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1、海南师范大学 硕士学位论文 复模糊积分及其应用 姓名：名黄亦男 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：马生全 2011-03 I 摘 要 多分类器融合是解决复杂模式识别问题的有效办法， 而提高多分类器融合系 统的分类精确率和改善系统的稳健性，通常使用模糊积分作为一种融合工具。在 基于模糊积分的多分类器融合系统中，模糊密度决定着模糊积分，从而对分类结 果产生很大影响。基于这样的考虑，本文提出了基于多分类器融合应用的复模糊 积分，并从以下几个方面对多分类器融合进行了研究：复模糊积分定义的给出以 及讨论了相关性质定理、复模糊测度的确定、对相关样例进行了检验。首先，本 文给出了复模糊积分的概念
2、， 并将经典积分中的一些性质和定理推广到复模糊积 分上。然后，本文给出了复模糊测度的确定方法，并给出复模糊积分在多分类器 融合应用中的融合过程。最后，本文对几个样例进行了详细讨论，并证明了该方 法具有一定的可行性。 关键词：多分类器融合；复模糊积分；复模糊测度 II Abstract Multi-classifiers fusion is a powerful solution to the difficult pattern recognition problem,but who can improve the accuracy of classification and the robus
3、tness of systems ,we often use used as an integration tool for fuzzy integral .In the model of multi-classifiers fusion based on fuzzy integrals ,the fuzzy results are heavily dependent on fuzzy densities which represent the important of individual classifier to the fusion results. In this thesis, w
4、e proposed complex fuzzy integral which based on the application of multiple classifier fusion, and from the following aspects of the fusion of multiple classifiers were studied: the concepts of complex fuzzy integral,and discuss their properties and some converge theorems， methods to confirm the co
5、mplex fuzzy measure, tested on the relevant samples. Firstly, the concept of complex fuzzy integral are given, and promoted some theorems of the classical integral to the complex fuzzy integral. Secondly, methods to confirm the complex fuzzy measure are given, and the fusion process of Complex Fuzzy
6、 integral in multi-classifier fusion applications are proposed. Finally, several examples were discussed in detail and the methods are verified to be practical. Key words: Multi-classifiers fusion; complex fuzzy integral ;complex fuzzy measure 独 创 性 声 明独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果
7、。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果， 也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日期： 学位论文著作权声明学位论文著作权声明 本论文作者声明： 本论文全部成果均为本人和指导教师合作研究取得， 本人和指导教师都有权使用本 成果学术内容（有第三方约定者除外） 。 本论文为指导教师指导下，本人独自完成。本人独自享有本论文的全部著作权。 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 学位论文版权使用授权书学位论文版
8、权使用授权书 本学位论文作者完全了解海南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：海南师 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文本， 允许论文被查 阅和借阅。 本人授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 第 1 章 绪 论 1 第 1 章 绪 论 1.1 课题的国内外发展现状 模糊复分析学是模糊分析学的一个新数学分支,其发展无疑将在模糊系统 理论中有着广泛的应用。关于模糊复分析学的研究工作
9、，以美国分析学专家 Alabama 大学教授 J.J.Buckley 11989 年在国际权威刊物Fuzzy Sets and Systems上首次发表论文“Fuzzy complex numbers”为标志，象征着模糊 复分析学的诞生。依此，国内外学者们展开了模糊复分析学的诸多问题的研究 工作。如：Buckley 等先后对模糊复数的运算、模糊复函数及其运算进行了进一 步的讨论,在 9192 年间 Buckley 23对模糊复函数的微分与积分问题从一个侧 面进行了讨论，其思路已向建立模糊复分析学结构延伸。但由于模糊复分析较 模糊实分析更为复杂， 所以该学科的发展较为缓慢。 1993 年张跃 4
10、在其著作 模 糊随机动力系统中以区间数为基础对模糊复集、复模糊集、模糊复数、复模 糊数、模糊复函数等概念进行了比较系统的讨论，采用复数域 C 到0，1上的 映射给出模糊复集合概念，利用正规模糊复集合给出了模糊复数的一般概念， 结合模糊集的截集性质给出了模糊复数的四则运算； Buckley 采用映射的观点给 出了模糊复数的分析定义，他把运算看成一种映射，利用模糊数学的扩张原理 给出了模糊复数的分析运算；张跃利用实模糊数构造复模糊集，建立了复模糊 集的包含、相等、交、并、截等基本运算，取得了以复模糊集的分解定理、表 现定理、扩张原理为代表的系列重要结论4。1996 年以来，马生全5-17根据以上
11、模糊复数的定义得到了一些模糊复数的运算性质， 在 Buckley 的分析定义下， 深 刻研究了模糊复数的表现形式。在此研究工作的基础上，对模糊复分析学的基 本问题展开了系列研究，从模糊复数集到模糊复函数，讨论了模糊复函数的极 限、连续 、可微 、积分等问题，并为了模糊复分析学结构理论的完整性,初步 建立了模糊复级数理论的基本概念及收敛性的基本原则，基本上形成了模糊复 分析学的理论框架。 1954 年，法国数学家 Choquet 提出了一种被称之为容度的理论，所谓容度 是一个集函数，其定义域所设空间的幂集，值取于实数 R，且满足单调性和连续 性。 针对容度， Choquet 又定义了一种积分，
12、现已被普遍称为 Choquet 积分。 1974 海南师范大学硕士学位论文 2 年，日本学者 Sugeno 45首次提出一种非可加测度的模糊积分概念。 Sugeno 用 较弱的单调性和连续性替代经典测度定义中的可加性,得到了一种模糊测度(即 Sugeno 测度),它是经典测度论的延续,其模糊积分是实值函数关于非可加测度 的模糊积分。 1986 年， Ralescu 率先把模糊测度和模糊积分的值域推广到正半轴， 并利用简单函数重新定义了模糊积分，证明了它与 Sugeno 模糊积分的等价性， 同时得到模糊积分转化定理。 模糊积分在理论方面有了较快的发展。 在应用方面， 模糊积分被广泛应用于综合评判
13、过程 11、 聚类分析、 信息系统辨识13等诸多领域； 利用模糊数测度与积分,张文修、马计丰 46还建立了一种具有生产和交换的模糊 经济系统模型。 在分类器的应用中， 通过增加单个分类器结构的复杂度来提高分类精度通常 不能满足问题的需要， 而将多个结构较为简单的分类器进行不同策略的融合能大 大提高整体的分类精度,不失为明智的选择。对分类器的输出进行融合的方法有 很多种,最常见的有多数投票法 18、加权平均法、Borda 计数法19 Dempster-Sha fer 证据组合 20、贝叶斯方法21、神经网络22、模糊积分、决策模板23等等。 近年来，模糊积分已经成为信息融合中最常用的一个融合算子
14、，在使用模糊 积分这个非线性积分融合时， 是将各个分类器对同一事例所提供的客观证据与单 个分类器或者分类器的任意组合对融合系统的重要性进行融合。 在使用模糊积分 进行融合之前，先要确定模糊测度。模糊测度是一个非负非可加集函数，非可加 性恰恰可以用以描述分类器之间的交互作用， 它表示单个分类器或者分类器的任 意组合的重要性。目前已经提出了很多种方法来学习模糊测度、g-lambda 模糊 测度，文献24中，利用各个分类器对样本的分类能力，即根据单个分类器分对 分错样本的个数来定义单点集上的模糊测度，使用神经网络、遗传算法 25,26、启 发式搜索和优化技术 27,28,29来学习普通的模糊测度。基
15、本遗传算法只使用遗传算 子、交叉算子和变异算子这三种基本遗传算子，其遗传进化操作过程简单，容易 理解。启发式搜索按照某种策略进行最优解的搜索，使得时间复杂度相对于遗传 算法来说比较低，能够在较短的时间内完成搜索，但是有可能得到的是局部最优 解而不是全局最优解。 常见的积分融合算子有 Sugeno 模糊积分和 Choquet 模糊积分，Sugeno 模糊 积分是取大取小算子的组合，而 Choquet 模糊积分是乘积求和算子的组合，这两 第 1 章 绪 论 3 种积分很容易应用到实际问题中。 关于多分类器的融合技术已经成功地应用于包括军事领域在内的多种领域， 例如已有大量实验表明应用多分类器融合技
16、术可以突破单个分类器的性能极限， 使系统的性能较单个分类器的性能有质的飞跃。 然而由于信息融合是一个具有强 烈不确定性的复杂大系统，融合方法受到现有理论、技术、设备的限制，还没有 比较成熟的理论分析说明为什么并且在什么条件下融合系统的性能会好于单个 分类器的性能等问题，因此至今尚未形成统一的理论框架，大多数研究是针对特 定应用领域展开的，在理论研究和实际应用中仍有大量的问题有待解决。 1.2 课题的研究目的和意义 在多分类器系统中，基于模糊积分的融合方法和其他融合方法相比较，明显 特点是模糊测度能够表示分类器的重要性和分类器之间的交互作用。 在很多的实 际应用和实验中，基于模糊积分的融合方法也取得了很好的效果。在基于模糊积 分的多
