正确处理数学概念解析与解题训练的关系

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1、正确处理数学概念解析 与解题训练的关系 湖南师大附中 李昌平 . 从2016年全国卷概率统计题谈起 （2016年全国卷(理)第19题）某公司计划购买2台机器，该 种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时 ，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器 时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易 损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损 零件数，n表示购买2台机器的

2、同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列； （II）若要求 ， 确定n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望 值为决策依据，在n=19与n=20之 中选其一，应选用哪个？ . 从2016年全国卷概率统计题谈起 近三年我省概率统计题得分对照表 与往年相比，今年我省考生的平均分却大幅度下降，原因何在？ （1）本题题突出了对对概率统计统计 知识识基本概念的理解与运用，如概 率计计算、随机变变量、数学期望及其意义义； （2）本题题突出了对对运用概率统计统计 知识识解决实际问题实际问题 的过过程与方 法的考查查； （3）本题题渗透了概率与统计统计 学科的基本思想，即：对对在实际实际 生

3、活和工作中提出的这类问题这类问题 ，先通过过抽取样样本进进行统计统计 分析，获获 得相关数据，如事件的频频率等，再利用频频率估计计概率的思想，进进 行有关计计算（如分布列、数学期望等），并根据计计算结结果解释说释说 明实际问题实际问题 的解决方法. . 从2016年全国卷概率统计题谈起 . 从2016年全国卷概率统计题谈起 这是一种对学生数学素养的考查，体现了以能力立意的命 题指导思想. 它当然不是用题海战术训练出来的学生所能解决的 ，也是忽视基本概念理解、忽视基本思想和方法理解运用带来 的必然结果，（例如，这样训练出来的学生只知道套用公式计 算数学期望，而不知道数学期望的意义及运用），因而今

4、年该 题的得分大幅度下滑就不奇怪了. . 高三数学复习教学的现状和问题 基本方式：基础知识复习 + 解题训练 主要问题： 对于基础知识，往往只是通过列表展示或通过填空的方式将 基础知识进行记忆、背诵，间或提出几项注意，而高考数学考查 的着眼点是对概念、定理、性质和公式的理解和掌握，不是能够 记忆和再认； 对对于解题题方法，往往只是就题论题题论题 ，列举举步骤骤，学生只是“ 照葫芦画瓢”解题题，然后进进行大题题量训练训练 ，直至“熟练练”，而高考 数学考查查的着眼点是数学思维维能力及运用数学知识识和方法的能力 ； 对对于基本数学思想，往往也是就题论题题论题 ，不能深入解析基本 数学思想解决问题问

5、题 的思维过维过 程和运用过过程，不能或没有让让学生 从学科体系上去整体把握思想和方法，提升学生的数学素养。而 高考数学考查查的着眼点是以能力立意命题题，突出数学思维维能力的 考查查，“多考点想的，少考点算的”. 解题训练的目标 通过解题，使学生能更深入地理解数学概念、定理、公式 和性质等的本质与内在联系，形成知识的整体结构； 通过解题，理解数学方法的原理，掌握操作过程，形成技 能； 通过解题，领悟数学思想，并将其内化为自己的思维能力 ，提升学生的数学素养. 而不是通过大题量的反复训练而形 成的机械式“熟练”. 解题训练 形成能力、提升素养 理解概念 掌握方法 领悟思想 . 高三数学复习教学要

6、充分重视概念教学 常见现象 学生可以说出某个概念，但却不能运用概念解决与其相关的 一些问题，特别是稍微有些深度的问题. 主要原因 重解题训练、轻概念解析，造成概念与解题、理论与应用 脱节. 有些教师认为概念在高一、高二已学过，没有必要花太多时 间；甚至只仅仅仅仅 要求学生记忆记忆 数学概念，而对对于概念的内涵 与外延没有进进行充分的挖掘; 有些教师认为高考不会考概念，复习课能多讲题就多讲题，认 为“考好数学的唯一诀窍就是做题”，所以不必再花时间在概念 复习上. 学生在没有理解掌握数学概念和思想方法的情况下，就盲目 进进行大运动动量解题训练题训练 ，往往导导致学生虽虽然花费费大量时间时间 学 数

7、学，完成了无数次解题训练题训练 ，却仍不得要领领，达不到能力的 提高. . 高三数学复习教学要充分重视概念教学 . 高三数学复习教学要充分重视概念教学 本题题只不过过将函数的对应对应 关系换换了种说说法，做了一定的限定， 可绝绝大部分考生未能做出，可见见即使像函数这样这样 的核心概念也没 有很好地被理解. 而高考是非常注重对这对这 些数学核心概念的考查查 的，因为为核心概念是最能代表该该学科核心基础础的内容，包括了重 要概念、原理、理论论等的基本理解和解释释，是学科知识结识结 构的主 干部分. 高考考查查核心概念，不是考查查学生单纯单纯 凭借记忆记忆 正确 回答问题问题 的能力，而是考查查学生

8、较较高层层次的认认知过过程. 事实实上，教师师数学概念教学的质质量，直接影响着学生学习习 数学的质质量。学生的数学抽象能力、逻辑逻辑 推理能力、数学建模能 力、数学运算能力、直观观想象能力、数据分析能力等数学核心素 养，无一不是以清晰、准确的概念为为基础础的. 这这些能力的高低与 相应应概念明确、理解的深度、广度有着密切的联联系. 如上述概率 统计题统计题 ，只有充分理解了随机变变量、数学期望的概念及其意义义 ，才能顺顺利地解决问题问题 . . 高三数学复习教学要充分重视概念教学 数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！ 中国科学院院士 李邦河 . 高三数学复习教学中如何加强概念教学

9、“串珠成线”，构建知识网络，使学生从学科基本思想及体 系上理解把握概念 复习课习课 中的概念教学，不仅仅是对对概念的回顾顾和记忆记忆 ，而 是对对已学过过的概念进进行再次学习习和梳理，特别别要注意从学科 基本思想及体系上揭示概念的形成、发发展、概念间间的联联系和应应 用的过过程，构建知识识网络络，并充分挖掘数学概念中蕴蕴含的数学 思想方法，以使学生能从学科基本思想及体系上理解把握它们们 ，养成“回到概念中去思考、解决问题问题 ”的习惯习惯 ，形成运用 这这些知识识的意识识和能力. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 案例1：在复习统计与统计案例第一节随机抽样时，为使学生能 从学科基本思想及

10、体系上理解把握它们，教师可作如下的解说和 概括： 今天，我们开始复习统计与统计案例.我们知道， 统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科， 它可以为人们制定决策提供依据. 而现代社会是信息化 社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取 有价值的信息，作出合理的决策.因此，统计学的基础知 识已经成为现代社会公民的必备素养.当然也是高考中的 重要考查内容. 明确学科的意义和作 用 . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 统计的基本数学思想是用样本估计总体，即通常不 是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本， 根据样本的情况去估计总体的相应情况. 为了使样本具有代表性、具有较高的可

11、信度，必须 研究如何抽样，设计抽样方法时必须使总体中的每个个 体被抽取的概率都相等. 我们学过的简单随机抽样、系 统抽样、分层抽样都满足这一要求. 在实际应用中，应 根据实际情况合理选择抽样方法. （再解析简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种抽样方法 的操作步骤、使用时机、要注意的问题以及它们的联系与区别等 ，精选例题和习题，在解题训练中进一步深化理解和运用.） 明确学科基本思想 抽样方法设计的 基本原则 . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导“问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解 所谓“问题驱动”教学，是指教师在课堂教学中以一系列 问题为载体，通过学生的独立思考、自主探究、合作讨论

12、等方 式来解决问题，从而达到学习学科知识、掌握相关方法、提高 思维能力等的一种教学方法和策略. 将“问题驱动”教学法，运用于高三基本概念的复习教学 ，就是围绕基本概念，按照一定逻辑结构，精心设计“问题串 ”，引发学生积极思考，在问题驱动下完成概念复习，促进对 概念的深入理解，掌握知识本质，从而实现将学生的思维从识 记、模仿等低层次活动向分析、综合等高层次活动的飞跃. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导“问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解 案例2 关于函数的单调性复习 问题1 从以下角度看，你是如何理解“增函数”这个概念的? (1) 从图象变化的趋势看； (2) 从代数刻画的角度看

13、； (3) 从导数的角度看； (4) 从增量的角度看. 意图：回顾增函数的直观描述、严格定义、与导数的联系，并给 出“当x1、x2A且x1x2时，都有 （或 ）”这一等价定义. 追问：减函数呢? . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导“问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解 案例2 关于函数的单调性复习 问题问题 2 如何理解函数 f（x）的增区间间与减区间间? 意图：点明以下几点：函数的增区间与减区间都应是其定义域 的子集；函数的单调区间描述的是函数图象在局部的变化趋势 ；在某个增区间内，当x1 x2时，不等式f（x1） f（x2）应是 恒成立的；一个函数可有多个增区间或减区间，中间不

14、可随便 用“”号联接. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 倡导“问题驱动”教学法，促进对概念的深入理解 案例2 关于函数的单调性复习 问题3 如何理解函数 f（x）是单调函数? 意图：点明以下几点：说明函数f（x）在其定义域内要么是增 函数，要么是减函数；对函数 f（x）定义域内任意的x1 x2， 恒有f（x1） f（x2）)；若 存在，则 (或 )，其中 = 0只能有有限个根（或 其根不能构成区间）；从图象上看，函数f（x）的图象与直线 y=a (a R)至多有一个交点. 这这里的每个问题问题 都对应对应 着一个重要的数学概念，这这些问题问题 的解决能起到“强化概念的多元表征，加深学生

15、对对有关概念的理 解，警示一些注意点，等等”的作用. 通过师过师 生互动动的方式更有 助于学生理解与以后的应应用. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 正确处理数学概念解析与解题训练的关系 全面深刻地理解把握概念能更好的分析问题问题 和解决问题问题 ，而 分析、解决问题问题 的过过程又能促进进更好地理解掌握概念. 进进行解题训练时题训练时 ，不能只盯盯住或总结总结 解题题步骤骤，要注意解 析包含在问题问题 中的所有概念，通过过精心设计编设计编 排的例题题和习题习题 ，挖掘概念的深层层次内涵，深化对对概念的理解，把握本质质，建立 相关概念的有机联联系，促进进学生形成更加全面、完整的认认知结结构 ，实现实现 它们们的灵活运用. . 高三数学复习教学中如何加强概念教学 解题训练中，不能忽视任何概念 【点评评】这这是2014年湖南卷理科第2题题，属容易题题、送分题题，但 结结果难难度却为为0.682. 表明近三分之一的考生没有理解随机抽样样 必须满须满 足每个个体被抽到的概率都相等的设计设计 思想和原理，忽视视 了（或没有）对这对这 些基本概念进进行理解学习习，或只是记忆记忆 背诵诵 了这这些抽样样方法的操