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1、安徽大学 硕士学位论文 Linard系统的解无界性 姓名：詹婷婷 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：肖箭 2010-04 i 摘要 摘要 本文主要由两部分.在第一部分我们主要研究iL nard 系统解的有界性的问 题，基于刘炳文 16 写的文章，我们推广了他的结论，并延伸到了更为一般的 iL nard 系统形式， 得到.第二部分我们研究了平面系统极限集的一般性质问题。 基于文13的技巧和引入正（负）不变集的构造.得到定理 E 和定理 F，推广了文 13的结果 第一篇分为三章： 第一章主要介绍iL nard 系统研究的历史背景和问题的提出； 第二章主要介绍一些相关的基本概念； 第三章
2、主要讨论了iL nard 系统的最终无界正解问题， 得到了四个重要的定 理,其中最主要的是定理 A 和定理 C： 定理 A: 定理 A: 对系统 ( )( ) ( ) dx p yF x dt dy g x dt = = ， （3.2.1） 满足： （1）( )( )0,0yp ypy ； （2）存在M 0,1,记 ()( )( )( )AFGMx yxkp yxxy=, |,0,0； （3）存在 12 ,y yA使得 ( ) 2 1 M y y p y dy k 2 1- 且() 120 ,yy yxX 有()Ax y,= ; 则系统（3.2.1）一定存在最终无界正解. 定理 C: 定理 C
3、: 设系统 ii ( )( ) ( )( ) dx p yF x dt dy h yg x dt = = （3.2.6） 满足： （1）( )()( )0,00yp yypy，且( )( )( )0,hyhypy; （2）存在常数 12 M 0,1,1,记 ()( )( )( )( )( ) 12 AF, GMx yxk p yk g xh yxxy=, |,0,0； （3）存在 12 yy 且 12 ( , )|,x yyyyxaA， and ( )( )( )0,hyhypy; （2）There is a constant 12 M0,1,1,we mark ()( )( )( )( )(
4、 ) 12 AF, GMx yxk p yk g xh yxxy=, |,0,0； （3）Exist 12 yy and 12 ( , )|,x yyyyxaA，and ( )( )( )0,hyhypy; （2）There is a constant 12 M0,1,1, we mark ()( )( )( )( )( ) 12 A,Mx yF xk p yk g xh yG xxy=, |,0,0； （3）Exist 12 yy and 12 ( , )|,x yyyyxaA，且();p = （2）存在 00 0,0,XY使得( ) 00; xXG xY 时 （3）( )( )lim su
5、p, lim sup. xx F xG x + ，且();p = （2）存在 * 00 0,0,XY使得 * 0 xX 时( ) * 0; G xY （3）( )liminf,liminf( ). xx F xG x 则系统（1.1.1）存在一个无界的最终负解. 但是文献7仅考虑了在条件 ( )( )1 lim, y p y = ( )( )( ) () 2 lim suplim inf inf xx F xF x + 或， 而对文献10中( )( ) () lim suplim inf xx F xF x + = += 或情形未讨论。 本文主要基于文献7的思想，仅在条件 ( )lim sup
6、 x F x + +( ) () lim sup x F x + 情形下，讨论了文献7中的系统，同时推广到更一般的iLnard系统. 安徽大学硕士毕业论文 第一篇iLnard系统解的无界解 3 第二章 相关概念和基本定理 2.1 相关概念与定义 第二章 相关概念和基本定理 2.1 相关概念与定义 定义 2.1:定义 2.1: 考虑微分方程 ( , ), ,tI n xf x txWR= （2）( )( ),F xg x在实轴上连续且( )( )F0 =g 0 =0; 则方程组（3.1.1）在整个相平面上(), x y关于初值问题有解的存在唯一性. 在引理的基础上我们讨论系统（3.1.1）的最终
7、无界正解. 3.2 重要结果 3.2 重要结果 3.2.1 3.2.1 ( )lim sup x F x + +情形 对于iLnard系统 ( )( ) ( ) dx p yF x dt dy g x dt = = ， （3.2.1） 我们有定理 A 定理 A： 我们有定理 A 定理 A：对系统（3.2.1） 满足： （1）( )( )0,0yp ypy； （2）存在M0,1,记 ()( )( )( )AFGMx yxkp yxxy=, |,0,0； （3）存在 12 ,y yA使得 安徽大学硕士毕业论文 iLnard系统解的无界解 8 ( ) 2 1 M y y p y dy k 2 1-
8、且() 120 ,yy yxX 有()Ax y,= ; 则系统（3.2.1）一定存在最终无界正解. 证明证明：(),x yA,我们有( )( ),F xkp y即有 ( )( )( )() 1 0 1 p yp yF x k ， 因此，A 中不包含系统（3.2.1）任何奇点. 其次，由条件（3）知存在 12 ,1,2 i yyyA i （3.2.2） 同时对上述 A 中两点() () 12 ,x yx y则有 ( )( )( ) 22 11 M1 () 1 yy yy p y dyp yF x dy kk 2 1- （3.2.3） 另一方面，记()() 12 ,|,Bx yyyx yA=则断言
9、B为正不变集，即证. 而() 000 ,pxyB.记当 0 tt=时，过点 0 p的正不变轨()() 00 ,rprpB + 则有， 记() 0 rp + 写成 0 , )tt T ，为() 0 rp + 的最大存在区间，.T + 假设，结论不真，不妨设存在) 12012 ,t tt Ttt 即有 最后，当( )( )(),x ty tB时，我们有( )( )() ( )10. dx p yF xk p y dt = 安徽大学硕士毕业论文 第一篇iLnard系统解的无界解 9 因而， 基于平面极限集的理论 9 知当t +时，( )rp + 为无界的， 故( )x t +且 ( ) 1 0y t
10、y. 定理得证. 推论 1：推论 1：设系统（3.2.1）满足 （1）( )()( )0,00yp yypy，且();p = （2）存在 00 0,0,XY使得 0 xX 时( ) 0; G xY （3）( )( )lim sup, lim sup. xx F xG x + ,其余条件 不变. 3.2.2 3.2.2 ( )lim inf x F x 情形 情形 安徽大学硕士毕业论文 iLnard系统解的无界解 10 定理定理B：对系统（3.2.1）满足： （1）( )( )0,0yp ypy； （2）存在M0,1, ()( )( )( )AFGMx yxkp yxxy 2 1- 且() 12
11、0 ,yy yxX 有()Ax y,= ; 则系统（3.2.1）一定存在最终无界负解. 证明证明：(),x yA,我们有( )( ),F xkp y 即有 ( )( )( )() 1 0 1 p yp yF x k ， 因此，A 中不包含系统（3.2.1）任何奇点. 其次，由条件（3）知存在 12 ,1,2 i yyyA i （3.2.4） 同时对上述 A 中两点() () 12 ,x yx y则有 ( )( )( ) 22 11 M1 () 1 yy yy p y dyp yF x dy kk 2 1- （3.2.5） 另一方面，记()() 12 ,|,Bx yyyx yA=则断言B为正不变
12、集，即证. 而() 000 ,pxyB.记当 0 tt=时，过点 0 p的正不变轨()() 00 ,rprpB + 则有， 记() 0 rp + 写成 0 , )tt T ，为() 0 rp + 的最大存在区间，.T + 假设，结论不真，不妨设存在) 12012 ,t tt Ttt且，( ) 12, y ty=使得( ) 121 y ty= ( ) 12, yy ty 1 且， 沿轨线() 0 rp + ， 由系统 （3.2.1） 有 ( )()( )()( )()( )( ) ( ) ( ) 21 12 21 ()()2, yx t yx t p y tF x tdyg x tdtG x tG x tM= 因此由（3.2.5）知， 安徽大学硕士毕业论文
