四弯曲内力

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1、1 41 平面弯曲的概念及梁的计算简图 42 剪力和弯矩 43 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 45 按叠加原理作弯矩图 46 平面刚架和曲杆的内力 第四章 弯 曲 2 41 平面弯曲的概念及实例 一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩作用时,杆轴线 的曲率发生变化，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。 3 3. 工程实例 4 4.平面(对称)弯曲：杆件有一个包含轴线的纵向对称面，所有 外力都在该对称面内，发生弯曲变形后，轴线将变为该对称面 内的一条曲线。 纵向对称面M P1 P2 q 5 非对

2、称弯曲 若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有 纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为 非对称弯曲。 下面几章中，将以平面(对称)弯曲为主，讨论梁的应 力和变形计算。 6 二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 梁本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁，而不考虑梁的截面形状。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型 ： 集中力、集中力偶和分布载荷。 7 3. 支座简化 固定铰支座 2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。 可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：

3、桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。 8 固定端 3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 XA YA MA 4. 梁的三种基本形式 简支梁 悬臂梁 9 外伸梁 5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力平衡方程可求出支反力，如上述三种基 本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力平衡方程不能求出全部支反力。 10 42 梁的剪力和弯矩 一、弯曲梁横截面上的内力： 例1已知：如图，P，a，b, l。 求：距A端x处横截面上内力。 P a P l YA XA RB A AB B 解：求外力 b 11 AB P YA XA RB m m x 求内力截面法 取截面以左部分： A YA

4、Fs M RB P M Fs 取截面以右部分： C C 12 弯曲梁横截面上的内力 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于横截面的内力 偶矩。 弯矩等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心 的力矩的代数和。 2. 剪力：Fs 构件受弯时，横截面上作用线平行于截面并通过截面 形心的内力。 剪力Fs等于截面以左（或以右）所有横向力的代数和 。 13 3.剪力、弯矩的正负规定: 剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 弯矩M：使梁弯成凹形的为正弯矩；使梁弯成凸形的为负弯矩 。 Fs()Fs(+ ) M(+) M() 左上（右下） 剪力为正 右上（左下） 剪力为负 左顺（右逆）

5、，弯矩为（）； 反之弯矩为（）。 14 例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。 x y 解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。 图（a） 二、例题 q qL ab 1 1 2 2 qL Fs1 A M1 图（b） x1 15 2-2截面处截取的分离体如图（c） x y 图（a） q qL ab 1 1 2 2 qL FS2 B M2 x2 图（c） 16 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。 2. 剪力图和弯矩图： )(xFsFs=剪力方程 )(xMM = 弯矩方程 )(xFsFs= 剪力图的图线表示 )(xMM = 弯矩图的图线表示 43

6、 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 17 例3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 解：求支反力 写出内力方程 P YO L 根据方程画内力图 讨论：不求支座反力 ，写出剪力、弯矩方 程。 M(x) x Fs (x) Fs M x x P PL MO P （） （） 18 解：写出内力方程 根据方程画内力图 L q Fs x x qL L x M （） （） 19 解：求支反力 内力方程 q RA 根据方程画内力图 RB L x x （+） （+） （） M x Fs 20 解： 求支座反力 写出剪力、弯矩方程 AC段： ， CB段： ， 画剪力图、弯矩图 m L a b （） （） （

7、） 21 一、 剪力、弯矩与分布载荷间的关系 (x)为正，为负。 剪力与分布载荷间的关系： 对dx 段进行平衡分析，有： 43(补) 剪力、弯矩与分布载荷集度间的关系及应用 dx x q(x) q(x) M(x)+d M(x) FS(x)+d FS(x) FS(x) M(x) dx A y x 22 q(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS(x) FS(x) M(x) dx A 弯矩与分布载荷间的关系： 弯矩、剪力与分布载荷间的关系： 23 二、剪力、弯矩与外力间的关系 外力 无分布载荷段均布载荷段集中力集中力偶 q=0 q0q0 Fs Fs 0,故 该截面M为极小值 Fs x q

8、a 2 qa x M B C 26 例5 画图示梁的剪力图和弯矩图。 解：求支反力 截面A ： 截面B左： 截面B右： 截面C左： M极值截面 ： 截面C右： 截面D： q qa2 qa RARD Fs x qa/2qa/2 qa/2 + AB CD qa2/2 x M qa2/2 qa2/2 3qa2/8 x 例5 画图示梁的剪力图和弯矩图。例5 画图示梁的剪力图和弯矩图。 27 课堂练习 画图示梁的剪力图和弯矩图。 （a) (b) A B C a 2a A B C a 2a 28 A B C (+) (+) (-) (-) (a) 29 (+) (-) (-) (-) A B C (b)

9、30 4.3(补)按照叠加原理做弯矩图 一、叠加原理： 在线弹性范围内，小变形条件下，当结构上同时作用 几个载荷时，各个载荷所引起的内力是各自独立的，互不 影响的。这时，各个载荷与其所引起的内力成线性关系， 叠加各个载荷单独作用于结构而引起的某一内力，就得到 这些载荷共同作用时的该内力。 31 二、用叠加原理画弯矩图的步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图 形的简单拼凑）。 32 例6按叠加原理作弯矩图(AB=L，力P作用在梁AB的中点处）。 q q P P =+ A A A B B B x M2 x x M = + （） M1 （） （） 33

10、 趣味题：一宽4米的水沟之上横跨一长6米的窄 跳板，两体重都为800的同伴欲过此沟。已知跳板 允许的最大弯矩不能超过800N.m。试说明两人采取 何种方法，可安全过沟。 1m 1m 4m 34 三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，S图反对称，M图对称；对 称结构在反对称载荷作用下，S图对称，M图反对称。 对称结构结构的几何形状尺寸、支承条件和刚度都对称 于某一轴。 对称载荷载荷的作用位置、大小和方向也都对称于结 构的对称轴。 反对称载荷载荷的作用位置和大小对称于结构的对称 轴，但方向却是反对称的。 35 RARB L x （+） （+） （） M x Fs 对称结构在对称载

11、荷作用下，S图反对称，M图对称。 36 对称结构在反对称载荷作用下，S图对称，M图反对称。 （） （） （） （） （） 37 例7 作图示梁的剪力图和弯矩图。 P PL P PL LL LL LL 0.5P 0.5P 0.5P 0.5P P0 Fs x FS1 x FS2 x 0.5P 0.5P 0.5P + P 38 P PL P PL LL LL LL 0.5P 0.5P 0.5P 0.5P P 0 M x M1 x M2 x 0.5PL PL 0.5PL 0.5PL （） （） （） （） 39 43(补) 平面刚架和曲杆的内力 一、平面刚架 1. 平面刚架：由轴线在同一平面内、不同取

12、向的杆件，相互之 间刚性连接而组成的结构。如万能材料试验机的活动框架，门 窗框架，自行车的车架等。 2特点：刚架的每两个组成部分在其连接处夹角始终保持不 变，这种连接点称为刚节点。外力作用在刚架轴线平面内时， 各杆的内力有：FS 、M、FN。 40 例8 试作图示刚架的内力图。 P1 P2 a l A B C FN图 P2 + FS图 P1 + P1 P1a M 图 P1a P1a+ P2 l 41 课堂练习：画图示刚架的弯矩图 42 43 二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件，如活塞环、链 条环的圆环部分等。外力作用在曲杆轴线平面内时，曲杆 的内力情况与平面刚架相同。 例9 已知：图示曲杆的

13、P及R 。求曲杆的内力。 O PR q m m 解：曲杆的横截面为径向截面, 以圆心角为的横截面mm右侧 外力来计算mm截面的弯矩。 规定：使轴线曲率增加的弯矩为 正，反之为负。剪力、轴力的正 、负号规定与梁相同。 A B 44 一、内力的直接求法： 求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象， 内力计算式如下，其中Pi 、 Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向 下的外力。 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 弯曲内力小结、习题课 45 剪力、弯矩与分布荷载间的关系： q(x) 二、 简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊截面的内力值来作图的方 法。 46 三、三、 叠加原理：

14、多个载荷同时作用于结构而引起的某一内力等于每个载 荷单独作用于结构而引起的该内力的代数和。 四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，FS图反对称，M图对称；对称 结构在反对称载荷作用下，FS图对称，M图反对称。 47 例10 绘制下列图示梁的弯矩图。 2P aa P = 2P P + x M x M1 xM2 =+ + + 2Pa 2Pa Pa (1) 48 (2)P L/2L/2 PL/2 = + P x M2 x M = + PL/2 PL/4 PL/2 x M1 + PL/2 49 (3) 100kN 1m1m 20kNm = + x M2 x M = + 20kNm 50kNm x M1 20kNm 100kN 20kNm 20kNm + + 20kNm 30kNm 20kNm 50 课堂练习： 1、画图示梁的剪力图和弯矩图。 51 （） （） （） （） （） （） 52 2、改内力图之错。 a2aa q qa2 A B FS x x