北航理论力学复习教材

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1、1 理论力学总结 2 矢量的绝对导数与相对导数 ：动系的角速度 对于标量函数: 对于矢量函数: 3 绕相交轴转动的合成 刚体的角速度: 刚体的角加速度: 刚体的角加速度: 动系为一般运动时点的加速度合成 速度合成： 重合点的加速度 加速度合成： 刚体一般运动的运动微分方程 投影到定系 ： 投影到动系 ： 投影到动系 ： 其中 为动系的角速度。 刚体动力学 动力学普遍定理动静法 平移刚体惯性力平移刚体(等同质点) 刚体动力学 动力学普遍定理动静法 平面运动刚体惯性力平面运动刚体运动方程 条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面 刚体动力学 动力学普遍定理动静法 定轴转动刚体惯性力刚体定轴转动微

2、分方程 刚体动力学 一般运动刚体惯性力刚体运动微分方程 10 第10章要求 l 定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一 轴经过一次转动来实现。 l 定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. l 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换. l 定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移 可以用矢量表示。 l 定点运动刚体的角速度角加速度可以用矢量表示。 l 了解欧拉运动学方程. l 了解欧拉动力学方程. l 自转进动章动概念. 定性理论 11 l 定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用; l 能计算定点运动刚体的动量矩; l 能计算定点运动刚体的动能; l 能计算陀螺力矩; l 能求解

3、与例10-1和例10-2相同题型的问题。 l 对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为 定量方面 第10章要求 12 陀螺近似理论 陀 螺： 满足条件 的定点运动刚体。 一、陀螺规则进动的条件 问题性质：已知运动, 求力 。 即: , 方向沿节线. 陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力 精确结果 13 即: , 方向沿节线. 陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力 二、莱沙尔(Henri Resal)定理 在定系中: 定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度，等于作用 于该刚体的所有外力对同一点的主矩. 精确结果 14 三、陀螺近似理论 如果: 则: 如果： 则也有： 15 四、陀螺

4、近似理论的莱沙尔解释 相对于定系: 则当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。 16 当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。 由莱沙尔定理: 与精确解比较: 17 例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( 0为 常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的 转动惯量为 J，且以 绕 z 轴高速旋转，z 轴与 轴的夹角为 . 求：陀螺的进动角速度 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。 要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。 解: 1. 取陀螺研究;2. 受力分析: 3. 由动量矩定理: 4. 由动量定理(质心运动定理):

5、 18 例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB 轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB 绕铅垂轴 z 的进动角速度大小 以及球铰链 A 水平方向的约束力 的大小 . =_； =_。 陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力 精确结果 当： 19 例：确定一个正方体在空间的位置需要_个独立的参数 。 A：3； B：4； C：5； D：6 . 例：在光滑水平面上运动的刚性球的自由度是_。 A：3； B：4； C：5； D：6 . 20 例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定

6、圆盘上纯滚动。若 圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，则该圆锥的角速度矢量 与角加速度矢量 的关系是_ 。 A：平行于； B： 垂直于； C：为零矢量； D：为非零矢量。 A：平行于AC； B： 垂直于AC且平行于AB； C：垂直于ABC三点确定的平面； D：不能确定。 例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若 圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母 线。在图示瞬时， C 点的加速度矢量 的方向_ 。 22 例：如图所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆 锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周 运动，其速度为 v，方

7、向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 的大小。 =_ ， =_， =_。 ：自转角速度 ：进动角速度 24 例：若定点运动刚体角速度矢量 的大小为非零常量，其方向 始终变化，则该刚体的角加速度矢量 可能是_。 D： 为非零常矢量。 A：； B： ； C：； 例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度 和向轴加速度 的大小。 例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度 和向轴加速度 的大小。 27 例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬 时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A 的转动加

8、速度的大小 和向轴加速度的大小 . =_； =_ 28 例：正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其上 A、B 两点的速度方向，如图所示，则此时该刚体角速度矢量 平行 于_。 A： A、B 两点连线； B： 平行于 Oz 轴； C： 平行于 Oy 轴； D： 平行于 Ox 轴。 29 A： 只能确定其角速度矢量所在平面； B： 能求角速度的大小和方向； C： 能求角加速度的大小和方向； D： 能求刚体对定点的动量矩大小和方向 。 例：已知质量为 m 棱长为 L 的正方形刚体绕 O 点作定点运动， 已知在图示瞬时其顶点 A、B两点速度矢量满足关系式 (垂直于 OAB 平面)方向，且 .

9、根据已知条件，能求刚体 的哪些物理量？ 30 A： 一定能够； B： 一定不能够； C： 不一定能够。 例：若刚体绕 O 点作定点转动，已知某瞬时其上 A、B 两点的速 度分别为 和 ，且大小均不为零。若 O、A、B 三点均不重 合，则_该刚体的角速度。 原因：若 O、A、B 三点共线。 31 例：不论刚体作什么运动，刚体上任意两点的速度在两点连线 上的投影_。 A：一定相等； B：一定不相等； C：不一定相等。 例：如图所示，圆盘以匀角速度 绕 CD 轴转动，框架以匀角 速度 绕铅垂轴转动。则该定点运动圆盘 角速度的大小 =_(方向画在图上)， 角加速度的大小 =_(方向画在图上)。 32

10、33 例：如图所示，半径为 R 的圆盘以匀角速度 绕框架上的 CD 轴转动，框架以匀角速度 绕铅垂轴 AB 转动。求： 圆盘在图示位置的最高点速度的大小 v，该点的向轴加速度的大 小 和转动加速度的大小 。 v =_; =_； =_。 34 例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度 绕 BC 轴转动，正方形框架以匀角速度 绕 AB 轴转动。求该圆 盘的绝对角速度 的大小和绝对角加速度 的大小。 =_； =_。 35 例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度每分钟绕 BC 轴转动 2 周，正方形框架以匀角速度每分钟绕 AB 轴转动 2 周 。求该圆盘的动能及对 B 点

11、的动量矩。 36 例：匀角速度定轴转动刚体在运动过程中，其_等物 理量一定为常量。 A： 相对质心的动量矩； B： 动能； C： 动量； D： 对转轴的动量矩。 原因：动量和动量矩是矢量。 37 例：如图所示，定点运动陀螺做规则进动(即该陀螺的自转角速度 和进动角速度 的大小不变，且对称轴 z 与铅垂轴 的夹角 不变)，则该陀螺在运动过程中，其_保持不变。 A： 相对 O 点的动量矩； B： 动能； C： 动量； D： 相对 轴的动量矩。 E： 相对 z 轴的动量矩。 38 例：质心在转轴上的定轴转动刚体，当其角速度不为零时，该 刚体对质心的动量矩矢量_。 A： 一定平行于转轴； B： 一定不

12、平行于转轴； C： 不一定平行于转轴。 39 例：如图所示，圆柱固连在水平轴 上，并以匀角速度 绕该轴转动，同时框架以匀角速度 绕铅垂轴 CO 转动。其中 ：x,y,z 是圆柱上关于 点的三个相互垂直的惯量主轴，且 圆柱对这三根轴的转动惯量分别为 . 则该瞬时圆柱 对 点的动量矩： 40 例：如图所示，正方形框架以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，质量 为 m 半径为 R 的均质圆盘 M 以匀角速度 绕正方形框架上的CD 轴转动。且 ，CD 轴到轴承 A、B 的距离皆为 l . 若正方 形框架和轴 AB 的质量不计，求框架运动到铅垂平面内时，圆盘产 生的陀螺力矩的大小 ；以及作用在轴承上的约束力

13、的大小 =_； =_。 题10-14：题10-17： 与例10-2类似。 题10-18：求维持图示运动所需的 x = ? 动量矩： 由动量矩定理： 43 第9、11章要求 l 能够利用拉格朗日方程(含第一类)列写系统的动力学方程； l 能计算广义力； l 能给出拉格朗日方程的首次积分，并能利用初始条件计算积 分常数； l 能计算单自由度系统微振动的固有频率，了解共振概念； l 能根据初条件计算振动的振幅与初相位； l 了解两类拉格朗日方程的应用场合。 6. 质量为 m 的质点可在半径为 R 的圆环内运动，圆环以常角速 度 绕 AB 轴作定轴转动，如图所示。 为质点的广义坐标， 此时质点的动能可

14、表示成 ，其中 (i=0,1,2) 为广义速度的 i 次齐函数。求： 例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质 量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内运 动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求： A B (1) 用系统的广义坐标和广义速度 给出系统的动能 T 和势能 V ( 杆在铅垂位置时为势能零点)； (2) 若初始时，杆位于铅垂位置 。=0，圆盘中心A点的速度为u ，杆的角速度为零。试给出系 统拉格朗日方程的首次积分并 确定积分常数。 要求：给出解题的基本理论和基本步骤。 例：滑块与均质圆盘用杆 AB 铰接在铅垂平面内运动，系统的广 义坐标如图所示，其中 A