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1、第二章 电路的基本分析方法 2.1 支路电流法 2.2 网孔分析法 2.3 节点电位法 2.4 小结 2.1 支 路 电 流 法 在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流， 支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和 ，由元件约束关系(VAR)不难得到每个支路上的电流与支 路两端电压的关系，即支路的VAR。如图2.1-1 所示，它的 VAR 为 图 2.1 - 1 电路中一条支路 2.1.1 支路电流法 支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量，根据 元件的VAR 及 KCL、KVL约束，建立数目足够且相互独 立的方程组，解出各支路电流，进而再根据电路有关的基 本概念求得人们期望得
2、到的电路中任何处的电压、功率等 。 如图 2.1 - 2 电路，它有 3 条支路，设各支路电流分别 为 i1, i2, i3, 其参考方向标示在图上。就本例而言，问题是如 何找到包含未知量 i1, i2, i3 的 3个相互独立的方程组。 图 2.1-2 支路电流法分析用图 根据KCL，对节点 a 和 b 分别建立电流方程。设流出 节点的电流取正号，则有 节点 a 节点 b 根据KVL，按图中所标巡行方向(或称绕行方向)对回路 、 分别列写KVL方程(注意：在列写方程中，若遇到电 阻，两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与电流乘积)，得 回路 回路 回路 (2.1-2) 当未知变量数目与独立方程数
3、目相等时，未知变量才可 能有唯一解。我们从上述 5 个方程中选取出 3 个相互独立 的方程如下： (2.1-7) (2.1-7)式即是图2.1-2 所示电路以支路电流为未知量的足够的 相互独立的方程组之一，它完整地描述了该电路中各支路电 流和支路电压之间的相互约束关系。应用克莱姆法则求解 (2.1-7)式。系数行列式和各未知量所对应的行列式j(j=1, 2, 3)分别为 所以求得支路电流 解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电 压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如， 若再要求解图 2.1-2 电路中的 c 点与 d 点之间电压ucd 及电 压源 us1所产生的功率 Ps1，
4、可由解出的电流i1、i2、i3 方便 地求得为 2.1.2 独立方程的列写 一个有n个节点、b条支路的电路，若以支路电流作未知 变量， 可按如下方法列写出所需独立方程。 (1) 从 n 个节点中任意择其n-1个节点，依KCL列节点电 流方程，则 n-1个方程将是相互独立的。这一点是不难理解 的， 因为任一条支路一定与电路中两个节点相连，它上面的 电流总是从一个节点流出，流向另一个节点。如果对所有n 个节点列KCL方程时，规定流出节点的电流取正号，流入节 点的电流取负号，每一个支路电流在n个方程中一定出现两 次， 一次为正号(+ij), 一次为负号(-ij), 若把这n个方程相加， 它一定是等于
5、零的恒等式，即 式中：n表示节点数；(i)k 表示第 k 个节点电流代数和； 表示对 n 个节点电流和再求和； 表示 b 条支路一次取正号，一次取负号的电流和。 (2.1-8)式说明依KCL列出的n个KCL方程不是相互独立的。但 从这n个方程中任意去掉一个节点电流方程，那么与该节点相 连的各支路电流在余下的 n-1 个节点电流方程中只出现一次 。 如果将剩下的 n-1 个节点电流方程相加，其结果不可能恒 为零，所以这 n-1 个节点电流方程是相互独立的。习惯上把 电路中所列方程相互独立的节点称为独立节点。 (2) n个节点 b 条支路的电路，用支路电流法分析时需 b 个相互独立的方程，由KCL
6、已经列出了n-1 个相互独立的 KCL方程，那么剩下的b-(n-1)个独立方程当然应该由KVL 列出。可以证明，由KVL能列写且仅能列写的独立方程数 为b-(n-1)个。习惯上把能列写独立方程的回路称为独立回 路。 独立回路可以这样选取：使所选各回路都包含一条其 他回路所没有的新支路。对平面电路，如果它有 n 个节点 、b 条支路，也可以证明它的网孔数恰为 b-(n-1)个， 按网 孔由KVL列出的电压方程相互独立。 归纳、明确支路电流法分析电路的步骤。 第一步：设出各支路电流，标明参考方向。任取n-1个节 点，依KCL列独立节点电流方程(n 为电路节点数)。 第二步：选取独立回路(平面电路一
7、般选网孔)，并选定 巡行方向，依KVL列写出所选独立回路电压方程。 第三步：如若电路中含有受控源，还应将控制量用未知 电流表示，多加一个辅助方程。 第四步：求解一、 二、 三步列写的联立方程组，就得到 各支路电流。 第五步：如果需要，再根据元件约束关系等计算电路中 任何处的电压、功率。 例 2.1-1 图示 2.1-3 电路中，已知R1=15，R2=1.5， R3=1, us1=15V，us2=4.5V, us3=9V。 求电压uab及各电源产 生的功率。 图 2.1-3 例 2.1-1 用图 解 设支路电流i1, i2, i3 参考方向如图中所标。依 KCL列 写节点 a 的电流方程为 选网
8、孔作为独立回路，并设绕行方向于图上，由KVL列 写网孔、的电压方程分别为 网孔 网孔 (2.1-9) (2.1-10) (2.1-11) 用克莱姆法则求解(2.1-9)、(2.1-10)、(2.1-11)三元一次方程 组。与j分别为 所以电流 i1, i2, i3 分别为 电压 设电源us1, us2, us3 产生的功率分别为ps1, ps2, ps3, 由求得的支 路电流，可算得 例 2.1-2 图 2.1-4 所示电路为电桥电路，AB支路为电 源支路，CD支路为桥路，试用支路电流法求电流ig, 并讨 论电桥平衡条件。 图 2.1-4 例 2.1-2 用图 解 设各支路电流参考方向和回路的
9、巡行方向如图中 所标。该电路有 6 条支路、4 个节点，以支路电流为未知 量，应建立 3 个独立节点的KCL方程，3个独立回路的 KVL方程。根据元件VAR 和 KCL、KVL列出以下方程组 ： 对于节点 A i1+i2-i=0 对于节点 C -i1+ig+i3=0 对于节点 D -i2-ig+i4=0 对于回路 -R1i1+R2i2-Rgig=0 对于回路 -R3i3+R4i4+Rgig=0 对于回路 R1i1+R3i3+Ri=us 解上述方程组，得 当ig=0, 即桥路上电流为零(或桥路两端电压：uCD=0)时称该电 桥达到平衡。由 ig 的表示式可知分母是有限值，因而仅当 即 或 时 i
10、g=0, 这就是电桥平衡的条件。 例 2.1-3 图 2.1-5 所示电路中包含有电压控制的电压 源，试以支路电流作为求解变量，列写出求解本电路所必 需的独立方程组。(注意对受控源的处理，对所列方程不必 求解。) 图 2.1-5 例 2.1-3 用图 解 设各支路电流、各网孔绕向如图所示。应用KCL、 KVL 及元件 VAR列写方程为 对节点 a -i1+i2+i3 = 0 对网孔 R1i1+R2i2+0 = us 对网孔 0-R2i2+(R3+R4)i3 =u1 上述 3 个方程有 i1, i2, i3 及 u1 4个未知量，无法求解，还必 须寻求另一个独立方程。将控制量u1 用支路电流表示
11、，即 u1 = R1i1 如果电路中的受控源的控制量就是某一支路电流， 那么方程组中方程个数可以不增加， 由列写出的前 3 个 基本方程稍加整理即可求解。如果受控源的控制量是另 外的变量， 那么需对含受控源电路先按前面讲述的步骤 一、 二去列写基本方程(列写的过程中把受控源先作为独 立源一样看待)，然后再加一个控制量用未知电流表示的 辅助方程，这一点应特别注意。 2.2 网 孔 分 析 法 2.2.1 网孔电流 欲使方程数目减少，必使求解的未知量数目减少。在 一个平面电路里，因为网孔是由若干条支路构成的闭合回 路， 所以它的网孔个数必定少于支路个数。如果我们设想 在电路的每个网孔里有一假想的电
12、流沿着构成该网孔的各 支路循环流动，如图 2.2-1中实线箭头所示，把这一假想的 电流称作网孔电流。 图 2.2-1 网孔法分析用图 网孔电流是完备的变量。 例如图2.2-1电路中，i1=iA, i2=iB, i3=iC。如果某支路属于 两个网孔所共有，则该支路上的电流就等于流经该支路二 网孔电流的代数和。例如图 2.2-1 电路中支路电流i4, 它等于 流经该支路的 A、C 网孔电流的代数和。与支路电流方向一 致的网孔电流取正号，反之取负号，即有 网孔电流是相互独立的变量。如图2.2-1 电路中的 3 个网 孔电流iA, iB, iC, 知其中任意两个求不出第三个。这是因为每 个网孔电流在它
13、流进某一节点的同时又流出该节点，它自身 满足了KCL， 所以不能通过节点 KCL方程建立各网孔电流之 间的关系，也就说明了网孔电流是相互独立的变量。 2.2.2 网孔电流法 对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依KVL 列出网孔电压方程式(网孔内电阻上电压通过欧姆定律 换算为电阻乘电流表示)，求解出网孔电流，进而求得 各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称网 孔电流法(简称网孔法)。应用网孔法分析电路的关键是 如何简便、正确地列写出网孔电压方程(在 2.1 中已经明 确过网孔电压方程是相互独立的)。 设图 2.2-1电路中网孔电流 iA, iB, iC, 其参考方向即作为列 写方程的
14、巡行方向。按网孔列写KVL方程如下： 网孔A R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0 网孔B R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0 网孔C R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0 按未知量顺序排列并加以整理，同时将已知激励源也移 至等式右端。这样整理改写上述 3 式得 (2.2-1) (2.2-2) (2.2-3) 观察(2.2-1)式，可以看出：iA前的系数(R1+R4+R5)恰好 是网孔A 内所有电阻之和，称它为网孔A的自电阻，以符号 R11 表示；iB 前的系数(+R5)是网孔 A 和网孔 B 公共支路上
15、 的电阻，称它为网孔 A 与网孔 B 的互电阻，以符号R12表示 ， 由于流过 R5 的网孔电流 iA、iB 方向相同，故R5 前为“+” 号； iC 前系数(-R4)是网孔 A 和网孔C 公共支路上的电阻， 称它为网孔A 与网孔 C 的互电阻，以符号 R13表示，由于流 经 R4 的网孔电流iA、iC 方向相反，故 R4 前取“-”号；等式 右端 us1-us4表示网孔 A 中电压源的代数和，以符号us11表示 ， 计算 us11时遇到各电压源的取号法则是，在巡行中先遇 到电压源正极性端取负号，反之取正号。 用同样的方法可求出(2.2-2)、(2.2-3)式的自电阻、互电 阻及网孔等效电压源，即 归纳总结得到应用网孔法分析具有 3 个网孔电路的方 程通式(一般式)，即 (2.2-4) 如果电路有m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为 (2.2-5) 在应用方程通式列方程时要特别注意“取号”问题：
