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1、20152015数学建模提高班数学建模提高班 差分方程与时间序列模型差分方程与时间序列模型 专题专题 柴中林 2015/5/9 课 件 提 纲 v1 差分方程的引例与概念 v2 特殊差分方程的解 v3 平衡点及其稳定性 v4 差分方程组 v5时间序列与其中的趋势分析 v6自回归模型 v7自回归模型识别及参数确定 v8自回归模型预测及相关说明 v9 建模练习题 1 差分方程的引例与概念 例1. 某人贷款80万元买了一套房子，期限20 年.已知贷款月利率为5 ，请问他每月要还贷 多少？ 在高数中，我们研究的函数中的变量的取 值大都是连续的（在连续区间上取值，如（- ,+ ）, (-1,12）。但在
2、经济管理和很多实 际问题中，变量只能取1,2,3,这样的值。这 些变量称为离散型变量。描述离散型变量间关 系的模型称为离散型模型。差分方程就是常见 的一种离散型模型。 微分方程：连续变量间存在函数关系。知道 了这个关系，就能够研究变量间的联系与变化 规律。然而，这个关系是未知的，但我们可以 建立起含自变量，因变量及其导数或微分的等 式，这就是微分方程。通过对方程的研究以求 得这个函数关系，或通过方程直接揭示变量间 的联系就构成了微分方程的主要研究内容。 差分方程与微分方程是类似的。只是这里的变 量是离散的。差分方程：含自变量，未知函数（ 因变量），未知函数差分的等式。建立差分方程 ，求解它的目
3、的就是研究离散变量间的关系。 一般的，对有函数关系的两个变量，常用x当自变 量，y当因变量。但在差分方程中，因自变量只取整数 值（如0,1,2，），我们更喜欢用n(或t)表示自变量， 这时因变量可用x或y表示。其函数关系是x=x(n)，但我 们更常用xn表示。当然，这个关系是不知道的，但我们 常能得到的是如下的式子 F(n, xn, xn-1, xn-k)=0 （1） 或 G(n, xn, xn+1, xn+k)=0 （2） 或 H(n, xn, xn, kxn)=0 （3） 这种式子就是差分方程。 有时，（1）也写成如下的形式 xn=f (n, xn-1, xn-k) (4) 因此，差分方程
4、也称为递推关系。 考虑例1，用n表示月份(n=0表示贷款月份)， xn表示第n月还贷后还欠的钱，r, a分别表示银行 月利率和月还钱数， xn 表示了账户中欠钱数与 月份间的函数关系（ 未知），但我们容易得到 一个式子 xn +rxn -a = xn+1 即 xn+1-(1+r) xn =-a (5) 此外，还有初始条件 x0=80（万元）及x240=0 。 这就是贷款问题的差分方程模型。 变化建模 比较微元法 对离散关系xn，其函数值构成序（数）列 xn(x1,x2,x3,)。记 xn=xn+1-xn （序列后项减 前项构成的序列）, 称为xn的一阶差分，2 xn = ( xn)= xn +
5、1-xn = xn +2-2 xn +1+xn称为xn的二 阶差分，依次类推。 对式 (5)：xn+1-(1+r) xn =-a ，也可将它写为： xn-(1+r) xn-1=-a 或xn-rxn=-a （差分方程因此而 得名）. 即同一个关系用不同视角不同符号式子 会不同，但可以互化（它们是同一个东西）。 差分方程中的最高阶差分的阶或因变量的 最大下标与最小下标之差称为差分方程的阶 。 差分方程的解是函数，通常有无穷多个。 通解是全部解的集合（体现在独立任意常数上 ，其个数与方程阶数相同）。另外，在实际问 题中常会给出一些附加条件（如x0的值），称 为初始条件。满足初始条件的具体的解就是特
6、解。 差分方程问题的研究内容： 1 差分方程的建立（离散变量关系的建立 ，也可将连续问题离散化）； 2 差分方程的求解和分析。 差分方程在实际问题中有广泛的应用。 差分方程的求解并不比微分方程容易，大 部分差分方程是无法求解的。这里介绍最简 单同时用处很大的一类特殊差分方程的求解 。 常系数线性齐次差分方程，其一般形式为 xn+a1xn-1+akxn-k=0 (6) 其中a1,ak是常数。 方程（6）有解，其求解步骤为: 步骤1: 求解对应的特征方程 k +a1 k-1+ak=0 （7） 步骤2: 根据步骤1的解的情况写出（6）的通解 ； 2 特殊差分方程的解 情况1：若是（7）的一个单实根，
7、则n是 （6）的一个特解。若1, 2, k是（7）的k 个全部不同的单实 根，则（6）的通解为 xn=C1 1n +C2 2n+Ck kn（ C1 ，C2 ，Ck 是任意常数）。 情况2：若是（7）的k重实根，则n, nn, , nk-1n都是（6）的特解。 情况3：若=i是（7）的单重复根，则 ncos n与n sin n都是（6）的特解，其中 ,是的模与幅角主值。 情况4 ：若=i是（7）的k重复根，则 n cos n, nn cos n, nk-1n cos n与n sin n, nn sin n, nk-1n sin n都是（6）的特解， 其中 ,是的模与幅角。 最后，将各个特解如情况
8、1那样与任意常数 相组合就得（6）的通解。 常系数线性非齐次差分方程，其一般形式 为 xn+a1xn-1+akxn-k= b(n)(0) (8) (8)的求解方法是先求相应齐次方程的通解 ，记为xn*，再求（8）的一个特解，记为 xn (0) （方法：根据b(n) 的特点将xn (0)的形式设出， 再用待定系数法确定其中的系数），于是（8 ）的通解为 xn = xn* + xn (0) 此外，不同于微分方程，对差分方程，当 初始条件给定后，可迭代求得任意xn的（精 确）值，从而可以对xn的变化规律进行作图 分析。如对方程xn=f(n, xn-1, xn-k)，若x1, x2, xk 给定，就可
9、以根据方程依次算出xk+1, xk+2, xk+3 来。 下面求解例1： xn+1-(1+r) xn =-a 。它是一阶常系数 非齐次线性差分方程。先解相应的齐次方程xn+1=(1+r) xn，特征方程为= 1+r，其通解为xn *=C (1+r)n （ C为 任意常数）, 再求其一个特解。从方程看设xn为常数（ 记为x），代入得xn (0) =a/r, 于是得方程通解：xn =C (1+r)n +a/r。 代入初始条件得方程组 解之得 大约是5731元. 3 平衡点及其稳定性 差分方程虽可用迭代法进行数值计算，但计 算总归只能进行有限步，其深层次的性质必 须用其它工具进行分析，平衡点就是其中
10、一 个。 平衡点相当于稳定点或不动点，对方程 xn=f(n, xn-1, xn-k) 来说就是若xn-1, xn-k都取 某一常数，比如a，那么xn也一定是a，从而 xn+1, xn+2, xn+3, 也都将取a 。 平衡点就是所有xn都取相同的值，且能使方 程成立的点，于是将xn=f(n, xn-1, xn-k) 中所 有xn都换成x，得方程x=f(n, x, x) ，将其求 解，每一个解就是一个平衡点。 设a是方程的一个平衡点， xn是方程的任一解， 若总有 则称a是差分方程的一个稳定的平衡点（为什么？） 。 稳定的平衡点在实际问题中有重要的价值。 现考虑差分方程 xn+a1xn-1+ak
11、xn-k=0 ，并且其 解是如下形式 xn=C1 1n +C2 2n+Ck kn 。 显然0 是方程的一个平衡点，不难发现对任意s若有|s|1 ，则必有 这说明0是稳定的平衡点，这也是一般差分方程 平衡点稳定性的判别方法：若齐次方程的特征方程 的根的绝对值都小于1，平衡点稳定。而若某个的 绝对值大于1，平衡点不稳。当等于1时，有多种 情况且实际意义不大，不做讨论。若特征根是复根 ，就用其模来判断。 例2 考虑数学模型书中供需关系的蛛网模型： xk：第k时段 商品数量；yk：第k时段商品价格，需求函数 yk=f(xk)，供需平 衡点为P0(x0,y0)。当商品生产者的生产只盯着前一期价格（供 应
12、函数为xk+1=g(yk)）时，在平衡点附近各时段商品数量的差 分方程模型为xK+1+xk=(1+)x0. 其齐次方程的特征方程的 特征根为- 。所以| - |=1就稳稳定，否则则就不稳稳。 而当商品生产者的生产同时盯着前面两期的价格（供应函数 为xk+1=g(yk+yk-1)/2）时，在平衡点附近各时段商品数量的差 分方程模型为2xK+2+xk+1+xk=2(1+)x0. 其齐次方程的 特征方程为22+ +=0。特征根为 当8时，根为实根，必有一根绝对值大于1.当 08时根为复根。用复数的模来判断，可以得到当 02时稳定，否则不稳。 差分方程组（自变量一个，因变量多个，仅讨论线 性） 线性差
13、分方程组的一般形式为 其中aij和bi (i, j=1,2,n)都是常数。 4 差分方程组 令 记x(t)=(x1(t), x2(t), , xn(t)T, b=(b1, b2, , bn)T，则上 述方程可记为x (t+1)=Ax(t)+b。 该式类似于前面的一阶常系数线性差分方程，可 编程数值计算分析，也可利用线性代数理论（主要 是特征值和特征向量）进行分析讨论。若x*（向量 ）是该方程的一个平衡点（ 即x*=A x* +b ），则它 稳定的条件是A的所有特征值的绝对值都小于1，若 某一个的绝对值大于1,就不稳。 5 时间序列与其中的趋势分析 时间序列：按时间（有时是长度或温度）顺 序排列
14、的随机变量序列，但在应用中又指将 某个统计指标在不同时间上的各个数值，按 时间先后顺序排列而形成的序列（一般等间 隔）。 时间序列分析：根据观测得到的时间序列 数据(其机理未知)，通过曲线拟合和参数估计 来建立数学模型和理论，希望从中寻找出变 量的变化规律，对未来的某些阶段进行预测 。 时间序列有广泛的应用。 设yt 是时间序列，虽然它暗含了时间变量 t，但它仅指采样的时间点。因此，一般的不 能认为y是纯t的函数，从而按回归等其他理论 去做。因为许多变量都随着时间的变化而变 化，所以时间序列中也常常包含因时间变量 而产生的趋势变化。另外，在时间序列中， 相近的各项间往往有很强的依赖关系：当前 的数值对下面的数值有很强的影响（如股市 ，期货）。此外，每个数据还受到无法刻画 捕捉的随机因素的影响。通常yt 可表为yt =f(t) +xt，其中f(t)表示随时间变化的确定性趋势， xt则主要由随机因素或其积累而形成，是一个 平稳序列。 在yt =f(t) +xt中，趋势成分f(t)起着主导的作 用。当它存在时， xt可以认为是随机误差， 并予以忽略，故可以用回归方法确定f(t)中的 参数，得到f(t) 。影响f(t)的因素 有长期趋势 ，季节变动（季节性规律作用产生的周期变 化）
