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1、 反问题模型 麦宏晏 Date1 *2 n什么是反问题 n应用背景 n具体实例 Date2 什么是反问题 n耳朵能“听出”鼓的形状吗？ 仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状？问题最早由丹 麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出，它的 背景来自于射线理论。 一个物体的音色可以由一串谱 来确定，它们在 物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已 知的谱来确定一个鼓面的形状。经过数学家们的演算给出了 否定的答案。但是，从鼓声中我们确实能得到相当多的形状 信息：我们能够“听”出鼓的面积有多大、周边有多长甚至鼓 的内部是否有洞、有几个洞。 Date3 *4 n什么是反问题？
2、反问题是相对于正问题而言的。以前面所举的“盲人听鼓” 反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研 究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较 成熟。此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。 我们可以这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的 自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正 问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布 形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结 果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影 响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出， 正、反两方面都是科学研究的重要内容。 Date
3、4 *5 n什么是反问题？ 尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科 的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观 测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经 常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进 行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的 产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技 术的革命又为它提供了重要的物质基础。 现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各 个领域。我们下面具体介绍一些常见的反问题应用背景，希望大 家能够对它有一个概括的了解。 Date5 定向设计 物性探测 扫描成像 逆时反
4、演及其他 应用背景 Date6 *7 工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性 只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线 的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为 当代工业产品的极大丰富为反问题的研究提供了广阔的用 武之地，许多工业设计问题是相当困难的，需要用到高深的数 学手段。例如，国外的光学仪器厂家提出：能否设计一种光栅 ，利用其
5、非线性衍射效应产生出高能量的单色射线？这就是一 Date7 个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所 需要的曲面（光栅）形状。 定向设计的应用相当广泛。比如说：一个城市的某条街道 车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流？ 在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰 炸效果？这类问题往往涉及各种事物的组合、分配布局，要求 在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案，为领导 的决策提供依据。 Date8 *9 给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里 面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的So
6、ndhi和 Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪 器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管 内的截面半径。 这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地 ”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的 地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率 Date9 极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通 过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。 可以想象，
7、地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息 （地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出 来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。 类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析 、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区 的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是 历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利 用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段 进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋 藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物 作出了贡献。 Date10 *11 如果把下落的物体用扫描射线
8、替代，从另一个角度来看它 为我们提供了从射线的走时响应反推其传播轨迹的方法，将不 同轨迹射线的反演结果组合起来就能得到传播介质的内部形态 信息。本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法 解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内 部形貌的方法。据此Mohobovic（1909年）发现了地壳与地 幔之间的断层。现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察 地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如， 通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在 已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方 法，又可以得到反射界面的位置和形状。 Da
9、te11 成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是 X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上 的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的 诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学 相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理， 来重建体内的结构信息，生成透视图象供医疗诊断参考，其核心算 法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变 换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上 ，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达 侦察、
10、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。 Date12 *13 我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物的现在状 态，希望了解它的过去，即通常所说的“恢复历史的本来面 目。这往往可以提为逆时反问题。它所研究的对象一般要满 足某种类型的演化方程或数学模式。例如，通过远程测得的 某次爆炸产生的辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量？ 这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能 否确定过去某个时间的温度状态？这就成为热传导方程的逆 时反问题。 Date13 反问题的研究起源于数理方程，反问题的研究也促进了人们 对世界的识。一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作 用：反散射问题是量子物
11、理学研究中的一个问题，通过谱和谱函 数在无穷远处的散射性态反推一维Schordinger方程的位势数。 它由前苏联数学家Gelfand和Levitan（1955年）一举解决。在 此基础上引发了一系列突破性进展，最为著名的是利用这个结果 Lax（1968年）得到了关于KDV方程的巧妙解法，从而发现了 非线性方程中的孤立子现象。这是近代非线性科学研究的重要事 件。 Date14 具体实例 例1 金融学中的一个简单计息反问题 在通常利率的连续复利率模型中，投资变化的百分率是 一个给定的常利率，用微分方程表示为 其中 是 时刻投资价值，由此导出价值的指数增长模型 在变化利率模型中，利率与时间有关，即
12、，于是有 Date15 ，给定与时间有关的利率和初值 ，求价值记 录 的问题称为正问题；另一方面，由价值记录求变化率的 问题称为反问题。注意这里正问题的求解是积分运算，这是 一个稳定的过程，而反问题的求解需要微分运算，是不稳定 的。我们通常感兴趣的是反问题，如果已知价值记录的解析 表达式，求 是一个简单的微分运算，对时间进行离散 ，用差商代替导数，则用 来近似 ，其中 。 直接从原始模型出发可以建立求反问题近似解的另一种 Date16 *17 方法。将方程 两边在 上积分得到 ，利用梯形公式 近似右端积分即得 由此解出 这里的问题中都假定利率和价值记录是严格正的函数。 Date17 例2 热传
13、导问题 与外界存在热交换的物体表面温度不能及时达到热平衡， 如果物体比外界热，热量从物体往外流出从而使物体冷却， 这一现象最简单的模型是牛顿冷却定律，即表面温度的变化 与物体表面和外界温度之差成比例，如果时刻 物体的表面 温度为 ，而外界温度为常数 ，由牛顿冷却定律得 其中热交换系数为正常数 ，这是一个经典的指数衰减模型 ，确定表面温度的正问题有唯一解 Date18 *19 这个解依赖外界温度 、初始温度 和热交换系数 三个 参数。当然在适当时候表面温度观测值确定了识别参数 、 和 的反问题的解。 热是一种形式的能量，物体的热含量是物体分子动能的一 种测量标准，温度计测量得的温度与物体分子的平
14、均动能有 关。物体的热含量不仅依赖于它的温度，而且依赖于它的质 量，如3千克的铁球在给定的温度下，它的热能是相同温度 的1千克的铁球的3倍。热还与材料的种类有关，1千克的棉 花球在给定温度下，其热能比相同温度的1千克铁球的少。 这一思想可描述为： 其中 是物体的温度， 是它的质量， 是物质的比热。 Date19 *20 我们讨论具有最简单几何形状的物体的内部温度：一个 横截面积为单位面积的单位长度的棒子，并假设它正好处 于 轴的单位坐标上。假设棒子的质量密度和比热分别为 和 ，并假设棒子的侧面是隔热的，所以温度空间上仅 为单变量 的函数。这样的棒子在 上的点在 时刻的温度函数为 。考虑棒子上的
15、一小段区域 ，这一薄层上的热量变化速度近似为 ，由能量守恒 原理，这个量等于流入这一薄层的热量速度加上这一薄层 单位时间内可能产生的热量。如果定义（ 时刻 点）单位 体积产生的热量为 ，那么单位时间内，横截面积为单 位面积的薄层产生的热量近似为 。 热只能从 的左侧或 的右侧流入（或流出）这一 薄层。最后，由傅立叶定律，通过表面的热流速度与表面 Date20 上温度梯度的负数 成比例。（这里的负号是因为热量是 从热流向冷）。因此单位时间内通过表面流入薄层 的 净热流加上单位时间内部生成的热量，我们得到这一薄层中 热量变化速度近似为 由能量守恒原理，这与前面计算的比率相等，当区间 收缩到点 时这一模型变成 这就是著名的傅立叶热方程。热方程的正问题包括给定边界 条件，即端点的温度 和初始温度 分布及参数 值
