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1、第四届中国不确定系统年会论文集 桂林，2 0 0 6 年8 月1 8 2 2 日，第1 1 8 - 1 2 4 页 无偏好信息的模糊多属性决策问题的T O P S I S 方法 曾三云曾玲龙君 桂林电子科技大学计算科学与数学系，广西桂林5 4 1 0 0 4 摘要针对属性权重信息完全未知、属性值以模糊变量形式给出的模糊多属性决策问题，给出 了T O P S I S 方法。该方法分别基于模糊正理想点与模糊负理想点建立两个模糊期望值模型来确 定属性的权重，根据各方案与模糊正理想点的相对贴近度的大小排序得到方案的优劣排序。最 后给出了算例。 关麓词模糊多属性决策，T O P S I S ，期望值模型
2、，模糊模拟 1 引言 多属性决策( M A D M ) 是指经过综合权衡各个属性后，从有限待选方案中选出最满意方 案的过程。M A D M 问题广泛存在于社会、经济、管理等多个领域，如投资决策、项目评估、 质量评估、方案优选、人才考核、经济效益综合评价等。T O P S I S ( T e c h n i q u ef o rO r d e r P r e f e r e n c eb yS i m i l a r i t yt oI d e a lS o l u t i o n ) ，直译为逼近理想点法，是一种有效的 多属性决策方法，这种方法以靠近理想解和远离负理想解两个基准作为评价各方案的
3、判 据。至今，关于决策信息( 决策矩阵和属性权重) 为精确数的M A D M 问题的T O P S I S 方法的研 究已较为完善“喝1 ，而且关于模糊M A D M 问题的T O P S I S 方法的研究也有了一些成果，譬如文 献 4 9 分别针对属性权重已知的区间型、三角模糊数型以及混合型的模糊M A D M 问题给 出了T O P S I S 方法。本文研究属性权重信息完全未知、属性值为模糊变量的模糊M A D M 问题 的T O P S I S 方法。该方法通过建立两个模糊期望值模型来获得属性的权重，并基于相对贴 近度的大小排序来获得最优方案。本文最后给出的实例充分说明了这个决策方法
4、的可行性 和有效性。 2 预备知识 本节介绍有关模糊变量的一些相关概念和结论。 定义l “们设孝为从可能性空间( 0 ，P ( 0 ) ，P o s ) 到实数集R 上的函数，则称善是一 个模糊变量，其隶属函数为 以( z ) = 肋s 秒o l 善( 秒) = 刁 其中0 为非空集合，P ( O ) 为0 的幂集，P o s 为可能性测度。若P o s 善 7 7 当且仅当E 【翱 E 【硼。 定义3 n 2 1 模糊变量善与刁的距离定义为 d ( 孝，r 1 ) = E 1 孝- , 7 1 ( 5 ) 3 决策方法 对于模糊多属性决策问题，设X = f X ，X ，X ) 是待选方案集(
5、 m 2 ) ， S = 墨，S ) 是属性集( n 2 ) 。功= ( 磁，咀，c o ) 7 是属性的权重向 量，够o ，哆= 1 。A = 嘭】。是模糊决策矩阵，其中孝。是非负模糊变量，表示方案x 。 户l 在属性S ，下的属性值。本文要解决的问题是根据已知的模糊决策矩阵A ，对待选方案进行 排序并从中找出最优方案。 常见的属性类型有效益型和成本型。为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，需要 对决策矩阵五进行规范化。为了方便起见，用t ( f = 1 ，2 ) 分别表示效益型和成本型属性的 下标集，并记M = 1 ，2 ，oo $ m ，N = 1 ，2 ，n ) 。本文采用下列计算公式
6、【l3 】将决策矩阵 A = 【缶】一转化为规范化矩阵B = 【吃】。： 吼= 1 亍皇= = 一，i M ，j e ( 6 ) 善( 研专】) 2 1 2 0 曾三云曾玲龙君 仉= 了亍竺二兰一，f M ，_ EL ( 7 ) 、( 研e - C oJ ) 2 其中，f = 凹 戈k ( x ) o ) ，j ，：。 根据规范化矩阵B ，可令模糊正理想点X + = ( x ? ，X ；，X ：) ，模糊负理想点 X 一= ( x i ，X i ，X ：) ，其中 X j = m a x r o ，歹N ( 8 ) X j = 卿 仇 ，歹N ( 9 ) 由于决策方案X 。越接近模糊正理想点X
7、 + 越优，因此可定义方案X 与模糊正理想点 碧+ 之间的加权距离之和为 矿( 妫= d ( f C ；，仉埘 J - 1 ( 1 0 ) = 研阿一仇l 蟛，f M 若已知权重向量C O ，则( 妫越小，方案X ，越优。于是可建立如下模糊期望值多目 标规划模型： r a i n 时( 妫，( 神，( 动】 砒c o , = 1 ，哆oJ _ J 州 由于每个方案是公平竞争的，不存在任何偏好关系， 下单目标模糊期望值模型： 因此可将模型( 6 ) 等权集结为如 m i I l E 【I 贾j 一矾l 】哆 跳t 哆= 1 ，q o 解此模型，作拉格朗目函数 L ( 劬乃= 毒妻E 障一仇I 蟛
8、+ 2 力( 享哆一) 求其偏导数，并令 f 老= 2 妻喜E 4 霉一陋+ 2 2 = 。 【瓦O L = 妻哆小。 垂堡堑笪星塑蕉塑查属丝垫策问题的T O P S I S 方法 1 2 1 求得最优解 q 2 F 1 T _ 一虐E 【f 耍j 一仇l 】j N ( 1 3 ) 鲁E t l 2 ；- , z , l l 从而得到吖= 矿( ) 。其中E 【廖；一嘞l 】可以利用模糊模拟算法n 0 1 来估计，令 西= E | x ；一嘞l 】，则有距离矩阵D + = ( ) 。 类似地，由于决策方案x 。越远离模糊负理想点j 一越优，因此可定义方案x 。与模糊负 理想点贾之间的加权距离之
9、和为 矿( 妫= d ( 戈j ，仉埘 月 ( 1 4 ) = E r l ：t 一仇l 埘，f M 由于才( c o ) 越大，方案X ；越优。因此类似地可建立如下单目标模糊期望值模型： m a x 研I 戈产砷叫 “一 ( 1 5 ) 她 q = 1 ，够o 利用拉格朗日法求得最优解 j eN ( 1 6 ) 从而得到町= 矿( ) 。其中E 【悸；一l 】可以利用模糊模拟算法n 0 1 来估计，令 靠= 目陋j 一嘞| 】，则得距离矩阵D 。= ( 嘭) 。 最后，决策者可根据每个方案与模糊正理想点的相对贴近度的大小来对方案进行优劣 排序，其计算公式为 c f ：_ 妥，f M ( 1
10、7 ) t d ：+ d ：1 1 则e ，i eM 最大者所对应的方案即为最优方案。 基于以上讨论，给出模糊多属性决策问题的T O P S I S 方法的步骤如下： 1 ) 根据式( 6 ) 和式( 7 ) 将决策矩阵A = 曦】一规范化为云= 玩】一 2 ) 根据式( 8 ) 和式( 9 ) 确定模糊正理想点戈+ 和模糊负理想点耍一； 曾三云曾玲龙君 3 ) 利用模糊模拟算法计算距离矩阵D + 和D 一； 4 ) 由式( 1 3 ) 和( 1 6 ) 分别计算最优解= ( 磷，谚，皱) 7 和 纱= ( c o , - ，皱，何) 1 ； 5 ) 将和分别代入式( 1 0 ) 和( 1 4
11、 ) 计算d j 和d i ，f M ； 6 ) 由式( 1 7 ) 计算每个方案与模糊正理想点的相对贴近度e ，f M ： 7 ) 根据C ，i M 的大小排列方案的优劣次序，C 越大，其对应的方案越优。 4 实例分析 某软件公司需要招聘一位系统分析员，经初步面试，有6 位应聘者( X 。，X ：，X 。) 被确定为候选人进入最后考核，考核指标为；精神面貌墨，口头表达能力，个性特长墨， 工作经验只，自信心墨。专家组对每位候选人在各项指标( 属性) 下的评价值以三角模糊 数形式给出，具体如表2 所示： 表2 每个候选人在各项指标下的属性值( 模糊决策矩阵五) 属性 候趴 墨最最 S 墨 x l
12、 ( 5 7 ，7 7 ，9 3 )( 5 o 7 0 , 9 o )( 5 7 ，7 7 ，9 o )( 8 3 3 ，9 6 7 ，1 0 )( 3 0 , 5 0 , 7 。o ) X ， ( 6 3 ，8 3 ，9 7 )( 8 2 ，9 0 ，9 7 )( 8 0 ，8 5 ，9 0 )( 9 0 ，9 5 ，1 0 )( 7 0 ，8 0 ，9 0 ) X ，( 6 3 ，8 0 ，9 o ) ( 7 0 ，9 0 ，1 0 )( 7 0 ，9 0 ，1 0 )( 7 0 ，9 0 ，1 0 ) ( 6 3 ，8 3 ，9 7 ) x l( 6 0 ，7 5 ，9 2 ) ( 8
13、5 ，9 0 ，9 5 ) ( 8 0 ，9 0 ，9 5 )( 8 5 ，9 0 ，9 5 )( 6 7 ，8 5 。9 2 ) X ，( 6 1 ，8 0 ，8 5 )( 8 0 ，8 7 ，9 3 )( 6 5 ，8 0 ，9 o )( 7 5 ，9 0 ，9 7 )( 6 5 ，8 0 ，9 0 ) X 。 ( 5 8 ，7 7 ，9 2 )( 6 5 ，8 0 ，9 o )( 7 5 ，8 5 ，9 5 )( 8 0 ，9 5 ，9 8 )( 8 0 ，8 5 ，9 5 ) 下面采用本文方法来对6 位候选人进行优劣排序并择优。 1 ) 由于各属性均为效益型属性，故可由式( 1 ) 将
14、模糊决策矩阵A 转化为规范化矩阵 ( 0 3 0 0 0 , 0 4 0 5 3 , 0 4 8 9 5 ) ( 0 2 4 2 7 , 0 3 3 9 8 , 0 4 3 6 9 ) ( o 2 7 8 6 , 0 3 7 6 4 , 0 4 4 0 0 ) ( 0 3 7 3 1 , 0 4 3 3 1 , 0 4 4 7 9 ) ( o 1 5 8 2 , 0 2 6 3 7 ，0 3 6 9 2 ) ( 0 3 3 1 6 , 0 4 3 6 8 , 0 5 1 0 5 ) ( 0 3 9 8 0 , 0 4 3 6 9 , 0 4 7 0 9 ) ( 0 3 9 1 1 , 0 4
15、1 5 5 0 4 4 0 0 ) ( 0 4 0 3 1 , 0 4 2 5 5 , 0 4 4 7 9 ) ( 0 3 6 9 2 , 0 4 2 1 9 , 0 4 7 4 7 ) ( 0 3 3 1 6 ，0 4 2 1 1 , 0 4 7 3 7 ) ( 0 3 3 9 8 , 0 4 3 6 9 , 0 4 8 5 4 ) ( O 3 4 2 2 , O 4 4 0 0 , O 4 8 8 8 ) ( 0 3 1 3 5 , 0 4 0 3 1 , 0 4 4 7 9 ) ( 0 3 3 2 3 , 0 4 3 7 8 , 0 5 1 1 6 ) 【o 3 1 5 8 , 0 3 9 4 7 ，0 4 8 4 2 ) ( 0 4 1 2 6 , 0 4 3 6 9 , 0 4 6 1 2 ) ( 0 3 9 1 1 , 0 4 4 0 0 , 0 4 6 4 4 ) ( 0 3 8 0 7 ，0 4 0 3 L 0 4 2 5 5 ) ( 0 3 5 3 4 , 0 4 4 8 3 , 0 4 8 5 2 ) ( 0 3 2 1 1 , o
