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1、第4章频率域滤波基础 变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级 当从变换的原点移开时，对低频对应着图像的慢变化分量 ，如图像的平滑部分 进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越 快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分 4.7.1、频率域的其他特性： 从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓 线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也 呈圆形分布。 傅里叶频谱显示了450的强边缘，在垂直轴偏左的部分有垂 直成分（对应两个氧化物突起）。 频率域滤波的基本步骤 思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换，然 后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像 前处理
2、f (x , y) g (x , y) F (u , v)H (u , v) F (u , v) 后处理 DFT 滤波器 H (u , v) IDFT 4.7.2、频率域滤波基础： 前处理 f (x , y) g (x , y) F (u , v)H (u , v) F (u , v) 后处理 DFT 滤波器 H (u , v) IDFT 陷波滤波器（带阻滤波） 设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留其 它傅里叶变换的频率成分不变 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低 ，因此几乎没有平滑的灰度级细节 低通滤波器： 被低通滤波的图像比原始图像少了尖锐的细节部分 而突出了平滑
3、过渡部分 使低频通过，高频衰减的滤波器 高通滤波器： 被高通滤波的图像比原始图像少了灰度级的平滑 过渡而突出了边缘等细节部分 使高频通过，低频衰减的滤波器 高通滤波结果高通滤波改进结果 陷波滤波器将原 点设置为0，平 均灰度为0，负 灰度置为0。 陷波滤波结果 在高通滤波器中 加入常量，以使 F(0,0)不被完全 消除。（防止直 流项消除，保持 色调） 该高通滤波器原 点为0，因此几乎 没有平滑的灰度 级细节，且图像 较暗。 错误的填充图像会导致错误的结果 4.7.3、频率域的滤波步骤： 1、对要滤波的图像 进行填充得到 ，典型 地：P=2M,Q=2N 2、填充图像，用 乘以输入图像进行中心变
4、换 3、变换到频域 4、生成一个实的、中心对称的滤波器 ，中心在 频域滤波: 5、变换到空间域: 6、取实部: 7、取消输入图像的乘数: 8、提取 区域: 图4.36 4.7.4 、 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系 对比空间域滤波：在MN的图像f上，用mn的滤波器进行线 性滤波 (4.6-23)和(3.4-1)本质上是相似的；相差之处只在于：常数、负 号及求和的上、下限； 在实践中，我们宁愿使用(3.4-1)和较小的滤波器模板来实现滤波 处理； 滤波在频率域中更为直观，可以在频率域指定滤波器，做反变换 ，然后在空间域使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板 的指导； 大小为MN的两个函数
5、f(x,y)和h(x,y)的频率域滤波表示为： 由卷积定理，该运算对应的空间域运算为： 对应空间域高斯低通滤波器为 A B , 1 2 对应空间域高斯高通滤波器为 频率域高斯低通滤波器函数 频率域高斯高通滤波器函数 图4.37 频域高斯低通滤 波器 频域高斯高通滤 波器 空域高斯低通滤波器及模板空域高斯高通滤波器及模板 图4.38 图4.39 空域线性滤 波的结果 例4.15 4.8.1、理想低通滤波器 频率域的中心在 ，从点(u,v)到中心（原点）的距 离如下 截断傅里叶变换中的所有处于指定距离D0之外的高频成分 理想低通滤波器 说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在
6、此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉 其中 原点在频率域的中心，半径为D0的圆包含%的功率 理想低通滤波器 总图像功率值PT 其中: 理想低通滤波器举例 87%以上的功率(能量)集中在半径小于10的圆周内; 随滤波器半径的增加,越来越少的功率被滤出掉,使模糊 减弱; 原始图 D0=10的ILPF滤波 损失能量为8% D0=30的ILPF滤波 损失能量为5.4% D0=460的ILPF滤波 损失能量为0.5% D0=160的ILPF滤波 损失能量为2% D0=60的ILPF滤波 损失能量为3.6% 理想低通滤波器举例 a ) 半径为10的 频域ILPF b ) 半径为10空 域ILPF c )
7、图像b）的水平 扫描线灰度变化 理想低通滤波器举例具有振铃现象 4.8.2、布特沃思低通滤波器 n阶布特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下 D0为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离。 它的特性是连续连续 性衰减，而不象理想滤滤波器那样样陡峭变变化， 即明显显的不连续连续 性。因此采用该滤该滤 波器滤滤波在抑制噪声的 同时时，图图像边缘边缘 的模糊程度大大减小，没有振铃铃效应产应产 生 4.8.2、布特沃思低通滤波器 原始图 D0=10的BLPF滤波D0=30的BLPF滤波 D0=460的BLPF滤波D0=160的BLPF滤波D0=60的BLPF滤波 布特沃斯低通滤波器
8、举例 布特沃斯低通滤波器举例振铃现象 注：二阶BLPF处于有效低通滤波和可接受的振铃特征之间 阶数n=1 无振铃和负值 阶数n=2轻微 振铃和负值 阶数n=5明显振 铃和负值 阶数n=20 与ILPF相似 4.8.3、高斯低通滤波器 二维高斯低通滤波器(GLPF)定义如下 当D(u,v)=D0时，滤波器下降到它最大值的0.607处 原始图D0=10的GLPF滤波D0=30的GLPF滤波 D0=460的GLPF滤波D0=160的GLPF滤波D0=60的GLPF滤波 高斯低通滤波器举例 字符识别举例 原始图像 D0=80的高斯低通滤波器 修复字符 用于机器识别系统识别断裂字符的预处理 D0=80
9、GLPF 人脸图像处理 原图像 D0=100的GLPF滤波, 细纹减少 D0=80的GLPF滤波， 细纹减少 D0=30的GLPF滤波图D0=10的GLPF滤波图 佛罗里达亮 墨西哥湾暗 奥基乔 比湖 卫星、航拍图像处理 目的：尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征 4.9、频率域锐化 图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊是由于高 频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除模糊，突出边 缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱， 再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像 频率域锐化滤波器主要有： 理想高通滤波器 布特沃思高通滤波器 高斯高通滤波器 频率域的拉普拉斯算子 钝化模板、
10、高频提升滤波和高频加强滤波 几种高通滤波器图示： IHPF BHPF GHPF IHPF BHPFGHPF 几种高通滤波器空域图示： 4.9.1、理想高通滤波器（IHPF） 截断傅里叶变换中所有处于指定距离D0之内的低频成分 频率域的中心在 ，从点(u,v)到中心（原点）的 距离如下 D0=30D0=60D0=160 结论：图a和b的振铃问题十分明显 理想高通滤波示例： 4.9.2、巴特沃思高通滤波器 n阶巴特沃思高通滤波器(BHPF)定义如下 D0=30D0=60D0=160 二阶巴特沃思高通滤波示例： 结论：结论：BHPFBHPF的结果比的结果比IHPFIHPF的结果平滑得多的结果平滑得多
11、 4.9.3、高斯高通滤波器 截频距原点为D0的高斯高通滤波器(GHPF)定义为 D0=30 D0=60D0=160 高斯高通滤波示例： 结论：结论：GHPFGHPF的结果比的结果比BHBFBHBF和和IHPFIHPF的结果更平滑的结果更平滑 例4.19 二值化的结果 三种高通滤波器小结 三种滤波函数的选用类似于低通。 理想高通有明显振铃现象，即图像的边缘有抖动现象； Butterworth高通滤波效果较好，但计算复杂，其优点 是有少量低频通过， 是渐变的，振铃现象不明显； 指数高通效果比Butterworth差些，振铃现象不明显； 一般来说，不管在图像空间域还是频率域，采用高频滤 波不但会使
12、有用的信息增强，同时也使噪声增强。因此 不能随意地使用 4.9.4 、频率域的拉普拉斯算子 频率域的拉普拉斯算子定义: 原点从(0,0)移到(P/2,Q/2),所以，滤波函数平移为 从原始图像中减去拉普拉斯算子部分，形成g(x,y)的增强图像 空间域拉普拉斯算子过滤后的图像可由计算 的反傅里叶变换得到 4.9.4 、频率域的拉普拉斯算子 拉普拉斯锐化举例说明.例4.20 4.9.5、钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波 钝化模板(锐化或高通图像)： 在频率域，即从图像本身减去低通滤波（模糊）后的图 像而得到高通滤波（锐化）的图像。 钝化模板和高频提升过滤： 当当k=1,k=1,即钝化模板；当即
13、钝化模板；当k1,k1,高提升滤波高提升滤波 更一般的高频提升加强： 用图像的高频成分进行增强 增加k1的目的是使零频率不被滤波器过滤 当k21，高频得到加强 高频提升过滤举例频率域滤波 图a: 胸部X光图像图b: Gaussian高通滤波的结果 图c: 高频增强滤波的结果图d: 图c直方图均衡化的结果 高频加强 直方图均衡化的混合图像增强方法 4.9.6、同态滤波 一幅图像可以表示为照射量和反射量的乘积： 令： 则有： 对Z(u，v)进行滤波： 同态滤波增强后的图像 g（x，y）为： 在空间域，滤波后的图像为： 同态滤波中滤波器函数的选择： 滤波器函数能够实现对照射分量和反射分量的不同操作而加 强图像，以不同的方式影响傅里叶变换的高频和低频成分。 滤波器函数如图示： 减少低频 增加高频 一种同态滤波器函数表达式：
