流体力学_08绕流运动

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1、第八章 绕流运动 8-1 无旋流动 8-2 平面无旋流动 8-3 几种简单的平面无旋流动 8-4 势流叠加 8-6 绕流运动与附面层基本概念 8-10 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 Date 8-1 无旋流动 如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋 转运动，即 ，则称该流动为无旋流动（势流）。 Date 因此，无旋运动无旋流动的前提条件是： （81） 式（81）是 为某一势函数 的 全微分的充分必需条件，其中 t 为参变量，必有 又因 说明无旋必有势 故 （83） （82） Date 圆柱坐标系 （84） 球坐标系 （85） Date 证 流速势函数 的性质： （88） 1、

2、对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速，即 Date 流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上 位于等势面上的线称为等势线。 所以 式中 速度向量； 等势面上微元弧向量。 2、等势线与流线正交 定义： 说明：速度u与ds正交。等势线既是过流断面线。 一族流线与等势线构成相互正交的流网。 Date 3、流速势函数沿流线 s 方向增大。 从而得 由性质1得沿流线方向的速度为 沿流线方向速度 ，所以 ，即说明 值 增大的方向与 s 方向相同。 Date 4、流速势函数是调和函数 代入不可压缩流体的连续方程中得 从而得 或者 （8 9） （810) 上式说明流速势函数 满足拉普拉斯 方程式，在数

3、 学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数 是调和函数。 平面势流中 Date 8-2 平面无旋流动 一、平面无旋流动的势函数 在不可压缩流体平面流动中，旋转角速度只可能有z 的分量，如果z为零，即： 则为平面无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为： 在流场中，某一方向(取作z轴方向)流速为零，u z0，而 另两方向的流速ux、uy与上述轴向坐标z无关的流动，称为平面 流动。 Date 例如工业液槽的边侧吸气，沿长形液槽两边，设置狭缝吸风口。气流由吸风 口a吸出，在液槽上方造成xy平面上的速度场。沿长度方向，即垂直于纸面方 向，流速为零。而且沿此方向取任一xy平面，它的速度场完全

4、一致，这就是平 面流动的具体例子(图82)。 Date 并满足拉普拉斯方程： 不可压缩流体平面流动的速度ux，uy可以用下式表示： 一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函 数，但是，只有无旋流动才存在势函数。所以。对于平面流动问题，流函数具 有更普遍的性质，它是研究平面流动的一个重要工具。下面我们具体讨论下流 函数。 直角坐标：极坐标： Date 二、平面无旋流动的流函数 （811） 即 它是使 成为某一函数 的全微分的充要 条件，则有 故 （812） 对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为 Date 就称为不可压缩流体平面流动的流函数。 类似地可证，在极坐标中

5、（813） 因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的 连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以 说任何平面流动中一定存在着一个流函数 。 Date 三、流函数的基本性质 因为 即 为流线方程。 1、等流函数线为流线 Date 2、在平面无旋流动中 流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。 证：平面无旋流动需满足 则 因为 代入上式， 平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为： Date 在数学分析中，这个关系式称为柯西黎曼条件，满 足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一 个函数就可以求出另一个函数。 Date 证：考察通过任意一条曲线AB（ z 方向为单位长度

6、）的流量。 （图82）对于通过微元矢量 的流量 则通过AB两点的任意连线AB的流量 （814） 3、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。 图82流函数与流量的关系 Date 4、等流函数线（流线）与等势线正交 说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别 与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。 这是因为 5、流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。 由于等流函数值线（即流线）和等势函数值线（简称等势线） 相互垂直，我们可以把流线和等势线绘入同一流场中，得出相应的 一系列等势线。这两簇曲线构成正交曲线网格，称之为流网。 Date 四、流场中流网的绘制 流场中的流网可以利

7、用流线和等势线 相互正交，形成曲线正方网格的特性，直接 在流场中徒手绘出。具体绘法是用一张绘图 纸，先绘出流场。根据流动的大致方向，试 绘一系列流线以及垂直于流线的等势线，形 成正交网格。初绘之后，检查不符合流网的 特性的地方，用橡皮擦去，重新修改，逐渐 形成互相垂直的正方形网格。最后绘成基本 上符合流网特性的两簇曲线图8-5)。绘制 时，抓住边界条件是重要的。一般说来，固 体边界都是边界流线；过水断面或势能相等 的线，都是边界等势线。对于给定流场，绘 出边界等势线和边界流线，就确定了流网的 范围。 Date 8-3 几种简单的平面无旋流动 一、均匀直线流 设液体作平行直线等速流动，流场中各点

8、速度的大小和方 向均相同，即 均为定值。 而流函数为 由于 于是，速度势为 又 （817） （817） Date 图 83 平 行 等 速 流 变为极坐标方程为： 速度势与流函数在直角坐标上表示如下图： Date 流体从某一点径向流出称为源，如图84（a）所示。 流体从某一点径向流入称为汇，如图84（b）所示。 设半径 r 方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为Q，则 由此 （ a ） （ b ） 图 8 4 源 与 汇 二、源流和汇流 定义： Date 由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量 。 在极坐标中，由式（87） 积分得 （818） 据流函数得： 积分得 式中 分别是关于 的积分

9、常数，根据上面两个 应该相等，得 Date 式中 分别是关于 的积分常数，由两个 应该 相等，得 （819） 故 假定流出流量为正，则源流取“ ”号，汇流取“-”号。源汇 流的等势线为一组同心圆。 Date 现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度 ， 而径向速度 。如图85所示，并且定义速度 在圆周切线 上的线积分为速度环量 （环流强度），即 三、环流 所以 由式（86） （820） 积分得 Date 由此得 积分得 （821） 等势线是一族射线。 图84（a）环流 应当注意，环流是圆周流动，但却不是有旋流动。因为， 除了原点这个特殊的奇点之外，各流体质点均无旋转角速度。 Date

10、四、直角内的流动 假设无旋流动的速度势为： 则 流函数全微分为 Date 8-4 势流的叠加 由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线 性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。 设有两个势流，其速度势分别为 ，则 （824） 此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势 流，其速度势 （825） Date 因为 （826） 即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量 （827） 同理可证明，新的复合流动的流函数 （828） Date 叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原 始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势 流速度的矢量和。 势流

11、的叠加原理： Date 一、均匀直线流中的源流 将源流和水平匀速直线流相加，坐标原点选在源点，则流函数： 由此可以用极坐标画出流速场，如图8- 12。这是绕某特殊形状物体前部的流动。 在源点0，流速极大。离开源点流速迅速 降低。离源点较远之处，流速几乎不受影响，保 持匀速v0。但在离源点前其一距离xs，必然存在着 某一点s，匀速流速和源流在该点所造成的速度， 大小相等，方向相反，使该点流速为零，这一点 称为驻点。它的位置xs可以根据势流叠加原理来确 定： Date 二、匀速直线流中的等强源汇流 在匀速直线流中，沿x轴叠加一对强度相等的源和汇，这样的叠加势流， 可以用以描述下图所示的绕朗金椭圆的

12、流动。 匀速直线流中的等强源汇流的流函数为： 驻点在物体的前后，它流速为零的条件为： 得出： Date 若将位于 点，强度为Q的源与位于B 点等强度 的汇叠加（图85）令 分别为源与汇的速度 势和流函数，则叠加后某点 的速度势 （822） 流函数 （823） 三、偶极流绕柱体的流动 图 85 源与汇 Date 源流和环流相加，使流体既作旋转运动，又作径向流动，称为源环流。 这种流动的流函数： 四、源环流 零流线方程，0。得出： 表明流线是对数螺旋线簇，如图8-16。这种 在半径为r1的内圆周到半径为r2的外圆周的流动， 对工程上有重要意义。从内向外流速不断减少， 则压强不断增大。径向流速和辐向

13、流速为： Date 本章主要研究平板上的边界层，因为流线体绕流与平板绕流 相接近。 粘性流体运动时的解析近似解至今在两种情况下才能获得， 一种是 时，可忽略惯性力，使基本方程线性化，这就是所 谓蠕流理论；另一种是 时，求解物体绕流阻力的边界层理 论，它对流体的粘性仅局限于边界内考虑，而边界层之外的广大 主流区，可当作理想流体的势流。 8-6 绕流运动与附面层基本概念 Date 粘性流体与理想流体的根本区别：粘性流体具有粘滞性。 当粘性流体在静止固定边界上流动时，流体在固定边界上的 速度为零，随与固体边界距离的增大，固体边界或粘性对流动的 影响逐渐减小，流速逐渐增大，最后接近来流流速 。 当来流

14、的雷诺数较高时，具有速度变化 的范围只 限于靠近固体边界的极薄的一层内，此薄层称为边界层。 流速由 0 增加到0.99 处流体的厚度称为边界层的厚度 。 定义： 边界层的基本概念 Date 飞机和舰船的摩擦阻力确定； 溢流坝面理论流速系数值的确定； 陡槽中高速水流掺气点的确定； 水流阻力与水头损失的确定。 1、边界层的厚度 与物体的特征长度 相比是非常小的， ，即边界层极薄。 因为随着平板长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能 量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。 边界层理论在实际工程中的应用： 边界层的特点： 2、边界层的厚度在平板上沿流动方向增加。 Date 3、边界层中也存在着层流区、过渡区和紊流区，过渡区 和紊流区下面也存在一个层流底层 。如图818所示。 层流边界层过渡区紊流边界层 层流底层 图 818 边 界 层 结 构 Date 随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作 用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运 动时