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1、大庆铁人中学2019-2020学年高 二 学年 上 学期 期中 考试数学试题（理）本试卷满分150分，答题时长120分钟第卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.已知命题；命题若，则.则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D.2.已知向量.则“”是“与夹角为锐角”的（ ）A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.宋元时期数学著作中有关于“松竹并生”问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长. 如图是其思想的一个程序框图，输入的分别为，则输出的（
2、 ）A. B. C. D. 4.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）A. B. C. D. 5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ）（3题图）A. B. C. D.6.用秦九韶算法计算函数当时的值，则（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 7.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，则 B. 若，则C.若，则 D. 若则8.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 9已知空间四边形中，.点在上，且，点为重心，则等于（ ）A. B. C. D.10.下列选项中，说法正确的是（ ）A.命题“”的否定为“”B.命
3、题“在中，若,则”的逆否命题为真命题C.若非零向量、满足，则与共线 D.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充要条件11.已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线准线的距离为（ ）A.3 B.4 C.5 D.612.设是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 第卷二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13.将二进制数转化为八进制数为_.14下列命题中，不正确的是_.（1）已知,则是成等差数列的必要不充分条件；（2）是或的充分不必要条件；（3）若，则；（4）
4、若为真命题，则与至少有一个为真命题.15.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的取值范围为_.16已知为坐标原点，椭圆方程为.以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线与圆在轴上方的部分和椭圆在轴上方的部分分别交于、两点，则面积的最大值为_三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18已知双曲线，为上任意一点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点，求的最小值.19如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是边的中点，且.（1）求证:；（1
5、9题图）（2）求点到平面的距离.20已知椭圆，以椭圆短轴的一个顶点与两个焦点,为顶点的三角形周长是，且（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点作曲线的弦恰好被点平分，求弦所在直线方程.21如图，在四棱锥中，平面，.为的中点，点在上，且（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在上，且判断直线是否在（21题图）平面内，说明理由22.已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为4的等边三角形（1）求的方程；（2）过点作抛物线互相垂直的两条弦、，求四边形面积的取值范围.大庆铁人中学2018级高二上学期期中考试答案数学试题（理）一选择题（60分）题号123456789101112答案
6、BACCDCDAACDB二填空题（20分）13. 14. (1)(3)(4) 15. 16. 三解答题（70分）17.（10分）【详解】记，因为是的充分不必要条件所以（检验：当时，满足题意）故所求的的取值范围是.18（12分）（1）（2）【详解】（1）渐近线：，设，到两条渐近线的距离乘积（2），又当时，19. （12分）（1）连接,设,连接.因为,所以四边形是正方形，所以是的中点，又因为D是BC中点，所以.因为,所以.（2）由为正三角形，,所以, ,所以 又根据勾股定理得所以设点到平面的距离为，由,得即点到平面的距离为.20（12分）（1）；（2）【详解】（1）以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点
7、F1，F2为顶点的三角形周长是4+2，且BF1F2=2a+2c=4+2，a=2，c=椭圆方程为（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1，）引曲线C的弦AB不被点Q平分；当直线l的斜率为k时，l：y-=k（x-1）与椭圆方程联立，消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0，设过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，解得点Q在椭圆内直线l：，即l：弦所在的直线方程为21. （12分）【解析】（1）因为PA平面ABCD，所以PACD又因为ADCD，所以CD平面PAD（2）过A作AD的垂线交BC于点M因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD如图建立空间直角坐标系A
8、xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）所以所以.设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，则于是又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.由题知，二面角FAEP正弦值为.（3）直线AG在平面AEF内因为点G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直线AG在平面AEF内.22（12分）（1）x2=4y；（2）.【详解】（1）由PEF是边长为4的等边三角形，得PE=PF=EF=4，又由抛物线的定义可得PEl.设准线与y轴交于D，则PEDF，从而PEF=EFD=60在RtEDF中，DF=EFcosEFD=412=2，即p=2.所以抛物线C的方程为x2=4y.（2）依题意可知，两条直线的斜率存在且均不为0，故设方程为：y=kx+1，联立x2=4y,y=kx+1,消去y可得，x2-4kx-4=0.设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=4k,x1x2=-4.所以AB=1+k2x1-x2 =1+k2x1+x22-4x1x2=1+k216k2+16=41+k2； 同理得；四边形ADBE的面积由，当且仅当，即时等号成立，所以四边形ADBE面积的最小值为32，所以四边形ADBE面积的取值范围为.6
