《2020版高考数学培优考前练理科通用版5.3 空间向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学培优考前练理科通用版5.3 空间向量（125页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 . 3 空 间 向 量 -2- 高考命题规律 1.每年必考考题,主要考查空间位置关系的证明和空间角的求解. 2.解答题,12分,中档难度. 3.全国高考有4种命题角度,分布如下表. -3- 高考真题体验典题演练提能 空间位置关系证明与线面角求解 1.(2019浙江19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面 ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1 的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. -4- 高考真题体验典题演练提能 解:方法一: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中
2、点, 所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC,则A1EBC. 又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F. 所以BC平面A1EF. 因此EFBC. -5- 高考真题体验典题演练提能 (2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E平 面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形. 由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平 面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或 其补角).
3、 -6- 高考真题体验典题演练提能 方法二: (1)连接A1E, 因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC. 如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空 间直角坐标系E-xyz. -7- 高考真题体验典题演练提能 -8- 高考真题体验典题演练提能 2.(2019天津17) 如图,AE平面 ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)
4、若二面角E-BD-F的余弦值为 ,求线段CF的长. -9- 高考真题体验典题演练提能 (1)证明:依题意,可以建立以A为原点,分别以 的方向为x 轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h0),则F(1,2,h). -10- 高考真题体验典题演练提能 -11- 高考真题体验典题演练提能 -12- 高考真题体验典题演练提能 3.(2018全国18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的 中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF. (1)证明:平
5、面PEF平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. (1)证明:由已知可得,BFPF,BFEF, 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD, 所以平面PEF平面ABFD. -13- 高考真题体验典题演练提能 -14- 高考真题体验典题演练提能 4.(2018全国20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所 成角的正弦值. -15- 高考真题体验典题演练提能 由OP2+OB2=PB2知POOB. 由OPOB,OPAC知PO平面
6、ABC. (2)解:如图,以O为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立空间直角 坐标系O-xyz. -16- 高考真题体验典题演练提能 -17- 高考真题体验典题演练提能 -18- 高考真题体验典题演练提能 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AA1=A1D,AB=BC,ABC=120. (1)证明:ADA1B; (2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面 A1B1CD所成角的正弦值. -19- 高考真题体验典题演练提能 (1) 证明:取AD中点O,连接OB,OA1,BD, AA1=A1D, ADOA1. 又ABC=120,AD=AB, ABD是等
7、边三角形, ADOB, AD平面A1OB. A1B平面A1OB, ADA1B. -20- 高考真题体验典题演练提能 (2)解:平面ADD1A1平面ABCD,平面ADD1A1平面ABCD=AD, 又A1OAD,A1O平面ABCD,OA,OA1,OB两两垂直, 以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图 空间直角坐标系O-xyz, -21- 高考真题体验典题演练提能 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为梯形, ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点. (1)证明:BE平面PAD; (2)求直线PB与平面BDE
8、所成角的正弦值. -22- 高考真题体验典题演练提能 (1) 证明:设F为PD的中点,连接EF,FA. 因为EF为PDC的中位线, 所以EFCD,且EF=CD=2. 又ABCD,AB=2,所以ABEF, 故四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF. 又AF平面PAD,BE平面PAD, 所以BE平面PAD. (2)解:设G为AB的中点,因为AD=AB,BAD=60,所以ABD为等 边三角形,故DGAB; 因为ABCD,所以DGDC. 又PD平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直. -23- 高考真题体验典题演练提能 -24- 高考真题体验典题演练提能 3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A
9、BC为正三角形,点D在棱BC上,且 CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点. (1)证明:A1C平面DEF; (2)若A1CEF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值. -25- 高考真题体验典题演练提能 (1) 证明:如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK, 因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱 AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK, 又因为CD=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF, 所以A1C平面DEF. -26- 高考真题体验典题演练提能 (2)解:由(1)知,
10、EHAA1,因为AA1平面ABC, 所以EH平面ABC, 因为ABC为正三角形,且点E为棱AB的中点,所以CEAB, -27- 高考真题体验典题演练提能 -28- 高考真题体验典题演练提能 4.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形, BAD=120,AB=2,E,F为CD,AA1的中点. (1)求证:DF平面B1AE; (2)若AA1底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值 为 ,求AA1的长. -29- 高考真题体验典题演练提能 (1) 证明:设G为AB1的中点,连接EG,GF, 所以FGDE, 所以四边形DEGF是平行四边形, 所以DFEG,又DF平面B1A
11、E,EG平面B1AE,所以DF平面 B1AE. -30- 高考真题体验典题演练提能 (2)解:因为ABCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等边三角形. 取BC中点M,则AMAD,因为AA1平面ABCD,所以 AA1AM,AA1AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令 AA1=t(t0), -31- 高考真题体验典题演练提能 5.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,ADE,BCF均 为等边三角形,EFAB,EF=AD= AB. (1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF平面BDN,试确定点N 的位置,并予以证明; (2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的
12、正弦值. -32- 高考真题体验典题演练提能 解: (1)当N为线段FC的中点时,使得AF平面BDN. 证法如下: 连接AC,BD,设ACBD=O, 四边形ABCD为矩形, O为AC的中点,又N为FC的中点, ON为ACF的中位线, AFON.AF平面BDN,ON平面BDN, AF平面BDN,故N为FC的中点时,使得AF平面BDN. -33- 高考真题体验典题演练提能 (2)过点O作PQAB分别与AD,BC交于点P,Q,因为O为AC的中点, 所以P,Q分别为AD,BC的中点, ADE与BCF均为等边三角形,且AD=BC, ADEBCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ, 四边形EPQF为等腰梯形
13、. 取EF的中点M,连接MO,则MOPQ, 又ADEP,ADPQ,EPPQ=P, AD平面EPQF, -34- 高考真题体验典题演练提能 -35- 高考真题体验典题演练提能 空间位置关系证明与二面角求解 1.(2019全国18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形, AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN平面C1DE; (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. -36- 高考真题体验典题演练提能 解: (1)连接B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D, 故MEND,
14、因此四边形MNDE为平行四边形,MNED. 又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE. -37- 高考真题体验典题演练提能 (2)由已知可得DEDA. 以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间 直角坐标系D-xyz, -38- 高考真题体验典题演练提能 -39- 高考真题体验典题演练提能 2.(2019全国17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正 方形,点E在棱AA1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值. -40- 高考真题体验典题演练提能 (1)证明:由已知得,B1C1平面ABB1A1,
15、BE平面ABB1A1,故 B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1. (2)解:由(1)知BEB1=90. 由题设知RtABERtA1B1E, 所以AEB=45, 故AE=AB,AA1=2AB. -41- 高考真题体验典题演练提能 -42- 高考真题体验典题演练提能 (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的 正弦值. (1) 证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为 BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M 为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC. -43- 高考真题体验典题演练提能 -44- 高考真题体验典题演练提能 4.(2017全国19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD 是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平
