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1、第 一 章静 电 场 4. 静电场中的导体和电介质 静电场中导体的性质 导体内电场强度 E 为零，静电平衡； 导体是等位体，导体表面为等位面； 下 页上 页 根据物质在静电场中的表现可以把它们分成导体和电 介质两大类，导体和电介质的存在将影响电场的分布， 因此有必要讨论它们在电场中的性质。 导体导体内含有大量的自由电子，如果对它们施 加电场将引起其中自由电荷的运动。 导体性质： 导体内无电荷 =0，带电导体的电荷一定分布在导 体表面形成面电荷； 第 一 章静 电 场 电场强度垂直于导体表面； 下 页上 页 导体引入电场将发生静电感应现象。 外电场E +- 感应电荷产生的电场 导体球在均匀电场中
2、 第 一 章静 电 场 下 页上 页 静电屏蔽 q在金属球壳内 第 一 章静 电 场 接地导体都不带电。（ ） 一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ） 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不 变的。 （ ） 下 页上 页 思考 电位与参考点的选取有关 第 一 章静 电 场 无极性分子有极性分子 电介质的极化 静电场中的电介质 下 页上 页 E E 电介质 电介质内的电子被原子或分子内在力，或分 子间的力束缚而不能自由运动，如果对它们 施加电场将引电介质的极化。 第 一 章静 电 场 电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列； 电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized cha
3、rge)； 极化电荷与自由电荷一样是产生电场的源，从而引起原 电场的变化。 下 页上 页 电介质性质： 极化强度P ( polarization intensity ) 表示电介质极化程度的量，定义： 电偶极矩 体密度 第 一 章静 电 场 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 电介质的极化率,无量纲量。 各向同性媒质 线性媒质 媒质特性不随空间坐标而变化； 下 页上 页 关于媒质的术语： 媒质特性不随电场方向而改变； 均匀媒质 媒质特性不随电场的值而变化； 第 一 章静 电 场 极化强度与极化电荷的关系 下 页上 页 大电偶极子 V S +Q -Q a 均匀极化 根据电荷守恒原理，极化
4、电荷的总和为零 第 一 章静 电 场 极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子 产生的电位 体积 V 内电偶极子产生的电位 下 页上 页 第 一 章静 电 场 矢量恒等式： 下 页上 页 体积 V 内电偶极矩产生的电位 第 一 章静 电 场 令极化电荷体密度 极化电荷面密度 下 页上 页 第 一 章静 电 场 根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零 电介质均匀极化时，极化电荷体密度 下 页上 页 比较导体和介质的性质可以得出： 电场对导体的影响是引起静电场感应产生感应电荷；电 场对介质的影响是引起介质极化，产生极化电荷； 感应电荷在导体内产生的电场抵消外电场，使导体内电场 为零；极化电荷在介
5、质内产生的电场只是削弱外电场； 导体是等位体；介质中各点电位不同； 介质所能经受的电场强度有一定的限度，这个电场强度 的极限称为电介质强度； 注意 第 一 章静 电 场 电介质中的高斯定律 定义 电位移矢量 （displacement vector） 高斯定理的微分形式 取体积分 高斯定理的积分形式 下 页上 页 普遍形式的 高斯定律 第 一 章静 电 场 介电常数 F/m 其中 相对介电常数，无量纲量。 构成方程 下 页上 页 穿出任意闭合面的电位移矢量的通量等于闭合 面内自由电荷的代数和，而与闭合面的形状、 大小、电荷的分布及介质的分布无关； 在各向同性介质中 注意 第 一 章静 电 场
6、D、E 与 P 三者之间的关系 D线E线P线 D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； E 线由正电荷发出，终止于负电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 下 页上 页 D、E 与 P 三者之间的关系 第 一 章静 电 场 1.3 基本方程分界面上的衔接条件 1. 静电场基本方程 ( Basic Equation ) 静电场是有源无旋场，电荷是静电场的源。 Basic Equation and Boundary Condition 微分形式 积分形式 构成方程 下 页上 页 分析静电场 的依据 第 一 章静 电 场 泊松方程 拉普拉斯算子 拉普拉斯方程 当 =0时 下 页
7、上 页 2.泊松方程与拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation) 第 一 章静 电 场 下 页上 页 泊松方程和拉普拉斯方程结合了静电场基本方程； 泊松方程和拉普拉斯方程只适用于均匀、线性 和各向同性的媒质； 21 3 3 1 2 同一媒质中的有源区和无源区要分别列出泊松 方程和拉普拉斯方程； =0 注意 第 一 章静 电 场 E 的衔接条件 围绕点 P 作一矩形回路 根据 下 页上 页 介质分界面 3. 分界面上的衔接条件（Boundary Condition) 当电场中存在不同媒质时，在不同媒质分界面处，场量 的大小和方向会发生变化，有
8、必要了解分界面上场量所应满 足的条件，这些条件称为不同媒质分界面上的衔接条件。 第 一 章静 电 场 包围点 P 作高斯面 D的衔接条件 根据 介质分界面 当 下 页上 页 第 一 章静 电 场 静电场的折射定理 当交界面上 时， 折射定律 下 页上 页 介质分界面 在不同媒质分界面处，场 量的方向会发生变化。 第 一 章静 电 场 的衔接条件 设 P1 与 P2 位于分界面两侧， 因此电位连续 电位的衔接条件 下 页上 页 若 则 第 一 章静 电 场 得 由 其中 下 页上 页 2 1 a1 b2 a2 b1 等价 第 一 章静 电 场 D 的衔接条件D 的法向分量不连续 下 页上 页 E
9、 的切向分量连续。E 的衔接条件 的衔接条件 电位的法向导数不连续 电位连续 折射定律 结论 第 一 章静 电 场 导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； 导体与电介质分界面 例 解 导体中 E10 ，D1=0 导体表面上任一点的 D 等于该点的 。 下 页上 页 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 分界面衔接条件 分界面介质侧 表明 第 一 章静 电 场 电力电容 下 页上 页 第 一 章静 电 场 测量局部放电 下 页上 页 第 一 章静 电 场 放电铜球 下 页上 页 第 一 章静 电 场 忽略边缘效应 图(a) 图(b) 试求两个平板电容器的电场强度。 平行板电容器 例 解 下
10、页上 页 第 一 章静 电 场 1.4 静电场边值问题 唯一性定理 静电场的求解可分为两类： Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem 下 页上 页 第一类问题：场源问题 已知空间电荷分布，求电场分布 第二类问题：边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。 直接求积分方程 直接求微分方程 第 一 章静 电 场 1. 静电场的边值问题（Boundary Problem) 边值 问题 场域边界条件(待讲） 分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值 自然边界条件 有限
11、值 微分 方程 边界 条件 初始 条件 泊松方程 拉普拉斯方程 下 页上 页 第 一 章静 电 场 场域边界条件 1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann) 3）第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合 已知边界上的电位 已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线) 下 页上 页 第 一 章静 电 场 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 计算法 实验法 解析法 数值法 实测法 模拟法 边 值 问 题 下 页上 页 第 一 章静 电 场
12、试写出图示静电场的边值问题。 下 页上 页 例 解 S1 100V S2 50V 大地以上空间： 第 一 章静 电 场 试写出图示平板电容器电场的边值问题。 下 页上 页 例 解 +q 12 -q 0d xd/2 同一个条件 参考点 第 一 章静 电 场 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 根据场分布的对称性 确定计算场域，边值问题 （阴影区域） 下 页上 页 缆心为正方形 例 解 第 一 章静 电 场 2.静电场的唯一性定理（Uniqueness Theorem) 研究给定怎样的条件静电场解是唯一的。 下 页上 页 唯一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方 程的解是唯一的
13、。 或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。 唯一性定理的证明 ： 证明（反证法） 第 一 章静 电 场 下 页 为简便起见，设场中只有一种均匀媒质，场域边 界为导体边界和无穷远处的边界面。 ro 设场有两个解： 都满足方程和边界条件： S1 S2 Sn So Q1 Q2 Qn 上 页 第 一 章静 电 场 下 页 场域内 无极值 拉普拉 斯方程 零边界 上 页 第 一 章静 电 场 对等式两端求体积分 即 下 页 应用矢量恒等式 0 考虑参考 点电位 上 页 第 一 章静 电 场 3. 唯一性定理的意义 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？ 给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。
14、下 页上 页 平板电容器外加电源U0 例 可用以判断静电场问题解的正确性。 第 一 章静 电 场 已知点电荷的电场，问： 下 页上 页 例 q1. 放置与点电荷同心的导体薄球壳 ，空间场是否改变？ 2. 放置与点电荷同心的有厚度的导体球 壳，空间场是否改变？改变电荷在壳 内的位置，空间场是否改变？ 3. 放置一偏心的导体球壳，空间场 是否改变？ q q 第 一 章静 电 场 图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外 导体接地，求内外导体间的电场分布。 下 页上 页 例 R1 R2 U 解一应用高斯定律 任一点的电位 第 一 章静 电 场 下 页上 页 R1 R2 U 解二 解边值问题，场为轴对称
15、，取圆柱坐标 通解 边界条件 第 一 章静 电 场 图示长度为l 的同轴电缆（lR），内外导体带电荷 Q，求内外导体间的电场分布。 下 页上 页 例 解一 应用高斯定律，以外导体为电位参考 R1 R2 Q -Q 解二解边值问题， 通解 边界条件 第 一 章静 电 场 图示充以两种介质的无限长同轴电缆，内导体加电 压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。 下 页上 页 例 1 2 R1 R2 R3 解解边值问题， 通解 边界条件 第 一 章静 电 场 通解 试求体电荷分布的球体产生的电位及电场。 采用球坐标系,分区域建立方程 边界条件 参考电位 下 页上 页 体电荷分布的球体 例 解 第 一 章静 电 场 电场强度（球坐标梯度公式）： 得到 随r变化曲线 下 页上 页 第 一 章静 电 场 下 页上 页 为一些间接计算方法提供理论依据。
