《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5 曲线与方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5 曲线与方程（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章圆锥曲线与方程 10.5曲线与方程 数学(浙江专用) 考点 曲线与方程 1.(2017课标全国理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过M作x轴的垂线,垂 足为N,点P满足 = . (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 五年高考 解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题. (1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 得x0=x,y0= y. 因为M(x0,y0)在C上,所以 + =1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2
2、. (2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), = (-3-m,t-n). 由 =1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以 =0,即 . 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 = 得到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解.(2) 利用向量的坐标运算得 =0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F. 方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和
3、直译法.间接 法有相关点法、交轨法和参数法. 2.(2016课标全国,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆 A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边 形MPNQ面积的取值范围. 解析 (1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+
4、y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. (2分) 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 + =1(y0). (4分) (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 所以|MN|= |x1-x2|= . (6分) 过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=- (x-1),A到m的距离为 ,所以|PQ|=2 =4 . 故四边形MPNQ的面积 S= |MN|PQ|=12 . (10分) 可得
5、当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8 ). 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 ). (12分) 评析 本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其对“弦长”问 题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能 力的要求也非常高. 3.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于 A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是
6、PQ的中点,证明ARFQ; (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 解析 由题设知F .设l1:y=a,l2:y=b,则ab0, 且A ,B ,P ,Q ,R . 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. (3分) (1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1= = = = =-b=k2. 所以ARFQ. (5分) (2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= . 由题设可得2 |b-a| = , 所以x1=0(舍去),或x1=1. (
7、8分) 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得 = (x1). 而 =y,所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1. (12分) 疑难突破 第(1)问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点所 满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思 想的应用. 评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨 论思想的应用,考查学生对基础知识和基本技能的应用能力. 4.(2015广东,20,14分
8、)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存 在,说明理由. 解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0), 则x0= ,y0= . 由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx. 将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=
9、0. 由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2= , 所以x0= ,代入直线l的方程,得y0= . 因为 + = + = = =3x0, 所以 + = . 由(*)解得t2 ,又t20,所以 x03. 所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为 +y2= . (3)存在.由(2)知,曲线C是在区间 上的一段圆弧. 如图,D ,E ,F(3,0),直线L过定点G(4,0). 联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. 令判别式=0,解得k= ,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I= ,由图可知:要使直线L 与曲线C只有一个交点,则kk
10、DG,kEGkGH,kGI,即k . 5.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点 M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公 共点时k的相应取值范围. 解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即 =|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x). 故点M的轨迹C的方程为y2= (2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0), 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2). 由方程组 可得k
11、y2-4y+4(2k+1)=0. i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x= . 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点 . ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1). 设直线l与x轴的交点为(x0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=- . 若 由解得k , 即当k(-,-1) 时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 若 或 则由解得k 或- k0, 即当k 时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点. 当k 时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点, 故当k 时,直线l与轨迹
12、C恰好有两个公共点. 若 则由解得-1k- 或00)的一个焦点为( ,0),离心率为 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 解析 (1)由题意知c= ,e= = , a=3,b2=a2-c2=4, 故椭圆C的标准方程为 + =1. (2)设两切线为l1,l2, 当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2). 当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为- ,l1的方程为y-y0=k(x -x0),与 + =1联立, 整理得(9k2+4)x2+18(y0-
13、kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, 直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0, ( -9)k2-2x0y0k+ -4=0, k是方程( -9)x2-2x0y0 x+ -4=0的一个根,同理,- 是方程( -9)x2-2x0y0 x+ -4=0的另一个根, k = ,整理得 + =13,其中x03, 点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3). P(3,2)满足上式. 综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13. 评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类 讨论思想以及方程思想的应用. 1.(20
14、17浙江温州十校期末联考,6)点P为直线y= x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的 是 ( ) A.|PF1|-|PF2|8 B.|PF1|-|PF2|=8 C.|PF1|-|PF2|8 D.以上都有可能 三年模拟 一、选择题 A组 20152017年高考模拟基础题组 答案 C 若|PF1|-|PF2|=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为 - =1. 因为直线y= x是该双曲线的一条渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有|PF1|-|PF2|8. 2.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,4)如图,定点A,定点B,定点P,P
15、B,C是内异于 A和B的动点,且PCAC.那么,动点C在平面内的轨迹是 ( ) A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.一个椭圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点 答案 B 连接BC,易知BCAC,C点的轨迹是以AB为直径的圆,但C与A,B不重合,C在平面 内的轨迹是一个圆,但要去掉两个点. 3.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,14)若抛物线C:y2=2px的焦点F在直线l:x-ay-1=0(aR)上, 则此抛物线的方程是 ;若直线l与C交于A,B两点,则 = (O为坐标原点). 二、填空题 答案 y2=4x;-3 解析 抛物线C:y2=2px的焦点为F ,代入x-ay-1=0得p=2,所以抛物线的方程是y2=4x.设A(ay1 +1,y1),B(ay2+1,y2),将x-ay-1=0代入y2=4x,消去x得到y2-4ay-4=0, 所以y1+y2=4a,y1y2=-4, 因此 =(ay1+1)(ay2+1)+y1y2=(a2+1)y1y2+a(y1+y2)+1=-4(a2+1)+4a2+1=-3. 4.(2016浙江镇海中学测试卷四,13)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动 点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.则直线A1N1与A2N2的
