数学模型常用方法讲述

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1、数学模型数学模型 Mathematical ModelingMathematical Modeling 引 言 1. 数学的重要性 2. 为什么要学习数学建模？ 3. 数学建模的形式、内容和方法 数学之所以有如此高的声誉，是因为它 给予自然科学以某种程度的可靠性。 爱因斯坦 一门科学，只有当它成功地运用数学时， 才能达到真正完善的地步。 马克思 一个国家的科学水平可以用它消耗的 数学来度量。 拉奥 数学的重要性：众所周知？ 数学的重要性：众所周知？ n E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142) 现今被如此称颂的“高技术”本质上

2、是数学技术。 n 资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告: (NSF Report, March 1998) 现如今的数学科学对科学的三个方面： 观察、理论和模拟来说都是必不可少的。 数盲和文盲一样是极其有害的。 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力 利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望 数学的重要性：似是而非？ n 不少同学（甚至社会）的反映： - 无用 - 难学 n 原因：很少用；用不好 n 最常用的大学数学内容有哪些? 数学知识 数学技巧 数学应用 数学发现 应用数学 数学技术 数学实验 随机数学 代数与几何 微积分 数学

3、美学 数学哲学 数学精神 数学素质 数学文化 为什么要学习数学建模? 数学建模竞赛(MCM )简介 Mathematical Contest in Modeling 美国大学生数学建模竞赛(MCM) 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM) 竞赛内容与形式简介 实际问题 数学 Mathematical Modeling （美国大学生）数学建模竞赛(MCM) 1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛” 我国(清华等校) 1989年开始每年参加，英文答卷 MCM-2006有10个国家(地区)748队参赛，其中我国 占62%; ICM-2006有224队参赛，其中我国占87% 每年赛题和优秀答卷

4、刊登于同年 UMAP杂志 1999年起又同时推出交叉学科竞赛（ Interdisciplinary Contest in Modeling ICM) 网址： 美国MCM+ICM竞赛规模 与弗萨罗(Fusaro)教授的谈话记录 我们从数学建模竞赛的历史讲起，它 的历史不长，仅有20年左右。 先介绍美国数模竞赛的发起人之一 美国工业与应用数学学会教育委员会主席 、美国马里兰大学弗萨罗(Fusaro)教授，于 1990年7月应邀到上海交通大学访问。以下 是座谈会纪要的摘录： 问：你怎么会想到发起举行美国大学生数 学建模竞赛？ 答：美国从1938年以来，在大学生中举办 了近50届普特南数学竞赛。主要考

5、核学生的 基础知识、逻辑推理和计算能力，几乎没有 应用题，也不能利用计算工具，完全闭卷， 由个人独立完成。这种比赛对培养青年数学 家有积极作用。但是我发现有几个问题。 一是过于纯粹，而大多数学生毕业后将从事各领 域的应用工作。 二是不能看参考书，不能用计算工具，与时代的 发展和真正的科研条件不同。 三是个人独立做，而现代科研往往要一个团体合 作进行。 于是我和一些看法相同的同行发起，在1985年 举办了首届美国大学生数学建模竞赛。全称是 Mathematical Competition in Modeling，1988年 后改称Mathematical Contest in Modeling(

6、MCM) 问：你们的竞赛有什么特点？ 答：针对普特南数学竞赛的问题，我们采取的 办法是命题来源于真实世界，通常由工业部门 提出，然后由数学工作者简化或修正。每次出 两道题，一道连续型，一道离散型，学生任选 一题。可以用计算机，软件包，可以参阅任何 资料。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间 可以讨论，分工协作。最后交一篇论文。论文 并不评分，而是按水平分为三档：优秀奖、良 好奖和鼓励奖。 关于在竞赛过程中，教练起什么作用的 问题，弗萨罗教授作了如下回答。 答：每个队可以有一名教练，其作用是 ，参赛前对队员进行培训，竞赛开始后收发 试题和答卷。除了开始可以与队员一起搞清 题意外，竞赛过程中，教练不

7、得跟队员讨论 与竞赛有关的问题。 问：公开竞赛达三天之久，是否会出现舞 弊或其他不公正现象？ 答：实践证明，从未出现过这种现象，固 然与参赛师生信守参赛誓言有关。我认为， 更重要的是这种竞赛十分紧张，在进行过程 中，别人很难插进去。何况赛题来自许多不 同领域，一般没有现成答案，即使是数学家 ，未经深思熟虑，并查阅一定资料，也很难 发表中肯意见。 从我国多年竞赛的实践看，一般也不会出现舞弊 或其他不公正现象，仅有个别参赛队出现过违规现象 。一旦出现违规现象，将取消该队的评奖资格，并向 全国通报。所以各参赛队应引以为戒，严格信守参赛 誓言，这也是对各参赛队员诚信意识的一个考验。 近年来，随着参赛队

8、的逐渐增多，水平逐渐提高 ，题目的难度也越来越大，而且涉及的领域也越来越 广。例如，2000网易杯全国大学生数学建模竞赛的A 题，就是一个现在正在进行的科研问题，有关DNA的 碱基排列的特点问题。 A题 DNA序列分类 2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计 2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着 自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写 的“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿 的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示 4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。 破译这部世界上最巨量

9、信息的“天书”是二十一世纪最重要的任 务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4 个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这 部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课 题之一。 虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一 些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质 的序列片段，即由这4个字符组成的64种不同的3字符串，其中 大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于 编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些 碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果 。此外，利用统

10、计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关 性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全 局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意 义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节， 突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒 化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。 作为研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分 类的问题： 1）下面有20个已知类别的人工制造的序列（见下页），其 中序列标号110 为A类，11-20为B类。请从中提取特征，构 造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足 够好。然后用你认为满意的方法，对

11、另外20个未标明类别的人 工序列（标号2140）进行分类，把结果用序号（按从小到大 的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）： A类 _ ；B类 _。 请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了 现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。 这40个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件Art- model-data 标识，供下载： 网易网址： 教育频道在线试题； 教育网： News mcm2000 教育网： 2）在同样网址的数据文件Nat-model-data 中给出了182个 自然DNA序列，它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类， 像1）一样地给出分类结果。 提示：衡量分类方法

12、优劣的标准是分类的正确率，构造分类 方法有许多途径，例如提取序列的某些特征，给出它们的数学 表示：几何空间或向量空间的元素等，然后再选择或构造适合 这种数学表示的分类方法；又例如构造概率统计模型，然后用 统计方法分类等。 Art-model-data 1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacg aggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg 2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcg

13、gttt aaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga 20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaactttt gtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat 共20个已经分类的DNA序列片段。 网上下载的2140号序列片段和另外182个DNA 序列片段略，它们都是待分类的序列片段。要对这么 多DNA序列片段进行分类，必须用计算机编程序，找 出它们碱基的排列规律，再用适当的分类方法进行分 类。分类方法有多种，例如有

14、概率统计方法、聚类分 析法、马氏距离分类法、模糊分类法、人工神经网络 等等方法进行分类。从当年阅卷的情况看，上述各种 方法都有使用，用得最多的是马氏距离分类法，在 MATLAB 中编程进行分类。 再看2000网易杯全国大学生数学建模竞赛的B题， B题 钢管订购和运输 要铺设一条A1 A2 A15的输送天然气的主管道, 如图图 一一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 S1，S2，S7 。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细 线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施 工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯 数字表示里程(单位km)。为方便计，

15、1km主管道钢管称为1单位 钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。 钢厂Si 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si 个单位，钢 管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表： 1 单位钢管的铁路运价如下表： 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分 按整公里计算）。 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A1, A2 , , A15，而是管道全线）。 （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用 最小（给出总费用)。 （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对 购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变 化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁 路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解 决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。 A1 3 2 5 80 10 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 450 104 301 750 606 194