数字信号处理第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计.

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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 定义： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、灵活，不要求阻抗匹配，可实现 特殊滤波功能等 优点： 6-1 数字滤波器的基本概念 一、数字滤波器的分类 经典滤波器： 现代滤波器： 特点：输入信号中有用的频率成分和希望滤除的 频率成分各占不同的频带，通过一个合适的选频 滤波器达到滤

2、波目的。 维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等 特点：信号和干扰的频带互相重叠 按功能分：低通、高通、带通、带阻 其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示， （2）以数字抽样频率 为周期 （3）依取样定理 所以：在0,2间，数字信号最高频率为 以上理想滤波器无法实现，因为h(n)均为非因果无 限长,只能按某些准则设计滤波器,使之尽可能逼近它 低频频带：2k附近；高频频带: (2k+1)附近 注意与模拟滤波器区别 按实现的网络结构或单位抽样响应分： FIR滤波器（N-1阶） IIR滤波器（N阶） 二、数字滤波器的技术要求 为幅频特性：信号通过该滤波器后各频率成分 的衰减情况 为相频特性：各

3、频率成分通过滤波器后在时 间上的延时情况 一般选频滤波器的技术要求由幅频给出，相频特性不 做要求。 通带： 阻带: ：通带内允许的最大衰减 ：阻带内应达到的最小衰减 当幅度为 时， ，此时 ，故称 为 通带截止频率 1) IIR滤波器设计方法 变换成满足预定指标的数字滤波器 三、数字滤波器设计方法概述 b.直接设计法：直接在频域或时域设计 a.借助模拟滤波器设计 ）FIR滤波器设计方法 窗函数法 频率采样法 ）线性相位滤波器设计方法 FIR滤波器：常用（相位特性严格线性， 这是AF无法达到的） IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线 性相位特性进行相位校正 6-2 模拟滤波器的设计 (1) 模

4、拟滤波器设计方法已相当成熟，有严格的设计 公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。 (2) 常用的模拟滤波器：巴特沃斯，切比雪夫，椭圆 ，贝塞尔滤波器等。 (3) 设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过 低通滤波器转换成希望类型的滤波器。 1、概述 各种理想滤波器的幅频特性 2、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 设计指标： ， ， 和 。 通带截止频率 阻带截止频率 通带： 阻带： 用 表示 通带最大衰减系数 阻带最小衰减系数 c称为3dB截止频率 在指标给定后，需要设计一个传输函数 ，希望其幅 度平方函数满足给定的指标 和 。 所以 幅度平方函数 h(t)为实函数， 对于稳定系统， 的极

5、点位于左半s平面，所以 的极点为右半s平面 由 确定 的方法 （1）求 （2）分解 得到各零极点，将左半面的 极点 归于 ，对称的零点任一半归 。 （3）按频率特性确定增益常数 。 3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数 当 =0 时， =1 当 时， =0.5,取3dB值 当 时，随 加大，幅度迅速下降， N愈大，幅度下降的 速度愈快，过渡带愈窄 (2)、特点 (3)、幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成 通带内有最大平坦的幅度特性； 不管N为多少，都通过 点。 巴氏滤波器在通带和阻带内幅度特性是单调的 求极点： k=0,1,2,2N-1 2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上

6、,间隔为 设N=3，极点间隔为/3 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s) 为使设计统一，将所有频率归一化，采用对3 截止 频率 进行归一化。 令 其中 为归一化极点 1+2p+2p2+p3 举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数 查表得 将 代入上式得 下面介绍如何确定阶数N 由上面两式可得： 同理 上两式得： 令 则 （1） （2） 的确定: 由(1)式 得： 由(2)式 得： 总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 （1）由p,p,s和s N, c （2）求出归一化极点pk，代入 或根据阶数N直接查表得到归一化传输函数Ha(p) 得Ha(p)

7、 （3）将Ha(p)去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得 到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 例： 已知通带频率fp=5kHz处,通带最大衰减p=2dB, 阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=30dB，按照 以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 (2)由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511, -0.8090j0.5878; -1.0000 或查表得到Ha(p)分母多项式系数： b0=1.0000, b1=3.2361, b2=5.2361, b3=5.2361, b4=3.2361 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率

8、c 将p=s/c代入Ha(p)中得到 ： 将c代入 式，得到： 值小于指标的12KHZ，说明阻带指标有富裕 4、切比雪夫（Chebyshev）滤波器 n巴特沃斯滤波器的频率特性在通带和阻带内都是单 调的，所以当通带边界满足指标时则通带内肯定有余 量 n为得到既满足指标而阶次又比较低的滤波器，更好 的设计方法应该是将精度均匀的分布在整个通带或阻 带内，或同时分布在两者之内，这可以通过选择具有 等波纹特性的逼近函数来达到。 n切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性 ，二种形式： 切比雪夫型： 切比雪夫型： 通带内等波纹，阻带内单调 通带内单调，阻带内等波纹 切比雪夫型滤波器幅频特性 为为小于

9、1的正数，表示通带带内振幅波动动的程度 切比雪夫型滤滤波器的平方幅度函数为为： 是N阶切比雪夫多项式，定义为： 时 即 在0，p上有波动，最大值为1，最小值 为 即 当|x|1时，即 时， CN(x)是双曲线函数，随 x单调上升。 单调下降，阶数N越大，过渡带内 幅度响应变化越陡，也就是衰减迅速。 平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中 与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹 用下式表示： 因此 这样已知通带波纹，可求出参数 阶数N影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密 3dB截止频率用c表示 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确 定Ha(p)，p=s/p。 查阅相

10、关模拟滤波器手册，可求出 去归一化后： P162163 自学设计步骤，例6.2.2 5.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤 波器的设计 对于高通、带通、带阻模拟滤波器均可由低通型 导出，只需把按归一化频率（ ）设计的低通 滤波器作为原型，加以适当的频率变换，就可以得 到所需的其他类型的滤波器。如图所示： 给定高通 、带通或 带阻的技 术指标 低通滤 波器技 术指标 设计归一 化模拟低 通滤波器 高通、带 通或带阻 滤波器 频率 转换 频率 转换 自学P164170 归一化模拟低通 模拟高通 归一化模拟低通 模拟带通 归一化模拟低通 模拟带阻 通带中心频率20=lu，通带宽度B=ul 带

11、通上限频率u，带通下限频率l 6.3 脉冲响应不变法 （2）滤波器的因果稳定性应在数字滤波器中保持，也 即s平面的左半平面应映射到Z平面的单位圆内。 从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是要由给出的 H(s)进一步求得H(Z)，即做一个从s平面到Z平面的变 换，这个变换应遵循两个基本的目标： （1）数字滤波器的频率响应要模仿模拟滤波器的频 响，即s平面的虚轴j应映射到Z平面的单位圆上。 0 S z - 工程上常用脉冲响应不变法和双线性变换法。 0 S z - 冲激响应不变法是从时域出发,要求数字滤波器 的冲激响应h(n)对应于模拟滤波器ha(t) 的等间隔抽 样。 h(n)=ha(nT) ,其中

12、T是抽样周期。 因此时域逼近良好。 一、变换原理 时域 采样 拉氏逆 变换 Z变换 设 只有单阶极点 对 进行逆拉氏变换得 可见： 的极点 映射到z平面，其极点变成 ，系数 不变 下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，S平 面和Z平面的映射关系 s平面与z平面的映射关系 根据采样序列拉氏变换与原模拟信号拉氏变换的关系 上式表明：Ha(s)在S平面沿虚轴按周期 作周期延拓 ，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。 ：s虚轴对应z平面单位圆上 ：s虚轴左半边对应z平面单位圆内 ：s虚轴右半边对应z平面单位圆外 S平面沿 轴分割成一条条宽为 的水平带。 每条水平带都重叠地映射到整个z平面。 脉冲

13、响应不变法映射关系 应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H(z) 的关系，而不是Ha(s)本身与H(z)的关系，因此，使用脉冲响应 不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对 应的简单代数映射关系，存在多对一的映射关系 如果原模拟信号的频带不是限于 之间，则 会在的 奇数倍附近产生频率混叠，映射到z平 面在 附近产生混叠。 所出现的问题: 此法只适用于带限滤波器 修正H(z): 当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正 令： 保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 优缺点 优点： 缺点： 频率响应混迭 只适用于限带的低

14、通、带通滤波器 h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好 试用脉冲响应不变法，设计IIR数字滤波器 例：设模拟滤波器的系统函数为 解：据题意，得数字滤波器的系统函数： 设T = 1s，则 模拟滤波器的频率响应： 数字滤波器的频率响应： 6.4 双线性变换法 脉冲响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模 拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。 这是由于从S平面-Z平面是多值的映射关系所造成的 。为了克服这一缺点，采用双线性变换法。 一、变换原理 双线性变换法是从频域出发，使DF的频率响应 与AF的频率响应相似的一种变换法。 双线性变换的映射关系 由上图可知，将 S平面进行压缩，这可通过正切变 换实现： 由上式可知，当 由 经过0变到 时， 将由 经过0变到 令 j=S, j1=S1 若用S表示Z，可得： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性 下面分析与的关系： 二、优缺点： 优点：避免了频率响应的混迭现象，这是因为s平面 与Z平面是单值的一一对应关系，因而双线性变 换不会出现混叠现象。 缺点：除了零频率附近，与 之间严重非线性 2）适合于片断常数特性的滤波器设计，不