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1、自自 动动 控控 制制 原原 理理 第四章 根 轨 迹 法 3 第四章 线性系统的根轨迹法 4-3 广义根轨迹 在控制系统中，除根轨迹增益K*以 外，其它情形下的根轨迹统称为广义根 轨迹。如系统的参数根轨迹，开环传递 函数中零点个数多于极点个数时的根轨 迹，以及零度根轨迹等均可列入广义根 轨迹这个范畴。 通常，将负反馈系统中K*变化时的 根轨迹叫做常规根轨迹。 4 1. 参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨 迹为参数根轨迹，以区别以开环增益K*为 可变参数的常规根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根 轨迹的完全相同。只要在绘制参数根轨迹 之前，引入等效单位反馈系统和等效传递 函数概
2、念，则常规根轨迹的所有绘制法则 ，均适用于参数根轨迹的绘制。 5 为此，需要对闭环特征方程 做如下等效变换，变成下面形式 ： A为除K*以外的任意可变参数，P(s)和Q(s) 为两个与A无关的首一多项式。由于上述 两个式子等效，于是得到等效的单位反馈 系统开环传递函数： 利用此式画出的根轨迹，就是以参数A为 变量的参数根轨迹。 6 关于等效的概念： 此处的等效仅在闭环极点相同这一点上 成立，而闭环零点未必相同。由于闭环零 点对系统的性能也有影响，所以由闭环零 极点分布来分析和估算系统性能时，可采 用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用 原来闭环系统的零点。 这一处理方法和结论，对绘制开环零极 点
3、变化时，同样适用。 7 例：例： 计算等效传递函数 以Ta为变量绘制 参数根轨迹。 解： 8 同除得： 9 10 11 12 例：例： 设单位反馈系统的开环传递函数为 其中开环增益 K 可自行选定。分析时间常数 对 系统性能的影响。 解：闭环特征方程 13 等效开环极点: 注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极 点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的 根轨迹方程为： 在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s) 的零、极点画在 s 平面上，在令 绘制出 变化时的参数根轨迹。 14 15 16 2. 附加零点的作用 1. 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。 设
4、开环传递函数为 附加的开环实数零点，其值可在 s 左半平面内任 意选择，当 时，表明不存在有限零点。 令 为不同的数值，对应的根轨迹如下所示： （a）无开环零点； （b） （c） （d） 17 18 2 . 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外， 还可以改善系统的动态性能。 结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置 选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时 得到明显的改善。 19 前面讨论的系统根轨迹，其闭环系统特征方 程需要满足的相角条件是(2k+1)=180o(2k+1) ，k=-2，-1,0，1,2。这种根轨迹称作180o 根轨迹。有些情况下，根轨迹的幅角满足的条 件不
5、是180o(2k+1)，而是2k+0o=360ok+ 0o， 这样的根轨迹就是零度根轨迹。 零度根轨迹的特征方程的表现形式为： 3. 零度根轨迹 20 其特点是系统闭环特征方程中右侧为-1时，左 侧s的首一多项式的最高次项前有“-”号。故根 轨迹的幅值条件不变： 但相角条件改变了： 21 零度根轨迹的来源：一是系统在s平面 的右半侧有开环零极点，并且这种系统包含 s最高次幂的系数为负的因子；这一般由于 被控对象，如飞机，导弹的本身特性所产生 的，或者是在系统结构图变换过程中所产生 的。二是控制系统中包含有正反馈内回路。 这一般是由于某种性能指标要求，使得在复 杂的控制系统设计中，必须包含正反馈
6、内回 路所致。 22 解： 闭环特征方程： 故： 例：如图示系统，其中有一开环零点在s的 右半平面上。( 为常数) 23 解： 闭环特征方程： 所以： 例：正反馈 系统如图 G(s)和H(s)均 为正的首一 多项式。 24 零度根轨迹的绘制方法，与常规 根轨迹的绘制方法略有不同。根据零 度根轨迹方程与常规根轨迹方程对照 可知，它们的模值条件完全相同，仅 相角条件有所改变。因此，常规根轨 迹的绘制法则，原则上可以应用于零 度根轨迹的绘制，但在与相角条件有 关的一些法则中，需作适当调整，从 这种意义上说，零度根轨迹也是常规 根轨迹的一种推广。 25 绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则计有： 法则3
7、：根轨迹的渐近线：交点不变，交角变 为： 法则4：实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域 ，若其右边开环零、极点个数之和为偶数， 则该区域为根轨迹。 法则6：根轨迹的起始角与终止角： 26 法则1：起点： 终点： 两个无穷远处。 除上述三个法则外，其他法则不变。 例：设单位正反馈系统前向通路的传递函数为 ： 试绘制系统的概略根 轨迹。 解： 27 法则2：实轴上的根轨迹： 法则3：根轨迹的渐近线：n=3，m=1，故有 二条渐近线。 28 法则4：分离点： 得： 即 ： 法则5：确定起始角： % den=2 11 20 10 % p=roots(den) 29 法则6：临界开环 增益：s=0时， 若想使系统稳定 ，则需： sys=tf(-1 -2,1 5 8 6) 30 第四章 线性系统的根轨迹法 4-4 系统性能的分析 1. 闭环零极点与时间响应 主导极点 31 2. 系统性能的定性分析 v 稳定性 v 运动形式 v 超调量 v 调节时间 v 实数零、极点影响 v 偶极子及其处理 v 主导极点
