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1、复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法。 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中
2、间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 称为标准法则或 这个公式的特征： 函数 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含两个公式； 由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自 变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即： “分道相加，连线相乘” 特殊地其中 即 令 两者的区别 区别类似 注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任 意多个自变量的情形 如 则
3、从以上推广中我们可以得出：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自 变量的个数无关 关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二 阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求 强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将 会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用 公式 用图示法表示出函数的复合关系 函数对某个自变量的偏导数的结构 （项数及项的构成） 的结构是求抽象的复合函 数的二阶偏导数的关键 弄清 仍是复合函数 且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量 的复合函数 因此求它们关于 x
4、, y 的偏导数时必须使链式法则 在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步 是与 f ( u , v ) 具 有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的 函数，从而导致漏掉 原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量 注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导 的合并问题 视题设条件 解 解 例3 设 均满足复合函数求偏导数的条件 计算 （两重复合问题） 解由链式法则 故 同理可得 解 令 记 同理有 于是 例5 设二阶偏导数连续,求下列表达式在 解 已知 极坐标系下的形式 (1) , 则 已知 注意利用 已有公式 同理可得 二、全微分形式不变性 全微
5、分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的 过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以 不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的 从而为解题带来很多方便，而且也不易出错 例5 设 各函数满足求导条件求 解一 变量间的关系如下图所示 这里变量间的关系比较混乱 用全微分来解由全微分定理 注意到 x , z 是独立自变量 解二 由全微分定义 注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错 故 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 解 令 则 解 令 则 解令 则 思路
6、 ： 解令 则 整理得 整理得 整理得 二、方程组的情形 1、对于方程组 怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组 如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x) 若 则 怎样求两边对 x 求导 注意左边是复合函数（三个中间变量）， 同理 2 、 解1直接代入公式； 解2运用公式推导的方法 ， 将所给方程的两边对 求导并移项 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得 注这组公式不太好记，具体做题时应 用的是其基本思想 设函数 在点 (1)证明方程组 (2)求反函
7、数对x,y的偏导数。 0 ),( ),( ),( vu yx vu的某一邻域内连续偏导数，又 ).,(),( ),( ),( yxvvyxuu vuyx vuyy vuxx = = = 偏导数的反函数 一组连续且具有连续的某一邻域内唯一确定 ），在点（ 例4 即得所要证的论。 （2）将上面方程组所确定的反函数 代入，即得 将上述恒等式两边分别对x求偏导数，得 解 （1）将方程组改写成形式 由 于 , 故可解的 同理，可得 关于隐函数求二阶偏导数 以为例， 主要有三种方法： 公式法 类似地可求得 直接法方程两边连续求导两次 解得： 两种方法相比，法二较简便，因为可避免 商的求导运算，尤其是在求指
8、定点的二阶偏导数 时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入 即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。 则 这样一次就可求得全部的一阶偏导数。 全微分法 利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接 求全微分 微分法在几何上的应用 一、一元向量值函数及其导数 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线和法平面 定义 设 M 是空间曲线 L 上的一个定点, M*是 L 上的一个动点, 当M* 沿曲线 L 趋于M 时 , 割线MM* 的极限位置 MT （如果极 限存在） 称为曲线 L 在 M 处的切线 下面我们来导出空间曲线的切线方程 。设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导.且 导数不同时为零 考
9、察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 。空间曲线方程 取 x 为参数 法平面方程为 。空间曲线方程 切向量 切线方程 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 二、曲面的切平面与法线 。设曲面方程为 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 曲线在M处的切向量 令 则 切平面方程为 法线方程为 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即 。空间曲面方程形为 令 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 因为曲面在M处的切平面方程为
10、 切平面 上点的 竖坐标 的增量 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 满足方程 所求切点为 切平面方程(1) 切平面方程(2) 例6 在椭球面 上求一点， 使它的法线与坐标轴正向成等角 解 令 则 注意到法线与坐标轴正向的夹角相等 故 解得 所求的点为 的法线的方向向量为 故椭球面上任一点 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
11、 比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行 一、问题的提出 讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题 二、方向导数的定义 （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以得到 故有方向导数 解 解由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解令 故 方向余弦为 故 三、梯度的概念 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 等高线的画法 播放 例如, 梯度与等高线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法
