广义函数列的弱收敛问题

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1、广义函数列 的弱收 ? 敛问题 费国方 许多常义函数?指 “ 实数对应实数 , 的普通函效?可以看作广义函数 。 本文讨论常义 函数列的各种收敛 隆?如处处收敛 、 一致收敛等?与广义 函数列的弱收敛性之间的若干关 系 ? 同时 , 对于物理 、 工程 中应用较多 的乙一式函数列 , 指 出初学者容易产生 的一些误 解 ? 最后 , 就乙一函数的定义问题提出一点看法 。 一 、 基 本概念 关于广义函数的基本概念 , 在夏道行等所编 实变函数论与泛 函分析下册第七章 中 有所 论述 。 下文所用术语和记号 与该书相同 。 定义 ? 、 设?是基本函数空 间 ? ? 上的线性连续泛 函 , 称?

2、为?上的广义函数 。 记?上 的广义函数全体为? 产。 定理 、 ? ?五 ? ? ? 为局 部 可积函数空 间? , 泛 函? , ? 、一 ? , 、 , 一 ? ?、?劣? ? , 、。? ? ? 是?上的线性连续泛 函 , 而且映照? ? 厂? ? ?是可逆的线性映照 。 由上述定理 , 可 以把常义函数? ? 与它所对应的广义函数? 了视为 同一 , 也称?为 广义函数 。 这一类广义函数称为正则的 ? 但是 , 定理中所 说 的?只是? ? 到? 的 一个 子集的一一对应 , 而不是? ? 到? 的一一对应 ? 这就是说 ? 存在非正则的广义函数 。 定义 ? ? 设 ? ? ?,

3、 尤上的广义 函数各 “? 甲? ?各 。 , 甲 ? ?甲? ? , 甲? 称为? 亡 ? 的乙一函数 。 乙一函数是非正则的广义 函数 , 即 ? 若把乙 。写 为城 “一 ? ? , 那 么 , ? ? 中不 存在这样 的函数乙?二一 ? ? , 使得 ? “? 一 , 、 ?劣, ?一、? , , 甲? ? ? 龟 矛 砚卜 因此 , 上式中的 “ 函数 ” 各?一 ? ?和积分记号完全是形式而已 。 定义 ? ? 设? 。 ? , ?任? 产 , 如果对一切 甲? 有? ? ? ? , 印 ? ? ?尸 , 印 ? ? , 则称? 。 ?弱收敛于? , 记 为? 。 一? 。 ? 产

4、 定义 ? ? 设仃 , ?乙 ? , 而且? , 一?乙 , 则称? ,。?是 乙一式函数列 ? ? 二 、 常义函 数列的收敛性与广义函数 列的 弱收敛性之 间的若千关系 以下只讨论一元函数 , 业把?一? ? , ? ?记为尸 ? 首先注意到 , 广义函数列的弱收敛定义 和常义 函数列 的处处收敛可作简单的类比 ? ?勿 ?凡 , 甲 ? ? ? , 甲 ? , ?甲? ?。? 。 ? 二 ?二? ? ? ? , 翔 气璐 当然 , 这种对比完全是形式 的 。 不过 , ? 义? 我 们还是可以讨论 一下 , 两者有无关系? ? 产 ? 命题 ? 、 设 ? 。 ? ? , ?任? ?

5、, 那 么 , ?由厂 。 ? ?推不出? 。 一? ? ? ?由? , 一? ? 推不 出? 。 ? ? ?此处? 。 ? ?表示常义函数列? , ? 二? ?在?上处处收敛于? 二? ? 。 ? , 证明 ? ?只要找出 一列? , ? ? ? 以及?任? ? , 满足? , 一?但不成立? 。 ? 一 ? 。 事 实上 , 下述 函数列? , ? 二? ? 五 ? 即为所求 ? 厂 义 ? 月 、涌? ? , 当? , ? 当 ? ?一? , ? 显然 , 褚? 。 ?幻圣在?上收敛于 。 要找出某个甲? , 使得 , 仪? 。 甲? ? ? ? ? 。 为了证明关系式? 。 一? ?

6、不 成立 , 只 ? 甘 ? ? 甘 ?户 ? 、“?斗 ? ?彬 ? 。 甲?二斗。 当? ? 当? 二 ? 尹 ? 、 ? 一一 、?产 戈 声 、 甲 则甲? “? ? , 而且对每个 自然数 。, 有 协 ? ? 、?一 ?一 ? ?万? ? ? ?舟万 一 ? ? ?一 ” 二? 一万? ?舟百 ? ? 召万 ? ?一 一 ? ? ? ? ? 戈召一 ? ? 二 ? ? ? 召 一 ?劣 ? ? 了 了 ?肠下 、 、声 了 ? 。一 ? 一? ? 一 ” ? ? 一 “ ?舟万 ? ? , ?一? 劣 ? 一“ ? ? ? ? ?奋 一 梦 一 ? 一 ? ? 一 ,曰 一 ?一?

7、 记 ?一 ? ? 一 ? 一 场 ? , 甲?二? ? ? ? , ? ? ? ? 上式即 , ? , ? ? ? 因此 , ?。 ? 甲义钾。 ? ? 设? 。 二 ? , ? , ? “? 再令 ? ? ? 二? , 。?二?一 土 ? , 作函数列?夕 ,? ? 二?如下 ? ? ? 。 ? 二? , 当 “今? 当 二? 当 ? 年? 当 ? 二? 显然笼 ? 。 ?仁?气 ?气 且?甲? , 成立 甲? 刃尹 ? 尸? ? ? ? ?忽 ? 。 甲“?一?决 ? ?印? 劣 , ? ? 一一 ? ? 甲 ?了 ? 户? ? ? 一一 ? , 因此 ? 。一 ”? , 但? 。?并

8、不处处收敛于? , 即夕 。 一, ? 不成立 。 证毕 弱收敛和几乎处处收敛也 没有包含关系 。 ? , ? ? ? 尤 , 命题? ? 设谧? , ?五气 ?任?气 那 么 , ?由? 。 二、?推不 出 ? 。 一。? ? ?由? , 一”?推不 出? 。二 、? ?此处? , 止、?表示函数列理? 。 ? 二?在尸上几乎处处收敛于? ? ? ? 证明 ? ?作函数列 ? , ? ?如下 ? 当 ? ? 当 “ ?一 乡 阅脚 , ? ? 一 ? 朴戈仑一 ” 戈 对于其它的? ? !| 一一 、 J 戈 、 几 一_ _ _ _ _ _ _ _ K , _ 则 j , 二。 j兰O ,

9、 仿命题1之的证明可知 f , 一。 O不成立 。 对每个自然数 。, 记 。 = 2 + 。 , 其中。( 。 N时 If , ( 二 )一f(%)1 义 a , b 因此 , 当 , ; N时 于是 , 由命题3即知结论成立. 命题6 .设 f , 五气f L气如果对于任意有界可 测集万仁R , 证毕 笼f 。 在E上依测度收 敛于f , 并且存在中L气使得If 。 簇中 , 、 1 , 2 , , 那么f 。 证明: U 甲K , 由L 。乙。 :夕。 。控制收 敛定理 即得 l户 , , 、“/一 l , 甲“/ S甲S 甲 K , , j , 一”几 证毕 . 此 因 三 、 关于乙

10、一式函数 列 因为乙一函数 不仅是广义函数 , 而且是非正则的广义函数 , 它 不能和任 何常义函数 .视 为同一 ” , 所以问题显得复杂一 些 。 为明确起见 , 以下所说的乙一函数均指执 , 即 印 ! (执 , 甲)=甲(0 ) 对于非数学专业的读者 , 一提到各一函数 , 印象最深的往往是下列粗 糙的 “ 定义 ”: 劣 寺O 劣 = O 卉 r J. k 一一 、,产 X f 、 西 丁 乙(/“- 加之常见 的乙一式函数列从图象直观 上看在%= 0处的 “ 峰 ” 无限增高 , 所以往往以为 考f , ( x ) 能否成为乙一式函数列与笼f , ( o )是否趋于c o有关 ,

11、这显然是误解 。 因为乙一式函数 列是弱收敛于各一函数的一列广义函数 (见前面第一段中定义4) , 尽管这一列广义 函数 是正则的 , 即它们可以和常义函数 “ 视为同一 ” , 但弱收敛决不是常义 函数列的 那种收 敛 。 由前面第一段中定义4可知 , 函数列f 。 L 若成为乙 一式函数列的充要条件是 。 甲d=印(o) , V 甲K (r) ! . R 沉 - 2 . 例1.设 j 。 ( 二 )一 ” 、 0 . 当 “ 当 二今O 贝。V 、。K , 丁 , 甲二一。 , 因此(,)式 不。成立 , 即 , 。 ( / )不是。一式函数歹。 R 冲 熟 诊 下面给出另一个例子 , 虽

12、然f , ( 。) 不趋于o o , 但笼f , ( 二) 却是乙一式函数列 。 例2 . 设仆 。 ( “) 是乙一式函数列 , 作函数列f , ( 二) 如 下: , 乃 。 ( 义) , % 今0 f , (均- 、 1 , 劣= = 0 则按( 1)式易证 丈 f , ( 二 ) 是乙一式函数列 。 再 举一例 。 为此 , 先叙述一个有用 的命题 , 其证明见夏道行等编实变函数论与泛函 分析下册尸 . 3 9 0例3 。 “ 设f 。 已L气满足:对任何二 0 , 存在常数C 阴, 使得 对一切a汤 , , : , 当 a l 乙 川 , ,“,。时 1 , “/ !、 。, 对任何

13、两个固定的 , “( 。 “, 一口 量乙(x)称为狄拉克 (D i:。 。)乙一函数. 此函数不符合古典函数的定义 , 但它可以表示 成某个函数序列的极限 , 且这个序列 中的每个函数的图象的宽度逐渐减小 , 并向上面拉 长 , 以使得每条曲线与二轴所围成的面积等于1 . 例如 己(二)=l艺 。f 。 ( 二) 这里 f 。 (习一 井厂 , 。一 “ V 兀 引进了诸如狄拉克卜函数符号以后 , 就给物理学家以将基本粒子看作一个点来 研究 的可能性 。 ” 物理学中的数学方法是李政道在美国一所大学的讲稿 , 听课的是 物 理系学生 对卜函数的这种描述完全是 从实际 出发的 , 一是从学生的

14、实际程度出发 , 二是从客观现实 出发:因为把乙( 二)想象为在二等。时为。 , 在 二二。时为二 的一个 “ 函数 ” , 确实反映了一 种现实的量的关系单位集中量 的密度分布 , 并给现实的不连续量提供了数学表述 的可 能性;更何况作者同时又明确指出: “ 此函数不符合古典函数的定义 ” , 所以这样的描述 是合情合理的 . 事实上 , 在一般的物理 、 工程等书刊中都指出了卜函数是不能从古典函 数的意义上来理解的 。 例如 : “ 这样的密度分布函数p(x , y , 二 )在较早的数学理论中是无意义的 。 只 是在近代的物 理学和数学中 , 才把函数的概念推广而给它以确定的意 义 ,

15、并用符号各( 二 , y , z ) 表 示 , 称 为乙函数 。 ” (曹昌祺:( (电动力学 尸 .8 3 ) “ 数学上乙函数的正规的定义 , 需要推广通常的函数概念 。 ” (巴蒂金: 电动力学习 题集尸 .5 00 ) 既然卜函数不是古典函数 , 甚至连包含卜函数的 “ 积分 , I 乙/ 一 ,甲 X, /一甲( , 节 也不是通常的积分而只是一种形式的记号 , 那么 , 按通常函数的通常微积分运算 , 从卜函 数的粗糙的描述性 “ 定义 ” 中挑出许多矛盾来 , 这是不足为奇的 。 我的看法是 : 对于非数 学专业的读者 , 还是要从实际 出发 。 在给卜函数下定义时 , 既作粗糙的描述 , 同时又指 出其 “ 正规的定义需要推广通常的函数概念 ” 。 前者从数学上讲当然是通不过的 , 但可以 启发人们从物理意义上体会到事情的合理性 , 而后者则是起到了在数学上 堵住漏洞的作 用 . 事实上对于那些需要掌握卜函数严格理论的读者 , 他们可以从数学方面进一步钻研 . 但这样做势必要花费较多的精力 , 一般读者难以办到 。 结论是:在6 一 函数的粗糙定义后面 加上 “正规 定义需要推广通常的函数概念 ” 这样一句话 , 也可