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1、材料学院 机械工程控制基础 主讲教师：叶春生 csye Tel:027-87558370 华中科技大学材料学院 华中科技大学材料学院 机械工程控制基础 第一章 自动控制的一般概念 第二章 控制系统的数学模型 第三章 控制系统的时域分析法 第四章 频域分析法 第五章 控制系统的稳定性 第六章 控制系统的校正 华中科技大学材料学院 第五章 系统的稳定性 5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性 华中科技大学材料学院 5.1 系统稳定性的初步概念 稳定性是控制系统最重要的问题，是系 统正常工作的首要条
2、件。控制系统在实际运 行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动 ，例如负载或能源的波动、环境条件的改变 、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当 它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其 平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失 了，也不可能恢复原来的平衡状态。 华中科技大学材料学院 1 稳定性的初步概念 如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态， 而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态 ，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统 是不稳定的，或不具有稳定性。 小球的稳定性 华中科技大学材料学院 稳定性的初步概念工程实例 华中科技大学材料学院 稳定性的初步概念-正反馈加力 华中科技大学材料
3、学院 线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛 性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移, 是逐渐收敛的,即 系统的时域响应能最终收敛到一个 稳定状态, 则称该线性定常系统是稳定的; 反之，如 果时域响应发散, 则该线性定常系统就是不稳定的。 线性定常系统稳定的充分必要条件 华中科技大学材料学院 系统的特征方程式为 经过研究得出如下结论： 线性定常系统稳定的充分必要条件是, 特征方程 式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征 方程的根均在复平面的左半平面。 由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点, 因 此也可以说, 线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传 函的极点均在复平
4、面的左半平面。 线性定常系统传递函数的通式为 华中科技大学材料学院 若线性定常系统在复平面右半平面没有极点, 但 虚轴上存在极点, 则称系统为临界稳定。在工程上, 临界稳定属于不稳定, 因为参数的微小变化就会使极 点具有正实部, 从而导致系统不稳定。 线性定常系统的临界稳定条件 稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关 。 华中科技大学材料学院 反馈系统稳定的充要条件 对于一般的反馈系统，系统的传递函数为： 设输入信号为单位脉冲信号，则有： 华中科技大学材料学院 从上式可看出，要想系统稳定，只有当系统的 特征根s，全部具有负实部。 综上所述，不论系统特征方程的特征根为何 种形式，线性系统
5、稳定的充要条件为：所有 特征根均为负数或具有负的实数部分；即： 所有特征根均在复数平面的左半部分。 由于特征根就是系统的极点，因此，线性系 统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点 均在s平面的左半平面。 华中科技大学材料学院 线性系统稳定的充要条件 华中科技大学材料学院 线性系统稳定充要条件的例子 华中科技大学材料学院 控制系统李亚普诺夫稳定性 对于非线性、时变、多输入多输出控 制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无 能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫 （A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和 研究。 A. M. Lyapunov于1892年出版专著 运动系统稳定性的一般问题，
6、使得 Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最 重要的几个柱石之一。 华中科技大学材料学院 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 稳定的定义 则 非线性时变系统 表示求欧几里德范数 。 （即：表示空间距离 ） 华中科技大学材料学院 李亚普诺夫稳定的定义 定义 对于任意给定的实数 ，都对应存在 实数满足，使 的任意初始状态 出发的轨线 有 （对所有 t t0） 成立，则称 为Lyapunov意义下是稳定的 。 华中科技大学材料学院 渐近稳定 如果系统的平衡状态 是稳定的。 从平衡状态的某个充分小的领域内出发 的状态轨线 ，当 时，收敛于 ，则称 为渐近稳定。 Lyapunov意 义下稳定 渐进稳定
7、渐进稳定 华中科技大学材料学院 5.2 Routh稳定判据 稳定判据 Routh稳定判据: 系统的特征方程为 必要条件： （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同的 符号。 充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。 华中科技大学材料学院 劳 斯 阵 列 华中科技大学材料学院 符号改变一次 符号改变一次 华中科技大学材料学院 Routh 判据的特殊情况-方法一 改变一次 改变一次 1 某行第一个元素为零，其余均不为零。 方法一: 华中科技大学材料学院 Routh 判据的特殊情况-方法二 改变一次 改变一次 华中科技大学材料学
8、院 劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 华中科技大学材料学院 劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 改变一次 华中科技大学材料学院 华中科技大学材料学院 在这两种情况下, 两个大小相等符号相反的实根 表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根, 此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。 下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到 第一种情况, 可用一个任意小的正数代替为零的元 素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。 华中科技大学材料学院 例 考虑图所示的系统, 确定使系统稳定的K的取 值范围。 控制系统框图
9、解 由图可知, 系统的闭环传递函数为 华中科技大学材料学院 所以系统的特征方程为 列劳斯表如下： 华中科技大学材料学院 根据劳斯判据, 系统稳定必须满足 华中科技大学材料学院 因此, 使闭环系统稳定的K值范围为 当K=14/9时, 系统处于临界稳定状态。 需要指出, 在运用劳斯稳定判据分析系统稳 定性时, 有时会遇到下列两种特殊情况： (1) 在劳斯表的某一行中, 第一列元素为零 , 而其余各列元素均不为零, 或部分不为零; (2) 劳斯表的某一行元素全部为零。 华中科技大学材料学院 Routh 判据的应用 Y(S) X(S) - 华中科技大学材料学院 华中科技大学材料学院 华中科技大学材料学
10、院 5.3 Nyquist稳定判据 幅角定理幅角定理 在s平面上任选一封闭曲线 ，并使 上每 个点不包含 的零点与极点，则 映射到 平面上也是一条封闭曲线。当s顺时针沿 变化一周时， 向量端点轨迹按顺时针 围绕原点总圈数 等于封闭曲线 内包围的 零点数目与极点数目之差，其中， 与 是 指 在 内的零点数与极点数。 华中科技大学材料学院 幅角定理 s F(s) 华中科技大学材料学院 乃氏判剧-形式 闭环系统稳定的充要条件是，当闭环系统稳定的充要条件是，当 由由 变变 到时，系统的开环频率特性到时，系统的开环频率特性 按逆按逆 时针方向包围（时针方向包围（-1-1， j j 0 0）点点 P P
11、周，周， P P 为位于为位于 s s 平面平面 右半部的开环极点数目。否则，系统不稳定。右半部的开环极点数目。否则，系统不稳定。 1 形式 华中科技大学材料学院 形式 华中科技大学材料学院 形式 华中科技大学材料学院 F(s) GH(s) 华中科技大学材料学院 s GH(s) 华中科技大学材料学院 乃氏图负穿越 在乃氏图上，开环频率特性，从上半部在乃氏图上，开环频率特性，从上半部 分穿过负实轴的分穿过负实轴的 段到实轴的下半部段到实轴的下半部 分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿 过负实轴的过负实轴的 段到实轴的上半部分段到实轴的上半部分 ，称为负穿越
12、；起始于（或终止于），称为负穿越；起始于（或终止于） 段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越； 华中科技大学材料学院 乃氏图负穿越实例1 华中科技大学材料学院 乃氏图负穿越实例2 华中科技大学材料学院 综上所述，乃氏判据判稳时可能发生的综上所述，乃氏判据判稳时可能发生的 情况为：情况为： （）不包围（）不包围（-1-1， j j 0 0）点，若点，若 则系则系 统稳定。否则，闭环系统不稳定；统稳定。否则，闭环系统不稳定； （）逆时针包围（）逆时针包围（-1-1， j j 0 0）点次，若点次，若 则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；则系统稳定。否则，闭环系统不
13、稳定； （）顺时针包围（）顺时针包围（-1-1， j j 0 0）点，闭环系统点，闭环系统 不稳定。不稳定。 乃氏图负穿越实例2 华中科技大学材料学院 乃氏判剧-形式 闭环系统稳定的充要条件是，当角频率 由0变化到时，开环频率特性 正、负穿越 平面负实轴上（-1，- ） 段的次数差为 ，这里 是开环传递函 数极点中处于s平面右半部的数目。否则， 闭环系统不稳定。 华中科技大学材料学院 乃氏判剧-形式例子：如图所示的乃氏曲线中 ，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。 华中科技大学材料学院 解：解： 所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定 华中科技大学材料学院 系统稳定系统不稳定系统稳定 华中科技
14、大学材料学院 设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。 的轨轨迹如图图所示。 在右半s平面内没有任何极点，并且 的轨轨迹不包围围 的值，该该系统统都是稳稳定 的。 ，所以对于任何 华中科技大学材料学院 设设系统统具有下列开环传递环传递 函数: 试试确定以下两种情况下，系统统的稳稳定性： 增益K较较小增益K较较大。 小K值时是稳定的大K值时是不稳定的 平面GH Re Im -=w =w + =0 w - =0 w 1- 0 0 0 = = = Z R P 平面GH Re Im -=w =w + =0 w - =0 w 1- 2 2 0 = = = Z R P 华中科技大学材料学院 设设一个闭环
15、闭环 系统统具有下列 试试确定该闭环该闭环 系统统的稳稳定性。 开环传递函数： 表明闭环闭环 系统统有两个极点在右半s平面，故 系统统是不稳稳定的。 开环传递环传递 函数在s右半平面 内有一个极点( )， 奈奎斯特曲线线如图图示，轨轨迹顺时针顺时针 方向包围围 点一次, 因此 华中科技大学材料学院 问题讨论 1 在引入Nyquist判剧时，为什么只就开环极点 在虚轴上的分布情况进行讨论而没有就开环零点的 情况进行讨论？ 2 原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线， 虚线在实际中是否存在？补作虚线与开环传函中的那 一个环节有关系，在给出的Nyquist判剧形式与形 式中的具体关系是什么？ 3 根据Nyquist判剧给出如下情况的分析： 对
