ，7 5 】对应于属于连续函数空间状态的点 态约束集的拉格朗日乘子是一个R a d o n 测度，这种情况下，接触集会有不定的自由边 山东大学博士学位论文 界出现，这些工作可以查阅C a s a s 在文献【2 2 】中的工作即使如此，一些学者仍然得出 了一些这方面的数值分析结果，例如，文献【1 1 ，2 3 ，3 0 ，7 5 】但实际上，关于状态的积分 平均或者某些能量模的受限控制问题在应用中也会
