《2017-2018学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.2 圆内接四边形的性质与判定定理 新人教a版选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.2 圆内接四边形的性质与判定定理 新人教a版选修4-1（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二 圆内接四边形的性质与判定定理 1.圆内接四边形 (1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做 圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. (2)如果四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做 圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 名师点拨任意三角形都有外接圆,任意正方形、矩形都有外接圆 ,但并不是所有四边形都有外接圆. 2.圆内接四边形的性质定理 (1)性质定理1:圆的内接四边形的对角互补. 如图,若四边形ABCD内接于圆O,则A+C=180, B+D=180. 该定理的作用是证明两个角互补. (2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 如图,若四边形A
2、BCD内接于圆O,E为AB延长线上一点,则 CBE=ADC. 该定理的作用是证明两个角相等. 名师点拨1.圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提 供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法. 2.注意几个常用结论: (1)内接于圆的平行四边形是矩形; (2)内接于圆的菱形是正方形; (3)内接于圆的梯形是等腰梯形. 【做一做1】 如图,四边形ABCD内接于圆O.若A=2C,则 C= ;若ADC=85,则ABE= . 解析:因为四边形ABCD是圆内接四边形, 所以A+C=180.又A=2C,所以C=60. 又因为ADC=ABE,ADC=85, 所以ABE=85. 答案:60 85
3、3.圆内接四边形的判定定理 (1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四 个顶点共圆. 如图,在四边形ABCD中,若A+C=180(或B+D=180),则 A,B,C,D四点共圆. 该定理的作用是证明四点共圆. (2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个 四边形的四个顶点共圆. 如图,在四边形ABCD中,延长AB到E,若CBE=ADC,则A,B,C,D 四点共圆. 该推论的作用是证明四点共圆. 名师点拨判断或证明四点共圆的常用方法: (1)如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆; (2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆; (
4、3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形 的四个顶点共圆; (4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等,且在公共边 的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆. 【做一做2】 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且 BC=BE,D=80,E=50.求证:A,B,C,D四点共圆. 证明:BC=BE,E=BCE. EBC=180-2E=80, EBC=D. A,B,C,D四点共圆. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)任意矩形都有唯一的外接圆. ( ) (2)菱形一定有外接圆. ( ) (3)任意正多边形都有外接圆.
5、( ) (4)圆内接梯形一定是等腰梯形. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) 探究一探究二规范解答当堂检测 圆内接四边形性质定理的应用 【例1】 (1)如图,已知O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线 交于点P,AD和BC的延长线交于点Q.若A=50,P=30,求Q的 度数. (2)如图,在O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交O于 点D.求证:AC2=ADAE. 探究一探究二规范解答当堂检测 分析:(1)先利用圆内接四边形的性质求得CDQ和DCQ的度 数,再利用三角形的内角和定理求得Q的度数;(2)可先考虑证明 ADCACE,得到比例式后,再转化为欲证等积式. (1
6、)解:四边形ABCD是O的内接四边形, QCD=A=50.又P=30,CDQ=P+A=80, 故Q=180-80-50=50. (2)证明:如图,连接DC, AC=AB,ACB=B. 又四边形ABCD内接于O, EDC=B, ACB=EDC,ADC=ACE. EAC=CAD,ADCACE, 探究一探究二规范解答当堂检测 反思感悟1.因为圆内接四边形的性质主要涉及有关角的关系,所 以在圆内求角的大小以及证明角之间的相等关系时,要发现和构造 圆内接四边形,利用两个性质定理进行求解和证明. 2.在圆内证明等积式时,由于比例式是等积式的一种特殊形式,因 此可转化为比例式,只需找到包含所证线段的两个三角
7、形来证明. 而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质定理,得出对应的 角相等. 探究一探究二规范解答当堂检测 变式训练1如图,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点 P,E为O上一点,AE=AC.求证:PDE=POC. 证明:连接BE,BC.AE=AC,AB为直径, 在RtABE和RtABC中, ABE=ABC,AEB=ACB,AE=AC. RtABERtABC,OAE=OAC. 又OAC=OCA,OCA=OAE, POC=OAC+OCA=OAC+OAE=EAC. 又四边形ACDE内接于O, EAC=PDE,PDE=POC. 探究一探究二规范解答当堂检测 圆内接四边形判定定理的应用 【
8、例2】如图,在ABC中,AD=DB,DFAB交AC于点 F,AE=EC,EGAC交AB于点G.求证: (1)D,E,F,G四点共圆; (2)G,B,C,F四点共圆. 分析:(1)连接GF,则易证GDF与GEF均为直角三角形,由直角 三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论. (2)连接DE,由条件易证DEBC,从而ADE=B,由(1)知 ADE=GFE,从而GFE=B,从而得到结论. 探究一探究二规范解答当堂检测 证明:(1)连接GF.由DFAB,EGAC,知GDF=GEF=90, GF的中点到D,E,F,G四点的距离相等,D,E,F,G四点共圆. (2)连接DE.由AD=DB, AE=
9、EC,知DEBC,ADE=B. 又由(1)中D,E,F,G四点共圆, ADE=GFE,GFE=B, G,B,C,F四点共圆. 探究一探究二规范解答当堂检测 反思感悟判定四点共圆的方法 1.如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆; 2.如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆; 3.如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四 边形的四个顶点共圆; 4.与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个 端点在内共圆. 探究一探究二规范解答当堂检测 变式训练2如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的 圆与AD,BC分别交于E,F.求证:C,D
10、,E,F四点共圆. 证明:连接EF.因为四边形ABCD为平行四边形, 所以B+C=180. 因为四边形ABFE内接于圆, 所以B+AEF=180. 所以AEF=C,故C,D,E,F四点共圆. 探究一探究二规范解答当堂检测 圆内接四边形性质定理和判定定理的综合应用 【典例】 如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延 长线交于E点,且EC=ED. (1)求证:CDAB; (2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆. 【审题策略】利用圆内接四边形的性质与判定定理证明. 探究一探究二规范解答当堂检测 【规范展示】证明:(1)因为EC=ED,所以EDC
11、=ECD. 因为A,B,C,D四点在同一圆上, 所以EDC=EBA,故ECD=EBA.所以CDAB. (2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG, 所以EFD=EGC,从而FED=GEC. 连接AF,BG,则EFAEGB, 故FAE=GBE. 由(1)得CDAB,所以FAB=GBA, 所以AFG+GBA=180, 故A,B,G,F四点共圆. 探究一探究二规范解答当堂检测 【答题模板】(1)第1步:证EDC两底角相等; 第2步:利用圆内接四边形的性质定理得两角相等; 第3步:利用同位角相等证得结论. (2)第1步:证明两角相等; 第2步:证明两三角形全等; 第3步:由圆内接四边形的判定定理证得
12、结论. 失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因是: (1)不能利用等腰三角形的性质得出两底角相等; (2)不能正确利用圆内接四边形的性质得出角的相等关系; (3)无法正确利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆. 探究一探究二规范解答当堂检测 变式训练已知CF是ABC的AB边上的高,FPBC于点P,FQAC 于点Q.求证:A,B,P,Q四点共圆. 证明:连接PQ,在四边形QFPC中,因为PFBC,FQAC, 所以FQA=FPC=90. 所以Q,F,P,C四点共圆. 所以QFC=QPC. 又因为CFAB,所以QFC与QFA互余. 而A与QFA也互余,所以A=QFC. 所以A=QPC.故A,B,P
13、,Q四点共圆. 探究一探究二规范解答当堂检测 1.已知四边形ABCD是圆内接四边形,则下列结论正确的有( ) 若A=C,则A=90;若A=B,则四边形ABCD是等腰梯 形;A的补角与C的补角互补;ABCD的比可以 是1234. A.1个B.2个 C.3个D.4个 答案:B 2.圆内接平行四边形一定是( ) A.正方形B.菱形 C.等腰梯形D.矩形 解析:因为圆内接四边形的对角互补,平行四边形的对角相等,所以 圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形. 答案:D 探究一探究二规范解答当堂检测 3.如图,四边形ABCD为O的内接四边形,E为AB延长线上一点 ,CBE=40,则AOC等于( ) A.20 B.40 C.80 D.100 解析:因为CBE=40,所以ADC=40, 于是AOC=2ADC=80. 答案:C 4.若BE和CF分别是ABC的边AC和AB边上的高,则 四点共圆. 解析:由BEC=BFC=90,可得BCE和BCF共圆,从而 B,C,E,F四点共圆. 答案:B,C,E,F 探究一探究二规范解答当堂检测 5.如图,AD是ABC外角EAC的平分线,AD与ABC的外接圆 O交于点D.求证:DB=DC. 证明:AD是ABC的外角EAC的平分线, 又EAD=BCD,CAD=CBD, DBC=DCB. DC=BD.
