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1、3-3 导数在经济分析中的应用 一边际分析 .边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量增加一个 单位时所增加的成本 设某产品产量为q时的总成本为C=C（q） 由于 所以就把总成本函数对q的导数 C（q）叫做边际成本 2.边际收入 在经济学中，边际收入定义为多销售一 个单位产品时所增加的销售收入 设某产品的销售量为q时的收入函数为R=R(q)，则 收入函数对q的导数R （q） 就是边际收入 3.边际利润 设某产品的销售量为q时的利润函数 为L=L(q），则函数对q的导数 称为销售量为q时的边际利润， 它的经济学含义为当销售量为q时再多销售一个单位 产品所增加（或减少）的利润。 在经济学中 利润=
2、收入-成本 所以有 L(q)=R(q)-C(q) 两边同时求导，有 即 边际利润等于边际收入减边际成本。 一般， 设函数y=f（x）可导，则f（x ）就是函数在点x处的变化率，也称为边 际函数。f（x0）称为函数在x=x0处的变 化率，也称为函数在x=x0处的边际函数值 。 例1 设某产品产量为q（单位：吨）时的总成本函数（单位：元） 为C(q）=1000+7q+50 求（1）产量为100吨时的总成本 （2）产量为100吨时的平均成本 （3）产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率 （4）产量为100吨时，总成本的变化率（边际成本），说 明经济含义。 解：（1）产量为100吨时的总成
3、本为 C（100）=1000+7100+50=2200（元） （2）产量为100吨时的平均成本为 （元吨） （3）产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率为 （元吨） （4）产量为100吨时，总成本的变化率即边际成本为 它的经济学含义是： 当产量为100吨时，再多生产一吨产品所增 加的成本为9.5元 例2 设某产品的需求函数是q=100-5p，求边际收入函数以及 q=20、 50、和70时的边际收入，并说明经济含义（p-销售 价格） 解：收入函数为R（q）=pq 由已知可解得p=15（100-q） 所以R（q）=15（100-q）q=15（100q-q2） 边际收入函数为 由计算结果
4、可知： 当销售量即需求量为20个单位时，再多销售一 个单位产品总收入约增加12个单位；当销售量 为50个单位时，再增加销售总收入不会再增加 ；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位 产品反而使总收入大约减少8个单位。 思考题 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤设 此牛仔裤的需求函数为q=40-p，问该个体户将 销售价格定为多少时，才能获得最大利润？ 解：成本C（q）=10q，收入R（q）=pq 又q=40-p p=40-q 故 R（q）=（40-q）q=40q-q2 利润L（q）=R（q）-C（q）=40q-q2-10q=-q2+30q 令L （q）=0驻点q=15 它是唯一的极值点，
5、此时利润 最大 所以p=40-q=40-15=25 答:该个体户将销售价格定为25元条时，才能获得最 大利润。 二、弹性分析 弹性分析也是经济分析中的一种常用方法 函数f（x）的弹性意即当自变量变化百分之一时 函数变化的百分数 1.相对改变量 对于函数y=f（x）当x从x0变到x0+x时 xx0称为x在（x0，x0+x）内的相对改变量 相应地 称为函数y的相对改变量 2.相对平均变化率 函数的相对改变量yy0与自变量的相对改变量xx0之比 称为函数在（x0，x0+x）内的相对平均变化率。 或称为x0，x0+x之间的弹性 3.函数的弹性 对于函数y=f（x）如果极限 存在，则把此极限称作函数在点
6、x处的弹性 记作E,即 E= 称为f（x）的弹性函数 由需求函数Q=Q(p）可得需求弹性为 解： 所以 E(100)=-2 它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加百分 之一，则需求减少2. 例3.设某商品的需求函数为Q=3000 求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义 本次课要点 两个应用 边际分析 弹性分析 边际函数的一般概念 边际成本 边际收入 边际利润 弹性的一般概念 需求弹性 思考题 1.已知函数Y=f(x)=x2, 当x0=10， x=2 时 求：（1）自变量的相对 改变量和函数的相对改变量 （2）函数在（x0 , x0+x)内的相 对平均变化率并解释含义 2.已知某商品的需求函数Q=1200P, P为价 格 求：（1）从p=30到p=20之间的需求弹性 （2）从p=30到p=50之间的需求弹性 解释以上的实际意义。 1.解（1）自变量的相对改变量为 函数的相对改变量为 （2）函数在（10，12）内的相对平均变化率为 解释：在区间（10，12）内自变量每增加1 ，函数 值平均增加2.2 。 2.解： （1） （2） 说明含义： （1）当商品价格从30降到20时，价格每降1需求量从40 平均增加1.5（2）当商品价格从30涨到50时，价格每涨 1 需求量从40平均减少0.6 。
