《打印(数字信号处理)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《打印(数字信号处理)(49页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的, 确定其周期。 (1) (2) 解: (1) 因为= , 所以 , 这是有理数, 因此是周期序 列, 周期T=14。 (2) 因为= , 所以 =16, 这是无理数, 因此是非周期序列。 第一章 6 给定下述系统的差分方程, 试判定系统是否是因果稳定系统, 并说 明理由。 (1) y(n)= x(nk) (2) y(n)=x(n)+x(n+1) (3) y(n)= x(k) (4) y(n)=x(nn0) (5) y(n)=ex(n) 解:(1)只要N1, 该系统就是因果系统, 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的 输入有关。 如果|x(n)|M,
2、 则|y(n)|M, 因此系统是稳定系统。 (2) 该系统是非因果 系统, 因为n时间的输出还和n时间以后(n+1)时间)的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 (3) 如果|x(n)|M, 则|y(n)| |x(k)|2n0+1|M, 因此系统是稳定的; 假设 n00, 系统是非因果的, 因为输出还和x(n)的将来值有关。 (4)假设n00, 系统是因果系统, 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M, 因此系统是稳定的。 (5) 系统是因果系统, 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值
3、。 如果|x(n)|M, 则 |y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM, 因此系统是稳定的。 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示 , 要求画出y(n)输出的波形。 解: 解法(一)采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm) 题7图 y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 解法(二) 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n
4、) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故 y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 将x(n)的表示式代入上式, 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5) 将x(n)以4为周期进行周期延拓, 形成周期序列 , 画出x(n)和 的波 形, 求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。 解: 画出x(n)和 的波形如题4解图所示。 4设 第二章 题4解图 或者 23 设系统由下面差分方程描述: y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) (1) 求系统的系统
5、函数H(z), 并画出极零点分布图; (2) 限定系统是因果的, 写出H(z)的收敛域, 并求出 其单位脉冲响应h(n); (3) 限定系统是稳定性的, 写出H(z)的收敛域, 并求 出其单位脉冲响应h(n)。 解: (1) y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) 将上式进行Z变换, 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1 因此 零点为z=0。 令z2z1=0, 求出极点: 极零点分布图如题23解图所示。 (2) 由于限定系统是因果的, 收敛域需选包含点在内的收敛域, 即 。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法, 一种是令 输入等于单位脉冲序列, 通过解差分方程, 其零
6、状态输入解便是系统的单 位脉冲响应; 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 式中 题23解 图 , 令 n0时, h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2 因为h(n)是因果序列, n0时, h(n)=0, 故 (3) 由于限定系统是稳定的, 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域, 即 |z2|z|z1|, n0时, c内只有极点z2, 只需求z2点的留数, n0时, c内只有两个极点: z2和z=0, 因为z=0是一个n阶极点, 改成 求圆外极点留数, 圆外极点只有一个, 即z1, 那么 最后得到 15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0
7、.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 (1) 求X(k)的其余3点的值; (2) 求X1(k)=DFTx1(n)8; (3) ,求 。 第三章 解: (1)因为x(n)是实序列, 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk), 即 X(Nk)=X*(k), 所以, X(k)的其余3点值为 X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 (2) 根据DFT的时域循环移位性质, (3) 18 用微处理机对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F50 Hz, 信号最 高频率为 1 kHz, 试确定以下各参数: (1) 最小记录时
8、间 Tp min; (2) 最大取样间隔Tmax; (3) 最少采样点数Nmin; (4) 在频带宽 度不变的情况下, 使频率分辨率提高1倍(即F缩小一半) 的N值。 解: (1) 已知F=50 Hz, 因而 (2) (3) (4) 频带宽 度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间扩 大1倍 , 即为0.04 s, 实现频 率分辨率提高1倍(F变为原来的1/2)。 19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz, 调制信号频率fm=100 Hz, 用 FFT对其进行谱分析, 试求: (1) 最小记录时间 Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。 解
9、: 调制信号为单一频率正弦波时, 已调AM信号为 x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm) 所以, 已调AM信号x(t) 只有3个频率: fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率 fmax=1.1 kHz, 频率分辨率F100 Hz(对本题所给单频 AM调制信号应满足 100/F=整数, 以便能采样到这三个频率成分)。 故 (1) (2) (3) 22 证明DFT的频域循环卷积定理。 证: DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M, ym(n)=h(n)x(n) H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTX(n)L 则 L
10、 X(k) 其中, LmaxN, M。 根据DFT的惟一性, 只要证明ym(n)=IDFTYm(k)=h(n)x(n), 就证明了 DFT的频域循环卷积定理。 第五章 1. 已知系统用下面差分方程描述: 试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示 系统的输入和输出信号。 解: 将原式移项得 将上式进行Z变换, 得到 (1) 按照系统函数H(z), 根据Masson公式, 画出直接型结构如题1解图(一 )所示。 题1解图(一) (2) 将H(z)的分母进行因式分解: 按照上式可以有两种级联型结构: 画出级联型结构如题1解图(二)(a)所示。 画出级联型结构如题
11、1解图(二)(b)所示。 题1解图(二) (3) 将H(z)进行部分分式展开: 根据上式画出并联型结构如题1解图(三)所示。 题1解图(三) 9. 已知FIR滤波器的系统函数为 试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。 解: 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所 示。 题9解图 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下: (1) (2) 式中a、 b为常数, 设Ha(s)因果稳定, 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字 滤波器H(z)。 解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。 所以, 求解该题具有代表性, 解该题的过程, 就是导出
12、这两种典型形式的Ha(s )的脉冲响应不变法转换公式。 设采样周期为T。 (1) Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开(用待定系数法): 比较分子各项系数可知, A1、 A2应满足方程: 解之得, A1=1/2, A2=1/2, 所以 套用教材(6.3.4)式, 得到 按照题目要求, 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中, 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。 由于两个极点共轭对称, 所以 将H(z)的两项通分并化简整理, 可得 这样, 如果遇到将 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时, 直接套用上面的公式即可, 且对 应结构图中
13、无复数乘法器, 便于工程实际中实现。 (2) Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开: 套用教材(6.3.4)式, 得到 通分并化简整理, 得到 5 已知模拟滤波器的系统函数如下: (1) (2) 试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解: . 用脉冲响应不变法 (1) 方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式, Ha(s)的极点为 将T=2代入上式, 得 方法二 直接套用4题(2)所得公式。 为了套用公式, 先对Ha(s)的分母 配方, 将Ha(s)化成4题中的标准形式: c为一常数 由于 所以 对比可知, , 套用公式, 得 (2) 或通分合并两项得 用双线性变换法 (1) (2)