《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用3 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用3 新人教a版选修1-1（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时（2） 方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 的长度 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0yR x0 yR xRy0 y0 xR l F y x O 关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0）（0,0）（0,0）（0,0） 一、直线与抛物线位置关系种类 x y O 1、相离；2、相切；3、相交（一个交点， 两个交点） 与双曲线的 情况一样 x y O 二、判断方法探讨 1、直线与抛
2、物线相离，无交点。 例：判断直线 y = x +2与 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得 到一元二次方 程，需计算判 别式。相离。 x y O 2、直线与抛物线相切，交于一点。 例：判断直线 y = x +1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得 到一元二次方 程，需计算判 别式。相切。 二、判断方法探讨 x y O 3、直线与抛物线的对称轴平行，相交于 一点。 例：判断直线 y = 6与抛 物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得到一 元一次方程，容易 解出交点坐标 二、判断方法探讨 x y O 例：判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系
3、计算结果：得到一 元二次方程，需计 算判别式。相交。 4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 于两点。 二、判断方法探讨 判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一）： 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 0=00=00) (5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 总结：焦点弦问题 例4、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线 两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1）， 求直线l的方程. 说明：中点弦问题的解决方法： 联立直线方程与曲线方程求解 点差法 中点弦问题： 例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)
4、作直线与抛物线 交于A、B，求AB中点的轨迹方程. . F 解： 丛书65页第10题 . F . F . F 抛物线的最值与定值问题 如图，已知AOB的一个顶点为抛物线 的顶点，A，B都在抛物线上，且AOB=90。 （1）证明直线必过一定点； （）求面积的最小值。 x y O y2=2x A B l 6、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 求证：OAOB. 证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB x y O y2=2px A B l:x=2p C(2p,0) 变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(
5、p0)交于 A、B两点，求证：OAOB. x y O y2=2px A B l P(2p,0 ) 变式2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 且OAOB ，则_ _. 直线l过定点(2p,0) x y O y2=2px A B l P . F . F 设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0), 过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为 A1,B1,M1,则 y F A(x1,y1) O B(x2,y2) M A1 B1 M1 总结：焦点弦问题 A(x1,y1) (1)|AB|x1+x2+p (2
6、)x1x2= ,y1y2= - p2 X y F O B(x2,y2) M A1 B1 M1 y2=2px(p0) (5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与 y2 = 2px（p0）交于相异两点A、B， 以线段AB为直径作圆C(C为圆心）， 试证明抛物线顶点在圆C上。 x y O y2=2px A B l Q(2p,0 ) 谢谢大家，再见！谢谢大家，再见！ . F 焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线PQ:x=ky+k/4a 由抛物线第二定义, p=PF=y1+1/4a, q=PF2=y2+1/4a 联立
7、y=ax2,x=ky+k/4a, 得16a2k2y2+(8ak2-16a)y+k2=0 y1+y2=(16a-8ak2)/16a2k2=(2-k2)/2ak2, y1y2=k2/16a2k2=1/16a2 1/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=(y1+y2)+1/2a/y1y2+(y1+y2)/4a+ 1/16a2 =(2-k2)/2ak2+1/2a/1/16a2+(2-k2)/2ak2/4a+1/16a2(同乘8a2k2) =4a(2-k2)+4ak2/k2+2-k2=8a/2=4a 练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。 FA B M 解法1： xo y 利用弦长公式解题 题型二：抛物线的最值问题 练习： 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。 解法二： xo y F A B M CND 利用定义解题 题型二：抛物线的最值问题 例2. 题型二：抛物线的最值问题 解：(1)设A（x1,y1），B（x2,y2）， OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 题型三：抛物线的定值问题
