《抛物型方程差分法.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物型方程差分法.（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物型方程差分法 一、研究对象 1. 研究的对象 抛物型方程. 一维问题： 二维问题： 方程 + 适当的初边值条件解决问题： 物理意义：细杆、薄板的热传导现象 考虑一维热传导方程： 其中 a 0 为常数。 边界条件 初始条件 物理意义：长度为 1，侧表面绝热的均匀细杆，初始 温度已知，细杆两端的温度已知，则杆内部的温度 分布函数 满足以上方程。 1. 区域剖分(区域离散） 用两族平行线 将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。 网格节点 h 空间步长， 时间步长， x t O 二、建立差分格式向前欧拉方法 2. 原方程弱化为节点处的离散方程 连续方程 离散方程 关于时间的一阶偏导数用向前差商近似
2、， 误差为 关于空间的二阶偏导数用中心差商近似， 误差为 3.处理方程 中的偏导数 将上面的式子代入离散方程，可得 将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项 ，则可以建立以下向前欧拉差分格式： 可见上述格式的局部截断误差为 4.差分格式的求解 已知结点 时间渐进显格式 x t O 5.编程实现的基本环节 第一步，参数设置，如剖分数，节点坐标，a, 已知函 数 (x), f (x, t ), 时间、空间步长等。 第二步， 初始和边界条件确定 第三步， 循环： 用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布 第四步， 输出 三、数值算例（向前欧拉方法 ） 原方程的真解为 课堂上完成。观察数值结果，分析其原因。
3、 四、数值格式的理论分析 1. 局部截断误差（相容性） 2. 扩张矩阵的特征值（稳定性） 数值计算主要误差来源： 离散误差（相容性） 即逼近误差 考察差分格式的好坏 误差传播 + 稳定性 Lax等价定理：相容性成立，则稳定性等价于收敛性。 收敛性 向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保 证。 接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重
4、要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。 考察以下带零边界条件的齐次抛物型方程初边值问题 则对应的向前欧拉数值格式为 为讨论方便，上面的格式可以写成以下矩阵形式： 也可以简写成 ，从而有 若在初始时刻有误差为 ，即初始时刻 我们用 作为初值进行计算，则到第 k个时间步， 就有数值解 ，这样误差传播的规律为 要使误差不增长，即保证数值格式稳定，其充分必要 条件是：正规矩阵 A 的特征值的模均小于等于1。 事实上， A 是一个三对角实对称矩阵，是正规矩阵， A为正规矩阵 定理： N 阶的三对角矩阵 的 N 个特征值为 于是，由定理可得 m 1阶矩阵A的特征值为 即 于是，向
5、前欧拉格式稳定 即， 从而要求 易见，只要 就可以保证数值格式稳定。 称为稳定性条件 对于非齐次方程、非零边界条件的情形，其稳定性 分析仿上，只是差分格式现在变成 其中向量 依赖于方程的右端项和边界条件。 对 递推可得 如果在初始时刻有误差 ，则在第 k 个时 间层上，就有数值解 这样误差传播的规律仍然为 所以，本质上仍要求 A的特征值模小于等于1 才能保 证数值格式稳定。所以，今后我们都只对齐次方程、 零边界的情况进行稳定性分析即可。 从前面的分析可知，向前欧拉显格式由于稳定性的 限制，要求在计算时选取合适的步长，这给计算带来 了不便。 显格式 隐格式 向前欧拉显格式 向后欧拉隐格式 五、建
6、立差分格式向后欧拉方法 关于时间的一阶偏导数用向后差商近似， 误差为 关于空间的二阶偏导数仍用中心差商近似， 误差为 将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项 ，则可以建立以下向后欧拉差分格式： 可见上述格式的局部截断误差仍为 整理上面的格式，并仍记网比 ，则有 可以将向后欧拉格式写成矩阵形式以便于编程求解 及进行后续的稳定性分析。 在每一个时间层上用追赶法解线性方程组就能得 到该层上各节点的数值解。所以实际计算时，在每一 个时间层都需要求解一个线性方程组，计算成本较 高。 由于线性方程组的系数矩阵是对角占优的，所以向 后欧拉差分格式唯一可解。 数值格式的具体理论分析 再讨论稳定性。此处只考虑齐次
7、方程、零边界的情况。 记作 即 只需要考虑 m 1 阶矩阵 的特征值。 注意到 A 的特征值与 的特征值互为倒数， 而A 的特征值为 从而 的特征值为 显然有 . 这说明无论网比 r 的取值如何（也就是无论时间、空 间步长如何选取），原数值格式恒稳定，即该格式是 无条件稳定的，后面的数值解算例也证明了这一点。 最后，因向后欧拉格式的局部截断误差为 ， 从而此数值格式与原问题是相容的，且它又是无条件 稳定的，所以数值解收敛到精确解，且 四、数值算例（向后欧拉方法） 原方程的真解为 抛物型方程的Crank-Nicolson方法之引例 1. 尽可能提高精度 2. 保留无条件稳定性 一阶偏导用中心差商
8、 用隐格式 一、Richardson 格式 关于时间的一阶偏导数改用中心差商近似， 误差为 关于空间的二阶偏导数仍用中心差商近似， 误差为 将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项 ，则可以建立以下Richardson格式： 可见上述格式的局部截断误差为 经过整理可得， 这是一个三层格式。 需要知道第1层上的信息。 注意到 于是第1层上内部节点的信息可取 或者 然后取 数值算例： 原方程的真解为 或者 数值结果显示不收敛。 不收敛的原因是因为Richardson格式不稳定。 有时设计数值格式不是想象中的那么难，甚至 是“水到渠成”的，但最后的数值结果未必如我们 想象中的完美，有时结果是完全有悖于我们的初衷 的，所以在对微分方程进行数值计算时，两手都要 硬，也就是既要能熟练编写程序，也要能对程序运 行后的结果进行严密的理论分析，这样才有助于我 们今后在微分方程数值计算领域系统地研究更复杂 的问题。 具体分析略。
