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1、uuLTILTI连续系统的时域分析连续系统的时域分析 n n建立并求解线性微分方程。建立并求解线性微分方程。 n n由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t t，故称为，故称为时域分析法时域分析法。 n n这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各 种变换域分析法的基础。种变换域分析法的基础。 第二章 连续系统的时域分析 uu 解方程的方法：解方程的方法： 1. 1.经典法经典法 2. 2.双零法双零法 3. 3.变换域法变换域法 零输入零输入: :利用经典法求利用经典法求 零状态零状态: :利用利用卷积积分法卷积积
2、分法求解求解( (新方法新方法, ,h h( (t t) ) 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 l微分方程的经典解 l关于0-和0+初始值 l零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 l冲激响应 l阶跃响应 2.3 卷积积分 l信号时域分解与卷积 l卷积的图解 2.4 卷积积分的性质 l卷积的代数运算 l奇异函数的卷积特性 l卷积的微积分性质 l卷积的时移特性 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 设一个线性时不变连续时间系统，输入为设一个线性时不变连续时间系统，输入为f f( (t t) )， 输出为输出为y y( (t t) )，可用，可用线
3、性常系数微分方程线性常系数微分方程描述描述 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） u特解的函数形式与激励函数的形式有关。 P41表2-1、2-2 u 齐次解yh(t)是齐次微分方程的解。 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 yh(t)的函数形式由特征方程的特征根确定。 其特征方程为 2.1 LTI连续系统的响
4、应 例 描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求:当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解。 解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。齐次解为yh(t) = C1e 2t + C2e 3t (2)当f(t) = 2e t时，其特解可设为 yp(t) = Pe t 将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1 特解为 yp(t) = e t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t
5、 (3) 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 2.1 LTI连续系统的响应 系统全响应系统全响应 自由响应自由响应强迫响应强迫响应 齐次解齐次解特解特解 暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应 自由响应自由响应 pp由系统自身固有特性决定的响应由系统自身固有特性决定的响应 pp系统微分方程的系统微分方程的齐次解齐次解 pp一般是衰减的，是暂态响应一般是衰减的，是暂态响应 强迫响应强迫响应 pp由系统激励强制产生的响
6、应由系统激励强制产生的响应 pp系统微分方程的系统微分方程的特解特解 pp取决于激励信号，可能是暂态，也可取决于激励信号，可能是暂态，也可 能是稳态能是稳态 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值(y(j)(0-) 与y(j)(0+) p 若f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci 时用 t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 p 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统 的历史信息。 p 在t=0-时，激励尚未接入，y(j)(0-)反映系统的历史 情况而与激励无关。称这些值为初始状态。 p 求解微分方程，需从已知的初始
7、状态y(j)(0-)设法 求得初始值y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1) 。 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值(y(j)(0-) 与y(j)(0+) 2.1 LTI连续系统的响应 l对于一个具体的电网络，系统的0-状态就是系统中储能 元件的储能情况； l一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电 流不会发生突变。换路定则： uC(0-)= uC(0+), iL(0-)= iL(0+) l但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作 用于电感， 0-到0+状态就会发生跳变； l当系统用微分方程表示时，系统的0-到0+状态有没有发 生跳变取决于微分方程右端是
8、否包含(t)及其各阶导数。 t 0 1 (1) 0t 例：图中假设S、E、C都是理 想元件（内阻为0），当 t = 0时 S闭合，求回路电流i（t）。 C=1F i(t) S E=1V t 0 i(t) 2.1 LTI连续系统的响应 电流为冲激 电压为冲激 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。 解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 利用系数匹配法分析：若上式对
9、于t=0-也成立，则在0- 0时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3， 于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 2.1 LTI连续系统的响应 系统全响应系统全响应 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 自由响应自由响应强迫响应强迫响应 齐次解齐次解特解特解 暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应 三、零输入响应和零状态响应 2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应
10、u由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T0,(t) u 求解非齐次微分方程比较繁琐，所以引出卷积 积分方法。 u 系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积 （新方法）。零状态响应y(t)=f(t)*h(t) 若n阶微分方程的等号右端只含激励f(t)，即若 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t) 则当f(t)= (t)时，其零状态响应满足方程 h(n)+an-1h(n-1)+a1h(1)(t)+a0h(t)= (t) h(j)(0-)=0,j=0,1,2,n-1 可推得各0+初始值为 h(j)(0
11、+)=0 j=0,1,2,n-2 h(n-1)(0+)=1 (2.2-7) 2.2 冲激响应和阶跃响应 例：设描述某二阶LTI系统的微分方程为 求其冲激响应。 解 * 2.2 冲激响应和阶跃响应 对对t0t0时，时， ( (一齐次解一齐次解) ) 若描述LTI系统的微分方程为 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+ bm-1f(m- 1)(t)+ +b0f(t) 求解系统的冲激响应h(t)可分两步进行: n 选新变量y1(t),令其满足方程 y1(n)(t)+an-1y1(n-1)(t)+a1y1(1)(t)+a0y1(t)=f(t) 求出其冲激
12、响应h1(t); n 根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性,可得 下式的LTI系统的冲激响应 h(t)=bmh1(m)(t)+ bm-1h1(m-1)(t)+ +b0h1(t) (2.2-11) 2.2 冲激响应和阶跃响应 例例1 1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y y” ”(t)+5y(t)+5y (t)+6y(t)= f(t)+6y(t)= f” ”(t) + 2f(t) + 2f (t) + 3f(t),(t) + 3f(t),求其冲激响应求其冲激响应h(t)h(t)。 解解 : :先选变量先选变量y y 1 1 (t),(t),它满足方程它满足方程y y 1
13、1 ” ”(t)+5y(t)+5y 1 1 (t)+6y(t)+6y 1 1 (t)= f(t) (t)= f(t) 设其冲激响应为设其冲激响应为h h 1 1 (t), (t), 则由则由(2.2-11)(2.2-11)式知系统的冲激响应式知系统的冲激响应 h(t)= hh(t)= h 1 1 (t) + 2h(t) + 2h 1 1 (t) + 3h(t) + 3h 1 1 (t) (2.2-14) (t) (2.2-14) h h” ” 1 1 (t) + 5h(t) + 5h 1 1 (t) + 6h(t) + 6h 1 1 (t) = (t)(t) = (t) h h 1 1 (0+
14、)=h(0+)=h 1 1 (0-)=0 (0-)=0 ，hh 1 1 (0+) =1(0+) =1 对对t0t0时，有时，有 h h” ” 1 1 (t) + 5h(t) + 5h 1 1 (t) + 6h(t) + 6h 1 1 (t) = 0 (t) = 0 ( (一齐次解一齐次解) ) h h 1 1 (t)=(C(t)=(C 1 1e e -2t-2t + C + C 2 2e e -3t-3t) )(t (t) ) 代入初始条件求得代入初始条件求得h h 1 1 (t)=( e(t)=( e-2t -2t - e - e-3t -3t)(t) )(t) 它的一阶它的一阶, ,二阶导数分别为二阶导数分别为 hh 1 1 (t)=(-2e(t)=(-2e-2t -2t+ 3e + 3e-3t -3t) )(t (t) ) hh 1 1 (t)= (t)= (t) +(4e(t) +(4e-2t
