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1、兰州大学 硕士学位论文 复杂系统中的随机路径分析方法 姓名：毛英臣 申请学位级别：硕士 专业：物理学、理论物理 指导教师：汪映海 20030501 兰州大学崭览生掌伍 e 文 中文摘要 由于非线性效应的作用，对L a n g e v i n 方程一般很难进行解析处理。 常规的处理方法是将其转化为相应的F o k k e r - P l a n c k 方程，通过讨论概 率密度的分布形式及其演化，了解系统的信息，但是由于研究方法的局 限性，只能获得系统整体演化的瞬时信息。 本文较为详细地介绍了最近提出的随机路径分析方法及其在双稳 态系统中的应用。具体是结合G i n z b u r g L a
2、n d a u 势利用随机路径分析方 法对双稳态系统进行了单路径的描述，进而讨论了双稳态系统的随机共 振现象。然后，针对神经生物学中的H H 模型这一典型的复杂系统，将 其转化为随机微分方程形式，并且利用随机路径分析方法探讨了内噪声 对神经元动作电位发放形式演化规律的作用。从分析结果可以看出，动 作电位的发放形式在上述情况下偏离无噪声时的概率很小。可以初步认 为内噪声对动作电位的发放规律的影响很小，神经元系统动作电位发放 的动力学机制自身存在内禀的鲁棒性。 最后，本文对随机路径分析方法及其应用作了总结，并对随机路径 分析方法处理复杂系统的现象学行为和动力学行为进行了简单讨论。 兰州夫掌料宽生掌
3、伍论文 A B S T R A C T I ng e n e r a l ，i ti sd i f f i c u l tt oa n a l y s i sL a n g e v i ne q u a t i o nd u et ot h ee f f e c to f n o n l i n e a r i t y T h e n o r m a l i z a b l es o l u t i o ni sF o k k e r - P l a n c k e q u a t i o n t r a n s f o r m e df r o mL a n g e v i ne q u a
4、 t i o n B u ti tj u s tc a nb ee x t r a c t e ds o m e i n f o r m a t i o na b o u tt h ew h o l e p i c t u r e o f c o m p l e xs y s t e m s f r o mt h e d i s t r i b u t i o na n dt h ee v o l u t i o no f p r o b a b i l i t yd e n s i t y F i r s t l y , w em a k e ac o m p r e h e n s i v
5、 ei n t r o d u c t i o na b o u tS t o c h a s t i cP a t h w i s e M e t h o d ( S P M ) ，a n d i t sa p p l i c a t i o ni nt h eb i s t a b l es y s t e m T h ep a t h w i s ea n d s t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nG i n z b u r g - L a n d a um o d e la r es c h e m a t i c a l l ys t u d
6、i e d w i t h S P M F o l l o w i n g l y , t h eH o d g k j n H u x l e y ( H H ) m o d e l ，a t y p i c a l c o m p l e xs y s t e m ，i sd e s c r i b e dw i t hs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n dt h e n o i s ee f f e c to fs p i k eo fn e l l r o ns y s t e m si si n
7、 v e s t i g a t e dw i t hS P M P r i m a r i l y i ti sd e e m e dt h a tt h ei n t e r n a ln o i s ep l a ya s m a l lf u n c t i o n ，s oi ti sc o n j e c t u r e d t h a tt h e r ei si n t r i n s i cr o b u s t n e s si nt h es p i k i n gb e h a v i o ro f t h em e m b r a n e p o t e n t i
8、a l F i n a l l y , w em a k e ac o n c i s ec o n c l u s i o na b o u tS P M a n di t sa p p l i c a t i o n ，a n d p r e s e n t as i m p l ed i s c u s s i o nf o rp h e n o m e n o l o g i c a lb e h a v i o r sa n dd y n a m i c a l p r o p e r t i e so f t h ec o m p l e xs y s t e m w i t hS
9、 P M 兰州夫学研宽生掌伍论文 从词源学来说，噪声“n o i s e ”这个词可以追溯到古法语的“n o y s e ” 和l 1 世纪P r o r e n c e l 时期的“n o y s a 、n o s a 、n a u s a ”。但是我们对它真正 的词源学来源仍然认识不足 1 】，就如同对它的真正意义和作用的认识 样，我们是那样的模糊，那样的不确定。人们对噪声的认识以及各种不 甚明确的定义都只涉及到它不利的面。1 9 世纪德国物理学家 H c l m h o l t z 用噪声去描述那些没有乐感的声音，从物理上说就是那些由 非周期振动而产生的声音。在日常生活中，噪声常常被人们
10、用以描述任 何不堪忍受的大分贝声音或心理所难以接受的声音。在电子工程里，噪 声常常被理解为没有任何实际意义的信号，例如接听电话时，在电话机 里听到的“滋滋”声；还有上世纪8 0 年代黑白电视机上的“雪花”等 等。在统计物理里，噪声最初是在研究布朗运动时被提出的，它指的是 液体分子对花粉颗粒无规则的碰撞力，或者也可以说是对人们所要准确 理解系统的运动状态时，对系统影响不大可又不得不考虑的随机力。长 此以往人们就很自然地“思维定势”了，一般想当然地认为噪声是有害 的东西，它阻碍了我们更自由地认识自然，认识世界，享受生活。 噪声果真如此吗? 难道它就一无是处吗? 上世纪8 0 年代初的“随 机共振”
11、为人们立体地理解噪声打开了那扇原本就没有关闭的大门，揭 去了人们对噪声错误认识的面纱。 本文共分五章，第一章详细地介绍了随机共振的发展回顾及物理机 制。第二章主要介绍了我们解析工作的数学物理基础随机路径分析 方法。第三章我们利用单路径方法对随机共振进行了讨论，主要讨论具 体的势- - - - G i n z b u r g - L a n d a u 势的情况。第四章将随机路径方法应用到 生物学的H 州模型中，得到了在小噪声对动作电位的发放形式影响很小 的结果。在最后一章里，我们对本文简单地做了一下总结并对可能用 到随机路径分析方法的一些复杂系统做了大致地讨论。 兰搠夫掌晴宽生攀匠论文 第一章
12、随机共振的发展回顾及物理机制 1 1 随机共振的研究回顾 随机共振( S t o c h a s t i cR e s o n a n c e ，简记为S R ) 的概念是由B e n z i 和 他的合作者在研究地球古气象的冰川问题时于1 9 8 1 年提出的f 2 6 】。过 去1 0 0 多万年大陆冰山体积变化的统计数据表明地球的冰川期和间冰 期( 暖气候期) 大约以l O 万年的周期交替出现。而天文时间尺度 地球绕太阳转动的偏心率变化周期大约也是I O 万年。两个时间尺度的 相同意昧着太阳对地球施加了周期变动的信号。然而由于太阳辐射到地 球表面的能量只占太阳辐射能量的0 ，I ，因此这
13、一信号的幅度应该很 小，其本身并不足以引起地球气候从冰川期到闻冰期的如此大幅度的变 动( 实际的变化幅度是1 0 的量级) 。B e n z i 等人首先认识到只有将这 个调制信号与地球本身所处非线性条件以及在这一时期内地球所受的 各种随机力的作用结合起来，研究它们的协同作用，才可能解释上述的 气候变化现象。在B e n z i 等人的气候模型中【7 ，8 。地球处于非线性条 件下，这种非线性条件使地球可能取冷态( 冰川期状态) 和暖态( 间冰 期状态) 两种状态。地球离心率的周期变化使气候有可能在这两态之间 变动，但是由于上述提到的原因，这种变动的几率会非常的小，而地球 所受的随机力( 如太
14、阳常数的各种无规变化，地表的各种自然、人文话 动等等) 则极大的提高- f d , 的周期信号对非线性系统的调制能力。当两 态变动几率( K r a m e r sr a t e ) 和地球离心率的变动频率达到同步时【3 ，6 】， 随机共振现象就发生了，这使得地球气候在两态之间的变动几率大大增 大，从而引起了地球古气象的大幅度地周期变动。 随机共振现象不可能在古气象中被直接检验，但是它可以在物理实 验中再现。一般能够产生随机共振现象的模型都包含三个不可或缺的要 素：具有双稳或多稳态的非线性系统；调制信号( 其幅度并不足以引起 两态之间的变动) ；噪声。第一个用物理方法再现随机共振现象的实验
15、是由F a u v e 和H e s l o t 于1 9 8 1 年在S c h m i t t 触发器电路系统上完成的【9 】。 如图la 所示，S c h m i t t 触发器的基本特点是有两个稳态输出圪，而 兰州大掌研宅生学位伧文 丐 R l o l l ) R ( t i x ) 图l a S c h m i t t 触发器电路 图l b 传输曲线 某时刻系统处于那一稳态则要取决于输入K 和系统的初始条件。图l b 是传输曲线，当输A v , v 0 后，输出v o = 一V o ，若K 继续减小，V o 同样 保持不变。具体的实验方法是对电路输入调制性信号A c o s ( 2
16、斫) 和噪声 H ( t ) ，并测量输出信号矿( ，) 对输入的响应，考察输出功率谱中噪声的 作用。输出的功率谱为 1F s ( c o ) = 【 P d t Z 石” 其中T 为远大于1 ，厂的时间间隔。F a u v e 和H e s l o t 最先借鉴电路学里的 信躁比( s i g n a l t o n o i s er a t i o ，简记S N R ) 来定量地考查随机共振的特性。 S N R 定义为输入频率，上的谱高与厂附近背景噪声的平均谱高之比。 S c h m i t t 触发器电路系统 有两个特征时间，个是 系统的K r a m e r s 时间 “= e x p 【U D ) ( 可以看出t 只与噪声 强度O 有关，U = V 。是常 值) ，另一个是调制信号 周期。当两个特征时间相 同时，我们就从图2 中观 察到了“共振”现象。 图z 信噪比S N R 随噪声强度D 的变化曲线【2 】。图中a 、 b 、c 三条曲线分别对应于信号强度O
