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1、年 月计 算数学第 卷第 期 ， ， 正倒向随机微分方程组的数值解法 赵卫东 （山东大学数学学院 金融研究院 ，济南 ） 摘 要 年，和（彭实戈）解决了 非线性倒向随机微分方程 （ ，）解的存在唯 一性 问题 ，从而建立了正倒向随机微分方程组 （ ，）的理论基础；之后，正倒向随机微分方程 组得到了广泛研究，并被应用于众多研究领域中，如随机最优控制、偏微分方程、金融数学、风险 度量、非线性期望等 近年来 ，正倒向随机微分方程组的数值求解研究获得了越来越多 的关注，本 文旨在基于正倒向随机微分方程组的特性，介绍正倒向随机微分方程组的主要数值 求解方法 ？ 我 们将重点介绍讨论求解 的积分离散法和微
2、分近似法，包括 一步法和 多步法 ，以及相应的 数值分析和理论分析结果 微分近似法能构造出求解全耦 合的髙效髙精度并行数值方 法，并且该方法采用最简单的 方法求解正向随机微分方程 ，极大地简化了问题求解的复杂 度 文章最后 ，我们尝试提出关于 数值求解研究面临的 一些亟待解决和具有挑战性的问 题 关键词 ：正倒向随机微分方程组 ；数值解法；积分通近；微分通近 （）主题分类： ， 引言 正倒向随机微分方程组（ ，） 由定义在带有信息流的概率空间中给定初始条件的正向随机微分方程（ ？ ，）和给定终端条件的倒向随机微分方程（ ，）组成 作为随机控制问题中的伴随方程 ， 年 首次引入了线性倒向随机微分
3、方程 的概念，并研究了该类方程解的存在唯 一性 年 ， 和 得到了非线性倒向 随机微分方程解的存在唯 一性 ？这 一重要研究成果奠定了 正倒向随机微分方程组的理论基础 随后 ，通过非线性 公式 ， ，和提出 了研究正倒向随机 微分方程组的 四步法，该方法证明了在任意时间区间上的解的存在唯 一性 ；在 一定单调性假设 下，对任意固定的时间区间，和 和 用纯概率方法（也被称为连续性 方法） ，给出了正倒向随机微分方程组解存在唯 一性结 果 ， 引进了“ 桥 ” 的概念，使 得这 一方法更加系统化 年 ， 在 ， 中首次给出了拟非线性偏微分方程组解的概率表示 ，这 一 表示建立了正倒向随机微分方程组
4、与偏微分方程组 （） 之间的深刻联系 ？和 给出了弱耦合形式的 与拟线性抛物型 的联系，证明了拟线性抛物 年月日收到 基金项 目 ：国家自然科学基金 （ ） 计 算 数学年 型 粘性解的存在性； 和 ， 在全稱合 的框架下证明了拟线性 粘性解的存在性随着研究的深入，更多形式丰富的正倒向随机微分方程组被引入，如非耦 合正倒向随机微分方程组（ ） 、弱耦合正倒向随机微分方程组（ ？ ） 、全耦合正倒向随机微分方程组（ ）丨 丨 ，正倒向 双重随机微分方程组 （ ） ， 以及带跳的正倒向随机微分方程组 （ ） ， ， 和带反射的正倒向随机微分方程组 （ ） 剛 等，并与更 一般形 式的 建立了深刻的
5、联系 经过几十年的研究历程，正倒向随机微分方程组的理论研 究取得了许多重要的成果并日臻完善，有兴趣的读者可参阅有关文献，如 和 ， 等 】 ， 和 】 ， 一 】 ， 和 【 ， ， ， 。 ，。 】 ，以及其中的参考文献 正倒向随机微分方程组可应用于很多重要的研究领域，如金融数学 ， ， ， ， ，随机 最优控制 丨 对策 ， ， ，非线性期望 ， 以及相关领域；许多不确定实际问题也可由正倒向随机微 分方程组来刻画 然而，通常情况下， 的显式解很难找到 因此，研究正倒向随机微分 方程组的解（主要是数值解）对其理论研究，特别是对其应用研究至关重要 正倒向随机微分方程组 （ ）的复杂性、随机性以
6、及信息量的庞大性 ，使得 数值解法的研究滞后于的数值方法的研究 ， ， 以及 的理论研究 尽管 如此，随着科学技术的发展，特别是科学计算机技术的发展， 的科学计算方法及应用 研究也取得了 一定 的研究成果 国际上很多著名学者对正倒向随机微分方程组的数值解法进行了研究 方法主要包括 ： ）利用 的解和 解的关系，即非线性 公式，通过数值求解相应 的 对 近似求解 丨 ） 结合 ？ 化（迭代法 ， ？呢 【丨 提出 了 一种 局部线性化求解的数值方法 ）通过近似布朗运动和 的生成元来近似 ， 然后求解近似的 得到求解 的数值方法，并在适当条件下得到了数值 解的弱收敛性 ）直接从 或 本身出发 ，
7、則 研究了 解的性质，提出了的半阶 格式 ，并在较弱的正则性假设下研究了格式 收敛性 等 丨 ， ， 】 利用函数基迭代回归提出了求解非耦合 的数值格式， 和 叫 提出研究了非耦合 的 格式及其在金融中的应用 ； 和 丨 通过目标函数的最优控制 ，提出求解 的正向求解格式；结合与 相 应的控制问题， 和 提出了求解 的最速下降法 上面所提求解 的方法 ，基本上是格式或其变种，精度较低 本文致力于从 本身及其解的结构特征出发 ，结合确定性科学计算方法，提出求解 的高精 度数值格式，主要包括 ？格式 、 二阶格式和多步格式 ，和 提出求解 一般 形式的 的 格式，其理论误差估计见 ， ？ 当 ，
8、且时，该格 式是 一阶收敛 的 ，当时 ，格式是二阶的 ，和 给出了求解 的广 义士格式，并证明 了该格式的高精度性 对弱耦合的 ，文章 研究了改进的 格式的误差估计 ，得到 一阶收敛误差估计结果 在 ， ， 中 ，作者对非耦合的 提出 了单步二阶格式，并给出 了严格的理论证明 ，和 提出了求解 的高精度多步数值格式 ， ，和 （） 将该多步格式推广到多维情形，提 出了求解多维 的稀疏网格法 ，和 通过引入倒向正交多项式构造 新的布朗运动，提出 了求解非耦合 的髙精度多步数值格式 根据 解的特性 ， 期赵卫东 ： 正倒向随机微分方程组的数值解法 从严格的随机分析理论出发，结合的微分近似方法，
9、，和 提出求解全 耦合 的多步髙精度数值格式，这 一多步格式 被推广到 多维情形，见 ？， 和 研究了求解 一般耦合 非线性 的递延校正法，数值结果表明该方法具有简 单易用、稳定性好、精度高等优点 对其他形式的的数值求解也有 一些研究 和 研究了带跳的 非耦合 的 格式，并在 范数意义下得到了其半阶收敛精度 ？ ， 和 提出求解带跳 的 格式，并将其有效地应用于求解非局 部扩散（ ） 问题； ，和 ，和分别给出了求解 非耦合带跳的 二阶数值格式和预估校正格式 ； ，和提出 了耦合带跳 的 的髙阶多步格式 和 得到了带反射的 格式的半阶收敛性 ？ ，和 结合双边随机积分的 公式 ，提出求解正倒 向双重随机微分方程组的数值算法，并完成了其 一阶理论误差分析 ，和 提出 了求解二阶 的髙阶数值格式 ，并将其应用到随机最优控制问题的求解 正倒向随机微分方程组的数值计算的方法和理论还不成熟，需要进 一步研究 正倒向随机微分方程组和非线性 公式 首先介绍 一些基本记号 我们令 ， ，）表示 一概率空 间 ，其中是样本空间， 是由 的子集构成的 ？域 （？代数） ， 是上的概率测度 设是定义在
