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1、第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力 例题 第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 1.当体力为常量，按应力函数 求解平面 应力问题时， 应满足 31 逆解法和半逆解法 多项式解答 按 求解 多连体中的位移单值条件。 对于单连体，(3)通常是自然满足 的。只须满足(1),(2)。 由 求应力的公式是 (2- 24) 2 .逆解法 先满足(2-25),再满足(2-15) 。 步骤: 逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(2-15)反推 出各边界上的面力， 代入(2-24), 求出 （a） 从而得出，在面力(a)作用下
2、的解 答，就是上述 和应力。 逆解法 逆解法没有针对性，但可以积累基 本解答。 由应力(2-24)式，推测 的函数形式 ； 代入 ，解出 ； 3.半逆解法 步骤： 半逆解法 假设应力的函数形式 （根据受力情况 ，边界条件等）； 由式（2-24），求出应力； 半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。 逆解法 4. 多项式解答（逆解法，体力不记） 结论：对应于无体力，无面力，无应力状态 ； 应力函数中加减一个线性函数，不影响应 力。 逆解法 2a 2a o y xo y x o y x b b b b 2c2c 结论
3、：能解决矩形 板又受拉又受剪的 情况 ？ 逆解法 x y 结论：可解决矩形板受纯弯曲问题 应力分量对 应的面力 x y MM 逆解法 y x o l h/2 h/2 ( l h) F F MFl 可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂 梁在x = 0处受集中力F作用的问题。 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽 ，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。 问题提出 h/2 h/2 ly x ( l h) o M M 3-2 矩形梁的纯弯曲 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a) 求解步骤： 本题是平面应力问题,且为单连体， 若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。 检验应力边界
4、条件，原则是: 边界条件 b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必 须精确满足应力边界条件。 主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 满足。 主要边界 次要边界x=0,l, (c) 的边界条件无法精确满足。 次要边界 用两个积分的条件代替 式(d)的第一式自然满足，由第二式得出 最终得应力解 (3-1) x y h/2 h/2 M M h 1 x的应力分布图 注意： （1）（3-1）式必须要求面力完全满足下图所示 的直线分布，解答才是精确的。若两端的面力按 其它形式分布，则解答是有误差
5、的。 x y （2）按照圣维南原理 ，只在梁两端有显著 误差，离开梁的两端 ，误差可不计。 x y 在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？ 以纯弯曲问题为例，已知 试求解其位移。 问题提出 3-3 位移分量的求出 1. 由物理方程求形变, 求形变 2. 代入几何方程求位移, 求位移 对式(a)两边乘 ,积分得 对式(b)两边乘 ，积分得 求位移 再代入(c) , 并分开变量 ， 上式对任意的 x , y 都必须成立，故 两边都必须为同一常量 。 求位移 由此解出 求位移 得出位移为 3.待定的刚体位移分量 ， 须由边界约束条件来确定。 归纳：从应力求位移的步骤： 3.由边界约束条件确定
6、刚体位移分量 2.代入几何方程，积分求 ； 1.由物理方程求出形变； 纯弯曲问题的讨论： 1. 弯应力 与材力相同。 2. 铅直线的转角 ，在任一 截面x 处，平面截面假设成立。 x y h/2 h/2 MM 根据边界条件求积分常数,将上述纯弯曲梁加上约束 ： 1 简支梁 故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。 2 悬臂梁 x y h/2 h/2 MM 问题 y x o ll h/2 h/2 3-4 简支梁受均布荷载 半逆解法 按半逆解法求解 假设应力分量的函数形式 由应力分量推出应力函数的形式 半逆解法 半逆解法 式(b)中已略去的一次式。 将式(b)代入式(a)，即得。 半逆解法 半逆解法
7、 y x o ll h/2 h/2 考察边界条件 主要边界 次要边界 应力 关于应力的量级,以及与材力解比较: 当 时, x l 同阶，y h 同阶. 第一项 同阶,（与材力解同）; 第二项 同阶,（弹力的修正项）. 同阶,（与材力解同）. 应力的量级 同阶,（材力中不计）. 应力分量沿垂直方向（横截面）的变化规律如图： x图y图xy图 x不是直线规律分布；最大挤压应力y发生在梁顶， 材料力学中不考虑。 应力 x中，第一项为主要 项，与材力中的解答 相同，第二项为修正 项，当hl 时，修正 项很小，忽略不计； 剪应力的表达式与材 料力学中的一样 挤压应力在材料力学中不考虑 当 时，最大正应力应
8、修正1/15 当 时，最大正应力应修正1/60 对 的梁，材料力学中的结果足够精确 弹力与材力的解法比较: 应力比较 弹力严格考虑并满足了区域A内的平 衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及 边界S上的所有边界条件(在小边界上尽管 应用了圣维南原理,但只影响小边界附近 的局部区域)。 材力在许多方面都作了近似处理,所 以得出的是近似解答。 几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布； 平衡条件中，略去 作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 的内力平衡； 例如：在材力中 边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。 对于杆件，材力解法及解答具有足够 的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求
9、解，应采用弹力解法求解。 设有楔形体， 左面铅直，顶角为 ，下端无限长，受 重力及齐顶液体压 力, o y x n 问题 3-5 楔形体受重力及液体压力 用半逆解法求解 应力 , 而应力的量纲只 比 高一次（L）， 应力 (x , y 一次式）,= 即可假设应力为x , y 的一次式。 （1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式， （4）由 求应力， （3） 满足相容方程 （5）考察边界条件本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件: x=0 铅直面， 斜边界上， 须按一般的应力边界条件来表示，有 其中 应力 应力分量x沿水平方向无变化 这个结果在材料力学中得
10、不出 来. 应力分量y沿水平按直线规律变化 在左面： 在斜面： 与材料力学中偏心 受压公式一样 上述解答就是三角形重力坝中应力的基本解答 应力分量xy沿水平按直线规律变化 在左面： 在斜面： 与等截面梁的切 应力变化不同 楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法 ）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进 行。 本章是按应力求解平面问题的实际应 用。其中采用应力函数 作为基本未知数进 行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。 在学习本章时，应重点掌握： 1.按应力函数 求解时， 必
11、须满足的条件。 2.逆解法和半逆解法。 3.由应力求位移的方法。 4.从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力 学和材料力学解法的异同。 1 例题2 例题3 例题4例题8 例题7 例题6 例题5 例题 例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计， 如图 ，试用应力函数 求 解应力分量。 图3-5 y dy y x l h/2 h/2 o 解： 本题是较典型的例题，已经给出了应 力函数 ，可按下列步骤求解。 1. 将 代入相容方程，显然是满足的。 2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量， 3. 考察边界条件： 主要边界 上应精确满足： 在次要边界x=0上，只给出了面力
12、的主矢 量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的 边界条件代替。注意x=0是负x面，图中表示 了负x面上的 的正方向，由此得： 由(a),(b) 解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下，是必然满足的，故不必再校核。 代入应力公式，得 例题2 挡水墙的密 度为 ，厚度 为b,如图,水的密 度为 ，试求 应力分量。 y o x 解：用半逆解法求解。 1. 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区 内 沿x 向也应是一次式变化，即 2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式， 3. 由相容方程求应力函
13、数。代入 得 要使上式在任意的x处都成立，必须 代入 ，即得应力函数的解答，其中 已略去了与应力无关的一次式。 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式 (2-24) ,注意体力 ，求得应力 分量为 5. 考察边界条件： 主要边界 上,有 由上式得到 求解各系数，由 由此得 又有 代入A,得 在次要边界（小边界）x=0上，列出三 个积分的边界条件： 由式(g),(h)解出 代入应力分量的表达式，得最后的应力解答 ： 例题3已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数？ 解： 作为应力函数，必须首先满足相容程， 将 代入， (a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； (b) 必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应 力函数。 例题4 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有 集中力F 和力矩 的作用，试用应力 函数 求解图示问题的应力及 位移，设在A点的位移和转角均为零。 bb A y x h O F Fb/2 解： 应用应力函
