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1、第四章 弯曲内力 4-1 弯曲的概念与实例 A B 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 具有纵向对称面 外力都作用在此面内(包括支反力) 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 对称弯曲(平面弯曲）_ 固定铰支座活动铰支座 固定端 2 4-2 受弯杆件的简化 一、支座的几种基本形式： 简化原则：最后的计算结果尽可能接近实际 二、载荷的简化 集中载荷 分布载荷 集中力偶 2 简支梁 外伸梁 悬臂梁 FAx FAy FBy FAx FAyFBy FAx FAy MA 三、静定梁的基本形式 4-3 剪力和弯矩 x L B P2 a a A P1 FA FB FS M P1 a x FA 梁横截面上的内力分
2、量: 剪力FS：分布内力系主矢，方 向平行于横截面 弯矩M：分布内力系主矩，作用 在纵向截面内 FS a FB P2 Lx M FA P2 a a x L A B P1 FB P1 a x FS FA M FS ：使保留的分离体产生左上 右下变形时为正，反之为负。 M: 当梁段的弯曲为向下凸 时为正,反之为负。 FS a FB P2 Lx M 剪力:使杆件截开部分产生顺时 针方向 转动者为 正,逆时针方向 转动者为负 。 FS M FS M 剪力、弯矩符号规定: 左： Y = 0，FAFP1FS1= 0 mc = 0，M1+FP1（x a） FAx = 0 右： Y = 0， mc = 0，M
3、+FP2（Lxa）FB（Lx） = 0 剪力等于截面以左（或右）所有横向外力的代数和； 弯矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）对截面形心力 矩的代数和。 例、用截面法求图示梁FS、 M FA FS1 M1 FS1 a FB FP2 Lx M1 FP2=2 FP1 a a x L A B FP1 FB y x 解：求反力 FP1 a x c FA 左： 右： FA FP2=2 FP1 a a x L A B FP1 FB y x 无论左侧或右侧，总是向上的外力产生正弯矩。 对水平梁某一指定截面而言 ： 在它左侧的向上外力，或右侧的向下外力，将产生正剪力； FS1 M1 FS1 a FB
4、FP2 Lx M1 FP1 a x c FA 例：求图示梁II、截面剪力、弯矩 解： FS= qa， 2 MI = q a2 右: FS= qa， MI = qa2 a2 2 q qa2 = a2 2 q ： FS= qa， a2 2 qM = qa2 = a2 2 q 左： I I B A C aa II： 求反力q 一、剪力、弯矩方程 剪力方程FS= FS（x） 弯矩方程M = M（x） 二、剪力、弯矩图 剪力、弯矩沿梁轴变化规律的图线 横坐标 表示横截面沿梁轴线的位置 纵坐标 表示相应截面上的剪力或弯矩 x x FS x M 44 剪力方程、弯矩方程 剪力图、弯矩图 三、实例 例1、写出
5、图示梁FS 、M方程,并作FS 、M图 二、建坐标系 解：一、求反力FB = L P a FA = L P b 三、求 FS 、M方程 四、画 FS、M 图 CB ： L P a L P b FS（x2）= FA P = P = L P a M（x2）= FB (L x2) = （Lx2） x1 x2 ab P L + P P b L a P L P b L + P a L AC ： L P b FS（x1）= FA = L P b M（x1）= FA x1 = x1 y A a b P x B C L FBFA M x x FS + 例2、求FS、M方程，画FS、M图 解：一、求反力FA=F
6、B = qL 2 二、建坐标系 FS（x）= FAqx = qL 2 qx M（x）= FA x （qx） x 2 三、列方程 = qLx 2 qx2 2 四、作图 M（0）= 0 M（L）= 0 qL 2 + qL 2 FA A B C x L q FB M L 2 （ ） =qL 2 8 M x x FS （令M（x）=0） qL2 8 写FS、M方程、画FS、M图步骤 1、求支反力; 2、定坐标（注意分段）; 3、列内力方程:在集中力作用处; 在M作用处; 在q作用的起点、终点截面处 ; 4、画图: 判断各段图形状; 求控制面内力数值： 直线 首点 末点 曲线 首点 末点 极点 分段根据
7、 x1 x2 y A a b P x B C L 约定：q（x）向上为正 求导再利用 dx FS(x)+d FS(x) FS(x) M(x) M(x)+dM(x) q(x) dx C y P1 M0 P2 x q(x) x 45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一、微分关系 ab P L + P b L + P a L y A a b P x B C L M x x FS + qL 2 + qL 2 A B C L q M x x FS qL2 8 1. q0，Fs=常数， 剪力图为直线； 2. M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力 图
8、为斜直线；M(x) 为 x 的二次函数，弯 矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变 载荷集度、剪力和弯矩关系： FS FBFA FS FS FS 二、q（x）、 FS 、M之间的积分关系 a b 同理，由 梁任意两截面间的剪力改变量等于这两截面之间的梁段 上的分布载荷之合力； 梁任意两截面间的弯矩改变量等于这两截面之间的梁段 上的剪力图的面积 例：已知梁FS图，求梁上载荷图与M图 解 ： 斜率 ： 050 = +2q q = 25kN/m 或
9、E、D间：FS = 100kN/m 4q = 100kN/m ,q = 25kN/m MB0 = 50kNm ME （50） = 50kNm ME =0 50kN 50kN100kN q=25kN/m 50kN 50kN50kN A B E CD 1m 1m2m2m x FS + 50kNm 50kNmM x + 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控 制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的 剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与 弯矩
10、图。 BA 1.5m1.5m1.5m FAYFBY 1kN.m 2kN E E D D C C F F BA 1.5m1.5m1.5m FAYFBY 1kN.m 2kN 例题：简支梁受力的大小 和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。 解：1确定约束力 求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程 2确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。 E E D D C C F F 目录 (+) (-) BA 1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m FAYFBY 1kN.m 2k
11、N E E D D C C F F M (kN.m) x O 3建立坐标系 建立 FSx 和 Mx 坐标 系 5根据微分关系连图线 4应用截面法确定控制 面上的剪力和弯矩值，并 将其标在 FS x和 Mx 坐标系中。 0.89 1.11 1.335 1.67 (-) (-) 0.335 x FS (kN) O 0.89 kN= 1.11 kN （-） （+） 解法2：1确定约束力 FAy0.89 kN FFy1.11 kN 2确定控制面为A、C 、D、B两侧截面。 FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC 3从A截面左测开始画 剪力图。 Fs（ kN） 0.89
12、 1.11 做法 4从A截面左测开始画 弯矩图。 M（ kN.m） 从A左到A右 从C左到C右 从D左到D右 从A右到C左 1.330 0.330 从C右到D左 1.665 （-） （+） FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC Fs（ kN） 0.89 1.11 从D右到B左 从B左到B右 1.67 (-) (-) 0.335 1.335 q B A D D a a 4 4a a FAy FBy 例题：试画出梁剪力图和弯 矩图。 解：1确定约束力 根据梁的整体平衡，由 求得A、B 二处的约束力 qa 2确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个
13、截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左 侧的截面，也都是控制面。 C （+） （-） （+） q B A D D a a 4a4a FAy FBy qaqa C 3建立坐标系 建立FSx和Mx 坐标系 O FS x O M x 4确定控制面上的 剪力值，并将其标在 FSx中。 5确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 Mx中。 （+） （-） q B A D D a a 4 4a a FAy FBy qaqa 解法2：1确定约束力 2确定控制面，即A、 B、D两侧截面。 3从A截面左测开始画 剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4 qa （+） M （+） （-） q B A D
14、 D a4a4a FAy FBy qaqa Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4求出剪力为零的点 到A的距离。 B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2 AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32 5从A截面左测开始画弯 矩图 81qa2/32 qa2 （-）（-） （+）（+） （-） Fs 例题:试画出图示有中间铰 梁的剪力图和弯矩图。 解：1确定约束力 从铰处将梁截开 q FDy FDy qa F F AyAy F F ByBy MM A A F F AyAy F F ByBy qa/2 qa/2 qa M
15、qa2/2qa2/2 B A a qa C aa D q MM A A 目录 迭加原理： 构件上几个载荷同时作用产生的内力（支反力、应力、 位移等）等于各个载荷单独作用时产生的内力(支反力、应 力、位移)的迭加。 迭加原理适用条件 ： 所求量（如内力）是 载荷的线形函数。 qF x L q = F + 例4.5题：作图示刚架弯矩图。 解：一、写出弯矩方程： 取坐标系如图： 二、作弯矩图： 铰节点 刚节点 平面曲杆 轴线是 平面曲线的杆。 平面曲杆横截面 4-6 平面曲杆的弯曲内力 垂直于杆轴线切线的截面 平面曲杆横截 面内力分量 弯矩、剪力、轴力 内力符号 轴力FN: 拉 “ + ” 剪力FS :“ + ” 弯矩M:使轴线曲率增加为“ + ” FS FN FS FN 作弯矩图： M x y FN FS l A B C P P 1 2
