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1、第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等 中考数学 (福建专用) 1.(2016厦门,3,3分)如图,点E,F在线段BC上,ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对 应顶点,AF与DE交于点M,则DCE= ( ) A.B B.A C.EMF D.AFB 五年中考 A组 2014-2018年福建中考题组 答案 A ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,DCE=B,故选A. 2.(2016莆田,6,4分)如图,OP是AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件, 不能判定POCPOD的选项是 ( ) A.PCOA,PDOB B.OC=OD C.OPC=O
2、PD D.PC=PD 答案 D A项,PCOA,PDOB得出PCO=PDO=90,根据AAS可判定POCPOD; B项,OC=OD,根据SAS可判定POCPOD;C项,OPC=OPD,根据ASA可判定POC POD;D项,PC=PD,根据SSA不能判定POCPOD. 3.(2015龙岩,8,4分)如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交ABC的 平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为 ( ) A. B. C. D.1 答案 D 由题意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因为BP是ABC的平分 线,所以点P到AB的距离等于点P到BC的距离,
3、即为1,故选D. 4.(2014福州,6,4分)下列命题中,假命题是 ( ) A.对顶角相等 B.三角形两边的和小于第三边 C.菱形的四条边都相等 D.多边形的外角和等于360 答案 B 根据三角形三条边之间的关系可知B是错误的,故选B. 5.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的 长等于 . 答案 6 解析 D,E分别是边AB,AC的中点, DE是ABC的中位线. BC=2DE,DE=3,BC=6. 6.(2014福州,15,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点 F,使
4、CF= BC.若AB=10,则EF的长是 . 答案 5 解析 在RtABC中,ACB=90,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,DE= BC,DE BC,AD=5,AE=EC, AED=90. CF= BC,DE=FC. 在RtADE和RtEFC中, AE=EC,AED=ECF=90,DE=FC, RtADERtEFC(SAS),EF=AD=5. 7.(2017福建,18,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:A=D. 证明 BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在ABC和DEF中, ABCDEF,A=D. 8.(2017福
5、建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别 交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 解析 如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点. 证明如下: ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90. BAC=90,AQP+ABQ=90. ABQ=PBD,BPD=AQP. BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ. 9.(2016福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC. 求证:BAC=DAC. 证明 在ABC与ADC中, ABCADC(SSS).BAC=DAC
6、. 10.(2016宁德,19,8分)如图,D是AC上一点,AB=DA,DEAB,B=DAE.求证:BC=AE. 证明 DEAB,BAC=ADE. 在ABC和DAE中, ABCDAE.BC=AE. 11.(2016泉州,20,9分)如图,ABC、CDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点E在 AB上.求证:CDACEB. 证明 ABC、CDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90, CE=CD,BC=AC,ACB-ACE=DCE-ACE, 即ECB=DCA, 在CDA与CEB中, CDACEB. 12.(2016南平,25,14分)在矩形ABCD中,ADC的平分线DE与BC边所在的直
7、线交于点E,点P是 线段DE上一定点(其中EPPD). (1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将DPF绕点P逆时针旋转90后,角的两边PD、PF分 别交射线DA于点H、G. 求证:PG=PF; 求证:DG+DF= DP; (2)如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGPF,交射线DA于点G,你认为中 DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请直接写出它们所 满足的数量关系式. 解析 (1)证明:GPF=HPD=90, GPH=FPD, DE平分ADC,ADC=90,PDF=ADP=45, HPD为等腰直角三角形, DHP=PDF=45,
8、 在HPG和DPF中, HPGDPF,PG=PF. 由知,HPD为等腰直角三角形,HPGDPF, HD= DP,HG=DF, HD=HG+DG=DF+DG,DG+DF= DP. (2)不成立,数量关系式应为DG-DF= DP. 评析 本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综 合运用,灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移为其他两线段间关系是解 题的关键. 13.(2016漳州,25,14分)现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角 板两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N. (1)如图1,若点O与点A重合,则OM与
9、ON的数量关系是 ; (2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由; (3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么 图形; (4)图4是点O在正方形外部的一种情况. 当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确 的结论(不必说明理由). 解析 (1)OM=ON. (2)OM=ON仍然成立. 如图,过O作OEBC于E,OFCD于F, OEM=OFN=90,O是正方形ABCD的中心, OE=OF,EOF=90, 2+3=90,1+2=90, 1=3,OEMO
10、FN,OM=ON. (3)如图,过O作OEBC于E,OFCD于F, OEM=OFN=90,C=90, 2+3=90,1+2=90, 1=3,OM=ON, OEMOFN,OE=OF, 点O在BCD的平分线上, 若点O在BCD的平分线上,类似于(2)的证明可得OM=ON,点O在正方形内(含边界)移动过 程中形成的图形是线段AC. (4)O在移动过程中所形成的图形为直线AC. B组 20142018年全国中考题组 考点一 三角形的相关概念 1.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且 DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则ED
11、C的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10 答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90, AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D. 2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD. 若B=40,C=36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24 答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA- C=34,故选C. 3.(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能
12、组成钝角三角形的是 ( ) A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,7 答案 C 由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形. 设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且abc2,则 三角形为锐角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形. 32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C. 4.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42, A=60,则BFC= ( ) A.118 B.119 C.120 D.121 答案 C 在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42
13、=78. BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC= ABC=21,FCB= ACB=39, BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C. 评析 本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题. 5.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根, 则三角形的周长为 . 答案 16 解析 x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16. 6.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在
14、ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一 点.若DE平分ABC的周长,则DE的长是 . 答案 解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长, AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF, ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH= AC, 所以AF= AC= ,DE= AF= . 思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求 得AF的长,从而求得DE的长. 解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可2以考虑运用中位线性质来解答. 7.(2014江苏扬州,14,3分)如图,ABC的中位线DE=5 cm,把ABC沿DE折叠,使点A落
