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1、杭州电子科技大学硕士学位论文 基于不动点定理的时标动力方程 周期解的稳定性研究 研究生：李绍塔 指导教师： 洪世煌教授 D i s s e r t a t i o nS u b m i t t e dt oH a n g z h o uD i a n z iU n i V e r s i 够 f o rt h eD e g r e eo fM a s t e r A S t u d y o n S t a b i l i t yo f P e r i o d i cS0 1 u t i o n s o f D y n a m i cE q u a t i o n so n T i m eS c
2、 a l e s Ba s e do nF i x e dP o i n tT h e o r e m 5 C a n d i d a t e ：S h a o t aL i S u p e i s o r ： P r o fS h i h u a n gH o n g N o v e m b e r ，2 0l l 杭州电子科技大学 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均
3、已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 日期：函年2 月砌 学位论文使用授权说明 本人完全了解杭州电子科技大学关于保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属杭州电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为杭州电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：穆碱 指导教师签名：1 气讯 日期：加? 7 年2 月力 日期：f
4、 7 年f 明饧日 杭州电子科技大学硕士学位论文 摘要 时间标架上的动力方程是一个新兴的研究领域，旨在整合和统一微分方程和差分方程 的研究。其研究历史最早可以追溯到1 9 8 8 年，德国数学家S t e n f a nH i l g e r 率先提出时标 及时标上的微积分理论，并初步建立了时标理论及时标动力方程的基本理论。这一理论的 主要目的在于统一和推广现有的微分和差分，常微分方程和差分方程的理论。从本世纪初 开始，这一理论引起数学界的广泛关注而迅速发展。一方面，它统一和推广了经典的微分 和差分理论；另一方面，它作为一个新的数学领域，具有广阔的应用前景。近年来，这一 领域已有许多研究成果，
5、特别在稳定性、振动性、初边值问题等方面取得了较大进展 卜2 2 ，时标动力方程的研究也带来真实现象和过程的数学模型的几个重要应用，例如： 时标上的种群动力学，流行病模型，金融消费过程的数学模型等。目前，关于时标动力方 程的研究绝大多数限于边值问题和振动性，而时标动力方程的周期解问题，脉冲问题、时 滞问题等方面的研究成果就相对较少，很多问题的研究仅仅只是一个开端，因而还有大量 问题的研究无论是从理论上还是从应用上来看都十分有意义。因此，本文主要针对时标动 力方程周期解的存在性和稳定性问题作一些探讨。 本文主要是研究时间标架上一类非线性中立型时标动力方程周期解问题，一阶时滞非 线性时标动力方程正周
6、期解的存在性问题，以及时间标架上一类半线性时标动力方程周期 解问题。通过利用K r a s n o s e l s k i i 不动点定理和压缩映像原理，分别得到上述非线性中立 型时标动力方程周期解的存在性和唯一性，利用不动点指数定理得到该方程正周期解的存 在性以及利用压缩映像原理来探索其周期解的稳定性。 全文分为六章： 第一章，主要综述时标动力方程的国内外研究现状，指出本文的研究目的和意义，最 后提出本文的研究问题。 第二章，主要阐述时间标架相关的理论知识。该章所述概念和理论内容都来自于S t e f a n H i l g e r 和其他一些数学家的研究，后续研究工作以此为基础。 第三章，
7、主要研究一类非线性中立型时标动力方程周期解问题。该章通过利用 K r a s n o s e l s k i i 不动点定理和压缩映像原理，分别得到如下非线性中立型时标动力方程周 期解的存在性和唯一性： 工O ) = 一口O ) 工( ( 广( f ) ) + c ( r ) x ( f 一) + g ( f ，x ( f ) ，石( f 一) ) ，f 丁 第四章，主要考虑一类一阶时滞非线性时标动力方程正周期解的存在性问题。该章将 A B S T R A C T T h ed y n a m i ce q u a t i o n s0 nt i m es c a l e sa r ean e
8、 wr e s e a r c hE e l d ，w 1 1 i c ha 洫st 0 i n t e 蓼a t ea n du m 矽t h es t u d yo fd i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o l l s T h es t u d yc a nb e 缸I a c e db a c kt o19 8 8 AG e m l a l lm a t h e m a t i c i a nn 锄e dS t e n f a nH i l g e rf i r s tp u t sf o n a r d
9、t h en o t i o no ft i m es c a l e sa n dc a l c u l u st h e o 巧o nt i I I l e s c a l e s ，a n dt h e ne s t a b l i s h e st h e m e o 叮o ft 妇es c a l e sa n dt h eb a s i ct h e 0 巧o fi f y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s T h e m a i np u r p o s eo ft 1 1 i s m e o 叫i st om l i
10、 矽a n de x t e n dm ee x i s t i n gd i f 艳r e n t i a la n d d i f r e r e n c e ，a n do r d i n a 】了d i f f e r e n t i a l 皇q u a t i o na 1 1 dd i 虢r e n c ee q u a t i o nt h e o 珂F r o n lm e b e 舀I 衄n go ft h j sc e n t u r y ，t h j sm e o r ) rh a sd r a w n 铲e a ta t t e n t i o ni nm a t h
11、 e m a t i c a lf i l e 正 a n dd e V e l o p sr a p i d l y O no n el 啪d ，i tu 1 1 i f i e sa n de x t e n d st 1 1 e c l a S s i c a lt h e o r vo f d i f r e r e n t i a la n dd i f I f e r e n c e ；o n 也eo m e rh a n d ，a san e wf i e l di I l m a t h e m a t i c s i th a S b r o a da p p l i c a
12、 t i o np r o s p e c t s h lr e c e n ty e a r s ，l i sa r e ah a Sh a d m a l l yr e s e a r C hr e s u l t s ， e s p e c i a l l yi ns t a b i l i t y ，o s c m a t i o n ，试t i a l - b o u n 出町v a l u ep r o b l e m ，w 1 1 i c hh a sm a d eg r e a t p r o g r e s s 1 2 2 ，m es t u d yo fd y n a m
13、i ce q u a t i o n so nt i n l es c a l e sa l s ob r i n g ss e v e r a l l m p o r t a n ta p p l i c a t i o l l so fr e a lp h e n o m e n aa n dt h ep r o c e s so fm a t h e m a t i c a lm o d e I s ，f o r l n s 协c e ， p o p u l a t l o nd y n 锄i c so nt i m e s c a l e s ，e p i d e m i o l o
14、g ym o d e l ，f i n m c i a l c o n s u r n p t l o np r o c e s sm a t h e m a t i c a lm o d e la n ds oo n A tp r e s e n t ，m ev a s tm a j o r i t yo f r e s e a r c h e so fm ed y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sa r ec o n f i n e dt ob o u l l d a r yv a l u e p r o b l e m sa
15、1 1 do ；c i l l a t i o n ，w M l et h er e s e a r c h e sa b o u tt h ep r o b l e m so fp e r i o d i cs o l u t i o n 。 1 m p u l s e ，t i m e - d e l a yO ft 1 1 ed y I l 砌ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sa r ec o m p a m t i v e l yr a r e A n dm a n yr e s e a r c h e so nt h e s ep r o
16、b l e m sa r ea t i t si n i t i a ls t a g e ，w 1 1 i c ha r e1 1 i 曲l y s i 嘶右c a n tn o t0 1 1 l yi 1 1t h e o r ) ，b u ta l s oi np r a c t i c e T h e r e f o r e ，t 1 1 i st h e s i sm a i m ye x p l o r e s t h ee X i s t e n c ea n ds 协i l i t ) ro ft h ed y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s T 1 1 i s 也e s i sd e a l sw i t l lt h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fN o m i n e a rN e u t r a lD l a m i c E q u a t i o n
