常微分 线性微分方程的一般理论.

《常微分 线性微分方程的一般理论.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分 线性微分方程的一般理论.（119页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 4.1一般理论论 第四章 高阶线阶线 性微分方程 理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构 本节要求 n 阶线性微分方程一般形式： 其中是区间 上的连续函数。 称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非 齐次线性微分方程。 4.1.1 引言 n 阶微分方程一般形式： 方程（4.1）的解的存在唯一性定理: 上，且满足初始条件： 定理1及 都是区间 则对于任一及任意的 方程（4.1）存在 ，定义于区间 上的连续函数, 唯一解 如果 4.1.2 齐线性方程解的性质与结构 定理2 （叠加原理）如果 则它们的线性组合 的解，这里是任意常数。 是

2、方程（4.2） 也是（4.2） 的k个解， 例 有解 证明 问题： 时，若 能否成为方程（4.2）的通解？ 不一定 不包含解 要使 为方程（4.2）的通解 还需满足一定的条件。 当 是齐线性方程的解， 如在上例中 函数线性无关和相关 定义在上的函数，如果存在 使得恒等式不全为零的常数 对所有成立， 称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。 如上线性无关 上线性相关 上线性无关 要使得 则 定义在区间上的 k个可微 k-1次的函数 所作成的行列式 称为这些函数的伏朗斯基行列式。 伏朗斯基行列式 定理3在区间上线性相关， 上它们的伏朗斯基行列式。则在 证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数

3、（4.6） （4.7） 使得 依次对 t 微分此恒等式，得到 若函数 的齐次线性代数方程组，关于 它的系数行列式 方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即 由线性代数理论 证毕 其逆定理是否成立？ 例如： 即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性 无关的。 不一定 故是线性无关的。 如果方程(4.2)的解在区间 上线性无关，则 任何点上都不等于零，即 在这个区间的 定理4 设有某个 ，使得 考虑关于的齐次线性代数方程组 证明 反证法 （4.9） 其系数行列式，故（4.9）有非零解 构造函数 根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件 由解的唯一性知，即 因为 不全为0

4、，与 的假设矛盾。 （4.10） 另 也是方程(4.2)的解， 线性无关 证毕 也满足初始条件（4.10） 定理5 n 阶齐线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解， 线性相关 定理4 定理3 重要结论 方程(4.2)的解在区间上线性无关 的充分必要条件是 且任意 n+1个解都线性相关。 证明在 上连续，取 则满足条件 存在唯一。 线性无关。 即齐线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解。 任取方程(4.2)的n+ 1个解， 任意 n+1个解都线性相关。 引理 方程(4.2)的解组在 上是线性无关(相关) 的 ，当且仅当由它们构造的向量函数组在 上 是线性无关(相关) 定理6（通解

5、结构） 其中是任意常数，且通解（4.11） 是方程（4.2）的n个线性 无关的解，则方程（4.2）的通解可表为 （4.11） 包括方程（4.2）的所有解。 l方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。 如果 ln 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。 例 已知方程 ，求它的基本解组？并写 出它的通解。 分析：试探方法求其基本解组。 则原方程的通解为 4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 性质1 如果 是方程（4.1）的解，而 （4.2）的解，则 性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。 是方程 也是方程（4.1）的解。 是任意常数，且通解（4.14

6、）包括 定理7为方程（4.2）的基本解组， 是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为 其中 （4.14） 设 方程（4.1）的所有解。 证明 1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立 的任意常数，是通解。 2) 是方程（4.1）的任一个解，则 是方程（4.2）的解 证毕 由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐 线性方程的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常 数变易法求得非齐线性方程的解。 一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？ 提问： 为了寻找 ，只要再找n-1个限制条件即可， 而这些条件在理论上是任意取的，

7、当然以运算上“方便”为前提 。适当选取方法，就可得到一关于 的线性 方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得 。 设 为方程（4.2）的基本解组， 为（4.2）的通解。 （4.15） （4.16） 非齐线性方程齐线性方程 非齐线性方程通解 特解基解组 表示 关键 常数变易法 为（4.1）的解。 令 （4.16） 代入方程（4.1） 方程组有唯一的解，设为 （4.16） 特解 通解 非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构: 通解与自身的一个特解之和。 3、非齐线性方程的求解步骤 求对应齐线性方程的一个基本解组； 用常数变易法求非齐线性方程的通解。 方法一方法一 求非齐线性方程的一个特解； 求

8、对应的齐线性方程的一个基本解组； 写出非齐线性方程的通解。 方法二方法二 常数变易方法：常数变易方法：把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给 出n个限制条件即可求解。 例1 求方程 基本解组为 ， 的通解，已知它对应齐线性方程的 解 解得 原方程的通解为 令 例2 求方程 于域 解 对应的齐线性方程为 上的所有解。 得 易见有基本解组 这里 A、B 为任意常数。 设 为方程的解 故得原方程的通解 （为任意常数) 作业：P.131，第1，2，3（3，5），4，5，6，7题 练习题 ，并求方程的基本解组为1 验证 的通解。 2 求方程 方程的基本解组为 ， 的通解，已知它对应齐线性 思考

9、题常数变易法中待定函数的条件如何选择？ 关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了 ，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般 的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方 程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍 求解问题能够彻底解决的一类方程常系数线性微分方程及可 以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性 微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对 于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算 求得它的通解。 以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微 分方程为更深刻地理解物理现象提供

10、有力的工具。 4.2 常系数线性微分方程的解法 具体内容具体内容 复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法： 比较系数法和拉普拉斯变换法 应用分析：质点振动 4.2.1 引子:复值函数和复值解 1、复数及其相等的定义。 2、有关定义：复值函数的连续、可导性等。 1 1、复值函数在点连续的定义、复值函数在点连续的定义 如果 ，就称 在 连续。 如果对于区间 中的每一实数t，有复数 与它对应，其中 和 是在区间 上定义的实函数，i 是虚单位，就说在区间 上给定了一个复值函数 。如果 实函数 ， ,当t趋于 时有极限,就称复值函数 当t趋于 时有极限，并且定义 复

11、值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一 点都连续。 注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该 点连续。 2 2、复值函数在点有导数的定义、复值函数在点有导数的定义 如果 极限存在，就称z(t)在 点有导数（可微 ）,且记此极限为 或者 。 显然 在 处有导数相当于 , 在 处有导数，且 3 3、复值函数的微分运算性质、复值函数的微分运算性质 注意注意：同实值函数的微分运算法则一样。：同实值函数的微分运算法则一样。 线性性 乘积性 4 4、复指数函数的运算性质、复指数函数的运算性质 设 是任意一复数，这里 是实数，而 为实变量。 基本性质 重要性质 5、复值解的定义 定义于 区间上

12、的实变量复值函数 称为方 程（4.1）的复值解。如果 对于 恒成立。 定理8： 方程（4.2）的复值解的实部和虚部也是对应方程（4.2）的解。 定理9： 复方程的复值解的实部和虚部也是方程对应的实方程和虚方程 的解。 6、两个重要定理 问题：常系数线性微分方程的求解 常系数齐线性微分方程的求解-如果？ 常数变易法 (至少) 比较系数法 Laplace变换法 有无其它方法？ ? 欧拉指数法 4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 常系数齐线性方程 欧拉（Euler）待定指数函数法 特征根是单根的情形 有复根的情形 特征根是重根的情形 应用 欧拉方程 1、框架 2、常系数齐线性方程 其中 是常数。

13、此时，称（4.19）为 n阶常系数齐线性方程。 若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写 为如下形式： 3、欧拉（Euler）待定指数函数法 n引子：一阶微分方程解形式的启示 有指数形式的解： 对于n阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？下面用 试探法进行讨论。 n提问 假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解 于是有： 要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为： 称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。 求解常系数线性微分方程问题 转化为求解一个代数方程问题。 设 是特征方程（4.17）的n个彼此不相等的根， 则相应地方程（4.16

14、）有如下n个解： 可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程（ 4.19）的基本解组。 如果 均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个线性无 关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为: 其中 为任意常数。 3.1 特征根是单实根的情形 例1 求方程 的通解。 解：(单实根)特征方程为： 特征根： 通解： 对应的基本解组： 3.2 特征根是单虚根的情形 设有单复根 ，此时，由定理8，可以求得实值解： 例2 求方程 的通解 解：(复单根)特征方程为： 特征根 通解 对应的基本解组 3.3 特征根是重根的情形 设特征方程有k重根 ，由代数学基本知识有： 下面分三步来讨论基本解组的构成： 先讨论 ，此时，有线性无关的函数组： 讨论 把这种情况通过变换 化为第一种情况。 再构成线性无关的函数组： 特征根 的重数分别为： 则有线性无关的函数组： 对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。 譬如假设是k重特征根 ，则 也是k重特征 根，仿1一样处理，将得到方程（15）的2k个实值解： 例3 求方程 的通解 特征方程： 解：复重根的情形 对应的基本解组