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1、山东师范大学 硕士学位论文 大学生数学建模竞赛与教学策略研究 姓名：刘冬梅 申请学位级别：硕士 专业：课程与教学论（数学） 指导教师：傅海伦 20080415 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的况明并表示谢意。 学位论文作者签名矗l 磁 聊签字： 学位论文版权使用授权书 勿陟 本学位论文
2、作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 楚可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：l 之刍 导师签字： 0 和g ( O ) = 0 。这样，改变桌子的位置使四只脚同时着地，就 归结为证明下列数学模型： 己知：，( 臼) 及g ( 秒) 是目的连续函数，对任意0 ，厂( 臼) g ( 臼) = 0 ，且厂( O ) 0 ， g ( O ) = 0 。 求证：存在f 使厂(
3、 f ) = g ( 善) = 0 。 ( 3 ) 模型求解：、 将桌子旋转三，对角线A C 与B D 互换，由g ( 0 ) = 0 和厂( o ) 0 可知 2 g ( 争 0 署Bf ( 2 ) = 0 。 令J z ( 秒) = 厂( 护) 一g ( 臼) ，贝0 庇( O ) o 币n h ( 2 ) o 由f ( O ) 及g ( O ) 是秒的连续函数，知庇( 也是目的连续函数，由零点定理知， 必存在孝( o ，三) ，使矗( ) = ，( 孝) 一g ( 孝) = 0 ，又由己知厂( 孝) g ( f ) = 0 ，所以 厂( f ) = g ( 善) = 0 。 一 教师在讲
4、解零点定理时，即可给学生留下上述的研究题，并作出相应的提示， 这样使学生在掌握定理知识的同时，体会数学建模思想。这样，一个日常生活中 直观简单的实际问题，通过零点定理，在数学上得到很好的解决，使学生深刻体 会数学无处不用无处不在，达到学以致用的目的。 二、在讲解数学知识时体现数学建模的思想 数学建模思想的引入并不是要打破原有的教学秩序和教学体系，学生对数学 知识的学习更多的还要依靠课堂讲解，所以，如何在讲解数学知识时体现数学建 模的思想就尤为重要，下面以微分方程知识和函数知识的讲解为例来说明这个问 题。 1 、微分方程知识的讲解 建立微分方程，解微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。为
5、此， 在传统数学课程教学中，要花时间讲如何在实际问题中提炼微分方程，并且求解。 【例4 】传染病流行的控制模型： 一3 R 一 山东师范人学硕士学位论文 某种传染病的大面积流行，其最常见、最普遍的传播方式就是带菌者通过空 气、食物和饮食等渠道把病菌传给健康人，形成连锁传播。设某地区人群总数为 N ，其中一类是携带病菌的病人x ( O ；另一类是健康人y ( O ，并设单位时间内一个 带菌病人传染的人数与当时健康人数量成正比，比例系数为k ，则有 j 妄= 咖M = h ( t ) N - x 】 【x ( o ) 5x o 此模型恰好是人口模型中的V e r h u l s t 阻滞增长模型。
6、用可分离变量法解微分 方程可得 础，2 鬲弓N 。 x o 由该解可以看出，吖力随t 单调增加，且当工( f ) 专o 。时，由l i m 工( f ) = N 表明，最 终该地区所有的人都将传染生病，如图2 所示。这是很可怕的现象，通常这并非 真实情况，事实上患病人数不可能达到环境允许的最大容量，但却可能渐近这个 最大量值。 ( r 矽。 L N X O厂 D r f 图2 d t k N 2 刀、。 4 0 了N N 7 图3 又有孚：k x ( t ) N z ( f ) 】看出，右边是x ( t ) 的二次函数，由于 d t d 出x , _ _ - k 瞰沪争2 + 譬， 所以当石(
7、 D = 等时，詈取最大值_ k N 广2 ，这说明患病人数的增长速度在 一3 9 山东师范大学硕士学位论文 x ( f ) = i N 时，达到最大值，如图3 所示，这样的结果是比较切合实际的。 上述问题，是把实际问题数字化，用微分方程的知识建立了模型，又解可分 离变量的微分方程得到了模型的解，微分方程的理论在数学建模及其求解中用途 很广泛，教师在讲解有关知识时，一定要体现数学模型的思想，使数学来自具体 问题，又回归到具体问题，增强学生的应用意识。 2 、函数知识的讲解 建立函数关系在数学建模中非常重要，例如，在截断切割优化设计模型中用 到切割函数，在煤矸石堆积模型中，两次用到指数函数。所以
8、，要重视建立函数 关系的应用题的讲解，如在讲指数函数概念时，可引入如下例子： e l 【例5 】下表是某城人口的数据表，试讨论该城的人口增长情况。 从表中第三列可知，人口增长呈非线性增长，如果将每年的人口除以上一年 的人口，将发现人口总数每年以大约1 0 2 6 的比例增长。若用t 表示自1 9 8 0 年 以来的年数，则经过t 年后人口 爿砂为P ( t 1 = 6 7 3 8 ( 1 0 2 6 ) ，称此函 数为以1 0 2 6 为底的指数函数。该 模型可以预测各年的人口数，例如， P ( 2 7 ) 1 3 4 7 6 百万，即再过2 7 年 ( 2 0 0 7 年) ，人口将翻一番，
9、最后给 出指数函数的一般定义。 三、重视传统数学课中重要方法的应用 传统数学课中讲授的一些重要方法在解决实际问题中很有意义，因此，重视 这些方法的讲授对学生解决建模问题有很大的帮助。比如：利用一阶导数、二阶 导数求函数的极值，利用导数求函数曲线在某点的曲率在解决实际问题中很有意 义。在传统数学课中，讲到这些章节时，如果适当向数学建模的题目引伸，可以 收到事半功倍的效果。如在资产投资收益与风险模型中，介绍了公式 1 1 ，州 工 七2 赫的使用。在讲积分上限函数时，应补充( x ) 2 黔- - t ) 2 g o 净这类 函数，因为在报童的策略模型中，会用到类似函数的求导问题。 4 0 山东师
10、范大学颂士学位论文 定积分在数学建模中应用广泛。因此，在定积分的应用这章中，微元法以及 定积分在几何、物理上的应用，都要重点讲授，并尽可能讲一些数学建模的片段， 要巧妙地应用微元法建立积分式。如堆积煤矸石的电费要用到定积分 ， ) = ，k ) ，伽G ) 求二元函数的通常极值与条件极值，L a g r a n g e 乘数法，以及最小二乘法在 数学建模中都有广泛应用，在教学过程中，应注意培养学生用上述工具解决实际 问题的能力。 四、充分利用数学软件、注重数学的教学试验 在美国数学会公报里，S a u n d e r s M a c L a n e 提出把“直觉一探究一出错一 思索一猜想一证明
11、 作为理解数学的一个过程。学生在计算机上做实验，教师引 导其发现规律，他们就有动力试图进行讲解，从而将被动的接受变成主动的发现。 例如，泰勒公式是教学中的重点和难点，为此让学生做如下实验。 【例6 】画出函数f ( x ) = e o s ( 2 x ) 和g ( x ) = 1 4 x 2 在x = O 附近的图象。 学生会发现在x - - - O 附近这两个函数的图 象很接近。而这两个函数一个运算简单，另 一个较复杂。引出问题，能否用简单函数近 似复杂函数? 进一步让学生分析两个函数在 x = O 点的函数值及各阶导数。还可以让学生 画图理解函数与其近似多项式的接近程度。 y 。 0 =
12、c o s ( 2 x 移_ 5N g 伍卜以二 1 5 - 0 5 o 5 1 5 主 ，m 5 ：V V - 1 0 图5 例如，在一个坐标系下画Y = s i nx 和其三次v ：x 一、五次 O 一孚嘉、九次y ：x i X t 3 + 面X5 一丽X 石7 + 磊芸面近似多项式的图象。 0 y 。 L y 。 L x ，x 5 x 7 2 x 3 3 y x 1 2 。j 袁彳3 V=X 。 6 I 1 2 05 0 4 0 2 2 ：s i 瓜，：弋1厂卜 。八f I 蝴6 7 x：I W V6 甜簟 图6 一- 3 l 一2 3 X 9 3 6 2 8 8 0 4 1 。 山东师
13、范大学硕：l 二学位论文 从图中看出，函数y = s m 石与其近似多项式的关系：近似多项式的次数越高， 接近的越好。 通过画图，抽象的数学概念变得直观易懂，激发学生的创造积极性。一些复 杂的计算，使用数学软件，变得迎刃而解，这样的训练内容就可以有所减少，而 更好的注意理解概念，有时间训练解决实际问题的能力。另外，数学软件和实验 不能只停留在引入概念和方法上，不应只作为过去直观教具的发展，而应真正贯 彻S a u n d e r s M a c L a n e 所说的数学全过程，给学生想、做、试的条件。 五、改编例题或习题成为简单的数学建模问题 虽然现有数学教材中例题和习题的条件和结论及解题方
14、法带有定向性，但我 们完全可以将例题或习题，改编成符合学习认知规律且易激发学生探索热情的简 单的数学建模问题。如：同济大学高等数学微分方程中的鸭子过河问题，如 果将鸭子的游速与水的流速约束去掉，就是一个不确定的问题。需要探讨在什么 条件下，鸭子能到达目的地，从开始到目的地所用时间是多少? 若再去掉鸭子游 动方向始终朝着目的地的条件，改为鸭子以任意方式运动，到达目的地的一般条 件是什么? 在到达目的地的条件下，鸭子选择怎样的路线所用时间最少? 均可以 让学生进行探索、研究，养成一种建模的思维意识。 第三节大学生数学建模能力的培养 大学生数学建模活动是一种创造性活动，也是一种解决现实问题的量化手
15、段。作为一种创造性活动，它要求建模者具备敏锐的洞察力、良好的想象力以及 灵感和顿悟，较强的抽象思维和创新意识；作为一种量化手段，它要求建模者具 备较强知识应用能力和实践能力，因此，要重视对大学生数学建模能力的培养。 一、数学建模能力培养的内容分析 笔者认为，要提高大学生的建模综合能力，首先要在平时的课堂教学中从以 下各项能力的培养入手： 1 、双向翻译能力 实际应用问题，一般由普通语言或图表语言给出，而数学建模多是用符号描 述。所以，双向翻译能力是应用数学的基本能力，也是传统教学中缺乏的，为了 一4 2 山东师范大学顾十学位论文 提高这方面的能力，在教学中应该做N - ( 1 ) 注重数学概念
16、、公式、定理的产生和发展的问题背景。语言作为问题 描述的载体，不同的语言有不同的表示形式，它们之间互译准确熟练与否，直接 决定了建模能力的强弱。而诸多数学概念、公式、定理的产生和发展都有着丰富 的问题背景，这为我们在传统的教学中及早的训练语言之间的互译提供了可能的 “土壤”，如S t o k e s 公式、第二类曲面积分的建立等。同时在教学中要适当补充 概念、公式以及定理的应用性，充分体现知识产生于实践，又服务于实践的全过 程。 ( 2 ) 以思维方法为视角，精选、解剖优秀的赛题和参赛作品。思维方法作 为思维个体进行思维活动所遵循的思维规则、手段和工具是认识主体和认识客体 的结合部，是把主体和客体联系起来的纽带。科学的思维方法是人们进行科学认 识的手段，是使思维运动通向客观真理的途径和桥梁。因此，在教学中必须重视 科学思维方法的教育。结合数学建模的学习和培训，在
