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1、 数学（二）试题 第 1 页 （共 13 页） 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题数学二试题 一、选择题选择题(18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.) (1) 函数 2 22 1 1 1 xx f x xx 的无穷间断点的个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设 12 ,y y是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x 的两个特解,若常数，使 12 yy是该方程的解, 12 yy是该方程对应的齐次方
2、程的解,则( ) (A) 11 , 22 . (B) 11 , 22 . (C) 21 , 33 . (D) 22 , 33 . (3) 曲线 2 yx与曲线ln (0)yax a相切,则a ( ) (A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n是正整数,则反常积分 2 1 0 ln1 m n x dx x 的收敛性 ( ) (A) 仅与m的取值有关. (B) 仅与n的取值有关. (C) 与,m n取值都有关. (D) 与,m n取值都无关. (5)设函数( ,)zz x y,由方程(,)0 y z F x x 确定,其中F为可微函数,且 2 0F,则 zz
3、xy xy ( ) (A) x. (B) z. (C) x. (D) z. (6) 22 11 lim nn n ij n ninj ( ) (A) 1 2 00 1 11 x dxdy xy . (B) 1 00 1 11 x dxdy xy . (C) 11 00 1 11 dxdy xy . (D) 11 2 00 1 11 dxdy xy . (7) 设向量组 12 I:, r 可由向量组 12 II:, s 线性表示,下列命题正确的是( ) (A) 若向量组I线性无关,则rs. (B) 若向量组I线性相关,则rs. 考研老司机55 百度内容商城 数学（二）试题 第 2 页 （共 13
4、 页） (C) 若向量组II线性无关,则rs. (D) 若向量组II线性相关,则rs. (8) 设A为 4 阶实对称矩阵,且 2 AAO,若A的秩为 3,则A相似于 ( ) (A) 1 1 1 0 . (B) 1 1 1 0 . (C) 1 1 1 0 . (D) 1 1 1 0 . 二、填空题填空题(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上.) (9) 3 阶常系数线性齐次微分方程220yyyy的通解为y . (10) 曲线 3 2 2 1 x y x 的渐近线方程为. (11) 函数ln 1 20yxx在处的n阶导数 0 n y=. (12) 当0时,对数
5、螺线re的弧长为. (13) 已知一个长方形的长l以 2cm/s的速率增加,宽w以 3cm/s的速率增加.则当 cm12l ,cm5w时,它的对角线增加的速率为. (14)设,A B为 3 阶矩阵,且 1 32,2ABAB ，,则 1 AB=. 三、解答题解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 11 分) 求函数 2 2 2 1 ( )() x t f xxt ed 的单调区间与极值. (16)(本题满分 10 分) ( I ) 比较 1 0 lnln 1 n ttdt 与 1 0 ln n tt
6、dt 1,2,n 的大小,说明理由； ( II ) 记 1 0 lnln 1 n n uttdt 1,2,n ,求极限lim n n u . (17)(本题满分 10 分) 设函数( )yf x由参数方程 2 2,( 1) ( ) xtt t yt 所确定,其中( ) t具有 2 阶导数,且 考研老司机55 百度内容商城 数学（二）试题 第 3 页 （共 13 页） 5 (1)(1)6. 2 ，已知 2 2 3 , 4(1) d y dxt 求函数( ) t. (18)(本题满分 10 分) 一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放,当 油罐中油面高度为 3
7、 2 b时(如图),计算油的质量.(长度单位为 m,质量单位为 kg,油的密度为 常数kg/m 3) (19) (本题满分 11 分) 设函数( , )uf x y具有二阶连续偏导数,且满足等式 222 22 41250 uuu xx yy ,确 定a,b的值,使等式在变换,xayxby下化简为 2 0 u . (20)(本题满分 10 分) 计算二重积分 22 sin1cos2 D Irrdrd ,其中 ,|0sec,0 4 Drr . (21) (本题满分 10 分) 设函数( )f x在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且(0)0f, 1 (1) 3 f,证 明：存在 1 (0,
8、 ) 2 , 1 ( ,1) 2 ,使得 22 ( )( )=.ff (22)(本题满分 11 分) 设 11 011 1 a Ab ，,已知线性方程组Axb存在两个不同的解 ( I ) 求,a; ( II ) 求方程组Axb的通解. (23)(本题满分 11 分) 考研老司机55 百度内容商城 数学（二）试题 第 4 页 （共 13 页） 设 014 13 40 Aa a ,正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角矩阵,若Q的第 1 列为 1 (1, 2,1) 6 T ,求, a Q. 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题参考答案数学二试题参考答案
9、 一、选择题选择题 (1)【答案】 (B). 【解析】因为 2 22 1 ( )1 1 xx f x xx 有间断点0, 1x ,又因为 22 000 (1)11 lim ( )lim1lim1 (1)(1) xxx x x f xx xxxx , 其中 22 00 11 lim11, lim11 xx xx xx ,所以0 x 为跳跃间断点. 显然 1 12 lim( )1 1 22 x f x ,所以1x 为连续点. 而 2 11 (1)1 lim( )lim1 (1)(1) xx x x f x xxx ,所以1x 为无穷间断点,故答案选择 B. (2)【答案】 (A) 【解析】因 12 yy是 0yP x y 的解,故 1212 0yyP xyy ,所以 1122 ( )0yP x yyp x y , 而由已知 1122 ,yP x yq xyP x yq x ,所以 0q x, 又由于一阶次微分方程 yp x yq x 是非齐的,由此可知 0q x ,所以 考研老司机55 百度内容商城
