《（同步精品课堂）2016-2017学年高中数学 专题3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（提升版）新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（同步精品课堂）2016-2017学年高中数学 专题3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（提升版）新人教a版必修5（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3二元一次不等式（组）与平面区域 一、二元一次不等式的有关概念 二元一次不等式的一般表达式为 ： 我们把只含有_未知数，并且未知数的最高次数是_的不 等式，称为二元一次不等式. 二个1 1、二元一次不等式： ax+by+c0，其中a，b，c均为常数且a，b不同时为零. 2、二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组 . 基础回扣 3.二元一次不等式的解集：满足二元一次不等式的x和y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成 的集合称为二元一次不等式的解集. 二.二元一次不等式表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax
2、+By+C0表示直线 _某一侧所有点组成的平面区域. (2)把直线画成_，以表示区域不包括边界.不等式 Ax+By+C0表示的平面区域包括边界，把边界画成_. Ax+By+C=0 虚线 实线 （3）二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C，所得的符号都_. (2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0)，由 _的符号可以断定Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 相同 Ax0+By0+C 自学题纲 阅读必修五p8791页的内容，完成学案中问题。 3.3 二元一次不等式
3、（组）与平面区域 一、线性规划的相关概念 不等式 一次不等式 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 线性约束 试一试：根据如下线性规划问题及其解法，思考下列问题： 问题：设z=2x+y,且x,y满足下列条件 求它的最值 . 【分析】首先画出不等式组形成的 区域，由图知，(0，0)不在区域内. 当x=0,y=0时,z=2x+y=0,点(0，0)在 直线2x+y=0上.作一组平行线2x+y=t, t是直线2x+y=t的纵截距，这里A(1，1)，B(5，2).显然当直线 2x+y=t过A点时，t为最小，过B点时,t为最大.zmax=12,zmin=3. 显然，求z=2x+y的最值，转化为求直线的纵截
4、距的最值. 1.在此题中线性约束条件是_，目标函数是_. 提示：线性约束条件是关于变量x,y的一次不等式组成的不等 式组，故此题中线性约束条件是 目标函数指的 是欲求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解析式，因此本题 中目标函数是z=2x+y. 答案： 2.目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？ 提示：z=2x+y,y=-2x+z,z的几何意义是直线y=- 2x+z在y轴上的截距. 3.使线性目标函数z=2x+y取得最值的最优解是什么？ 提示：由解析过程可知，当直线2x+y=t过A点时，t最小， 过B点时t最大，故最优解是(1，1)和(5，2). 二、问题探讨与解题研究 类型一 求线性目
5、标函数的最值 【练习】设变量x,y满足约束条件 则目标函数 z=2x+3y+1的最大值为( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【解析】选B.画出线性约束条件表示的 可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1 得直线 当直线平移至点 A(3，1)时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值10. 【小结】解线性规划问题的步骤 【小结2】如何确定线性规划问题中的最优解？ 提示：线性目标函数z=Ax+By+C(A,B不全为0)中，当B0时， 这样线性目标函数可看成斜率为 在y轴上的截距为 且随z变 化的一组平行线，则把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行 域有公共点时，直线在y
6、轴上的截距的最大值或最小值的问题.因此只需 先作出直线 再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行 域的顶点就是最优解. 【例1】已知 求： (1)z=x2+y2-10y+25的最小值；(2) 的取值范围. 类型二 求非线性目标函数的最值 【分析】1.由于 的几何意义表示点(x,y) 与点（0，-5）之间距离平方，故画出可行域后，观察并找 出可行域内与（0，-5）距离最近和最远的点，并求出这个 距离的平方。 【解析】作出可行域如图所示，A(1，3)，B(3，1)，C(7，9). 2.根据式子 的几何意义，并结合可行域即可求出它 的最值。 z=x2+(y-5)2表示可行域内任 一点(x,y)到
7、点M(0，5)的距离的平方， 过M作AC的垂线，易知垂足在AC上， 故 z的最小值为 (2) 表示可行域内点(x,y)与定点 连线 斜率的2倍, z的取值范围是 【练习】实数x,y满足不等式组 的最小 值为_. 【解析】作出不等式组所表示的平 面区域，如图阴影部分所示. 表示点(x,y)与点A(-1，1)连线的斜 率.由图得可行域中点(1，0)与点A( -1，1)的连线的斜率最小. 【小结】与线性规划有关的两种最值的求法 (1)形如 的最值:应转化为可行域内的点(x,y)与点 (a,b)连线的斜率的最值. (2)形如(x-a)2+(y-b)2的最值:转化成可行域内的点(x,y)与 点(a,b)
8、两点间距离的平方的最值. 类型三 已知目标函数的最值求参数 【小结】已知函数最值求参数取值(或范围)的解题思路 采用数形结合，画出可行域，根据目标函数表示的意义， 画出目标函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是 最优解，求出最优解之后，再把它代入含有参数的约束条 件，即可求出参数. 类型四 线性规划中最优整数解问题 【练习】某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场 上该原料有两种包装，一种每袋35千克，价格为140元；另 一种每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少 要花费多少元？ 【解析】设购买重量为每袋35千克的x袋，重量为每袋24千 克的y袋，则所要花费的金额z=1
9、40 x+120y，依题意，可得关 于x,y的约束条件 如图， 故知当直线经过点 时，目标函数z的值最小，x,yN，寻 找可行域上靠近边界的几个点.令x=0，知y5，当x=1时，知 y3，当x=2时，知y2，当x=3时，知y1，当x=4时，知y0, 将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0) 分别代入目标函数，可知直线z=140 x+120y过点(1，3)时，目标 函数z有最小值500元. 【小结】求线性规划中最优整数解的三种方法 (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线 ，最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解. (2)筛选优值法：当可行
10、域内整点个数较少时，也可将整点坐 标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解. (3)调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定 方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解. 1.已知变量x,y满足条件 设z=2x+y，取点(3,2)可 求得z=8，取点(5,2)可求得zmax=12,取点(1，1)可求得zmin=3, 取点(0，0)可求得z=0，点(3，2)叫做_，点(0，0)叫做 _，点(5，2)和点(1，1)均叫做_. 【解析】由可行解、最优解的定义知点(3，2)叫做可行解， 点(0，0)叫非可行解，点(5，2)和点(1，1)均叫做最优解. 答案：可行解 非可行解 最优解 【解析】选B.
11、作出可行域如图所示. 作直线l0:x-2y=0.当把l0平移到l1的位 置时，此时过点A(1,-1)，z的值最大， 且zmax=1-2(-1)=3.故选B. 2.若变量x,y满足约束条件 则z=x-2y的最大值为 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.已知变量x,y满足关系式 则z的最大值是 _. 【解析】可行域如图所示.而z=x2+y2的几 何意义是点(x,y)与(0,0)距离的平方，故 zmax=OB2=18.答案：18 4.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近 的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型 货车运输费用400元，可装洗衣机20台；
12、每辆乙型货车运输 费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该 厂所需要的最少运输费用为( ) (A)2 000元 (B)2 200元 (C)2 400元 (D)2 800元 【解析】选B.设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知 作出其可行域.可知目标函数z=400 x+300y在 点(4,2)处取最小值，zmin=4004+3002=2 200(元). 【解析】由约束条件画出可行域.点 C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移 直线y=-ax在y轴上的截距最大.目 标函数仅在点(3，1)处取得最大值 ，-akCD,即-a-1,a1. 5.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+y(a 0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围. 四、课堂小结 1、解线性规划问题的步骤:画移求答； 2、与线性规划有关的两种最值的求法：斜率公式、两点 间距离公式； 3、求线性规划中最优整数解的三种方法： 平移直线法、.筛选优值法、.调整最优值法 .
