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1、 数学(三)试题 第 1 页 (共 14 页) 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一、选择题选择题(18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.) (1) 若 0 11 lim1 x x a e xx ,则a等于( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设 12 ,y y是一阶非齐次微分方程 yp x yq x 的两个特解,若常数，使 12 yy是该方程的解, 12 yy是该方程对应的齐次方程的解,则( )
2、 (A) 11 , 22 . (B) 11 , 22 . (C) 21 , 33 . (D) 22 , 33 . 【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2). (3) 设函数 ,fxg x具有二阶导数,且 0gx,若 0 g xa是 g x的极值,则 f g x在 0 x取极大值的一个充分条件是( ) (A) 0fa. (B) 0fa. (C) 0fa. (D) 0fa. (4) 设 10 10 ln, x f xx g xx h xe,则当x充分大时有( ) (A) g xh xf x. (B) h xg xf x. (C) f xg xh x. (D) g xf xh x. (
3、5) 设向量组 12 :, r I 可由向量组 12 :, s II 线性表示,下列命题正确的是 ( ) (A) 若向量组I线性无关,则rs. (B) 若向量组I线性相关,则rs. (C) 若向量组II线性无关,则rs. (D) 若向量组II线性相关,则rs. (6) 设A为 4 阶实对称矩阵,且 2 OAA,若A的秩为 3,则A相似于 ( ) 考研老司机55 百度内容商城 数学(三)试题 第 2 页 (共 14 页) (A) 1 1 1 0 . (B) 1 1 1 0 . (C) 1 1 1 0 . (D) 1 1 1 0 . (7) 设 随 机 变 量X的 分 布 函 数 0,0 1 (
4、),01 2 1,1 x x F xx ex , 则1P X = ( ) (A) 0. (B) 1 2 . (C) 1 1 2 e. (D) 1 1 e. (8) 设 1( ) f x为标准正态分布的概率密度, 2( ) fx为1,3上均匀分布的概率密度,若 1 2 ( )0 ( )(0,0) ( )0 af xx f xab bfxx 为概率密度,则, a b应满足 ( ) (A) 234ab. (B) 324ab. (C) 1ab. (D) 2ab. 二、填空题填空题(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上.) (9) 设可导函数( )yy x由方程 2
5、 2 00 sin x yx t edtxt dt 确定,则 0 x dy dx . (10)设位于曲线 2 1 () (1 ln) yex xx 下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是. (11) 设某商品的收益函数为( )R p,收益弹性为 3 1p,其中p为价格,且(1)1R,则( )R p= . (12) 若曲线 32 1yxaxbx有拐点( 1,0),则b . (13) 设A,B为 3 阶矩阵,且3A ,2B , 1 2AB ,则 1 AB. 考研老司机55 百度内容商城 数学(三)试题 第 3 页 (共 14 页) (14) 设 12 , n X X
6、X是来自总体 2 ( ,)N (0)的简单随机样本,统计量 2 1 1 n i i TX n , 则 E T . 三、解答题解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 10 分) 求极限 11 ln lim(1) xx x x . (16) (本题满分 10 分) 计算二重积分 3 () D xy dxdy ,其中D由曲线 2 1xy与直线20 xy及 20 xy围成. (17) (本题满分 10 分) 求函数2uxyyz在约束条件 222 10 xyz下的最大值和最小值. (18)(本题满分 10
7、分) ( I ) 比较 1 0 lnln 1 n ttdt 与 1 0 ln n tt dt 1,2,n 的大小,说明理由 ( II ) 记 1 0 lnln 1 n n uttdt 1,2,n ,求极限lim n n u (19) (本题满分 10 分) 设 函 数( )f x在0,3上 连 续 , 在0,3内 存 在 二 阶 导 数 , 且 2 0 2 (0)( )(2)(3)ff x dxff , ( I ) 证明存在(0,2),使( )(0);ff ; ( II ) 证明存在(0,3),使( )0f (20)(本题满分 11 分) 设 11 011 1 a Ab ， 已知线性方程组Ax
8、b存在 2 个不同的解 ( I ) 求,a; ( II ) 求方程组Axb的通解. (21)(本题满分 11 分) 考研老司机55 百度内容商城 数学(三)试题 第 4 页 (共 14 页) 设 014 13 40 Aa a ,正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角矩阵,若Q的第 1 列为 1 (1, 2,1) 6 T ,求, a Q (22) (本题满分 11 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 22 22 ( , ) xxy y f x yAe ,x,y, 求常数A及条件概率密度 | ( | ) Y X fy x (23)(本题满分 11 分) 箱中装有 6 个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机取出 2 个球, 记X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数. ( I ) 求随机变量(, )X Y的概率分布； ( II ) 求(, )Cov X Y. 考研老司机55 百度内容商城
