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1、4.2 空间图形的公理(公理4、定理) 问题问题 引航 1.公理4的内容是什么?其实质实质 是什么? 2.定理的内容是什么?有什么作用? 3.异面直线线所成的角的定义义是什么?求角的方法是 什么? 1.公理4 (1)内容:平行于_的两条直线平行. (2)符号表述: _. 同一条直线 ac 2.两条直线的位置关系 (2)异面直线:特征:_的两条直线,没有公共点. 没有公共点 mn 在同一平面内有且只有一个 mn=A 不共面 3.定理 条件:空间中,两个角的两条边分别对应_. 结论:这两个角_. 平行 相等或互补 4.异面直线所成的角 定义义 前提两条异面直线线a,b 作法 过过空间间任意一点P分
2、别别引两条异面直线线a,b 的平行线线l1,l2 结论结论 这这两条相交直线线所成的_即为为 异面直线线a,b所成的角 范围围记记异面直线线a与b所成的角为为,则则_ 特殊 情况 当=_时时,a与b互相垂直,记记作_ 锐锐角(或直角) 090 90ab 1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)空间中不相交的两条直线是异面直线.( ) (2)两条异面直线所成的角一定是锐角.( ) (3)若两条相交直线和另外两条直线分别平行,则相交直线所 成的锐角或直角相等.( ) 【解析】(1)错误.空间中不相交的两条直线是异面直线或平行 直线. (2)错误.两条异面直线所成的角一定是锐角或直角. (3
3、)正确.根据定理可知. 答案:(1) (2) (3) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若ab,bc,则a和c的关系为_. (2)若a,b,c是空间三条直线,ab,a与c相交,则b与c的位 置关系是_. (3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一 条_. 【解析】(1)若ab,bc,则由公理4可知ac. 答案:ac (2)ab,又a与c相交,则b与c的关系可能为相交或异面. 答案:相交或异面 (3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一 条相交或异面. 答案:相交或异面 【要点探究】 知识识点1 公理4及定理 对对定理的四点认识认识 (1)如果一个角的两边
4、边与另一个角的两边边分别别平行,并且其中 一组组方向相同,另一组组方向相反,那么这这两个角互补补. (2)如果一个角的两边边与另一个角的两边边分别别平行,并且方向 都相反,那么这这两个角相等. (3)定理的逆向说法:“如果空间中的两个角相等或互补,那 么这两个角的两边分别对应平行”,显然是不成立的,这两个 角的两边可能平行,相交或异面. (4)此定理一般称为等角定理. 【微思考】 (1)定理的作用是什么? 提示:此定理的主要作用是说明两个角相等或互补. (2)公理4的实质实质 是什么? 提示:公理4揭示了空间平行线的传递性. 【即时练】 若两个三角形不在同一平面内,它们们的边边两两对应对应 平
5、行,那 么这这两个三角形( ) A.全等 B.相似 C.仅仅有一个角相等 D.全等或相似 【解析】选D.由定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等 ,所以选D. 知识识点2 异面直线线的定义义及所成的角 1.对对异面直线线所成角的两点说说明 (1)两条异面直线线所成的角,是借用平面几何中的角的概念定 义义的,是研究空间间两条直线线位置关系的基础础. (2)定理为为两条异面直线线所成的角的定义义提供了可能性与唯一 性,即过过空间间任一点,引两条直线线分别别平行于两条异面直线线 ,它们们所成的锐锐角(或直角)都是相等的,而与所取点的位置无 关. 2.求两异面直线所成的角需注意的问题 (1)a与b所
6、成角的大小与点P无关,为了简便,点P常取在两条 异面直线中的一条上,例如,取在直线b上,然后过点P作直线 aa,a与b所成的角即为异面直线a与b所成的角.特别地 ,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直 线的线段的端点或中点. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角 ,实现了空间问题向平面问题的转化,使平面几何与立体几何 建立了联系,促进了知识的渗透. (3)两条直线的垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直. 【知识拓展】对异面直线的三点说明 (1)若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使 其同时经过a,b两条直线. (2)异面直线和平行直线都没有公共
7、点;区别是平行直线可以 确定一个平面,而异面直线不同在任何一个平面内. (3)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为 异面直线.如图,虽然有a ,b ,即a,b分别在两个 不同的平面内,但是由于ab=O,所以a与b不是异面直线. (4)异面直线的画法 一个平面衬托画法(如图1) 图1 两个平面衬托画法(如图2) 图2 【微思考】 求两条异面直线线所成角的关键键是什么? 提示:求两条异面直线所成角的关键是找到两异面直线所成的 角. 【即时练】 1.(2014杭州高二检测检测 )如图图的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面 直线线AA1与BC所成的角是( ) A.30 B.45 C
8、.60 D.90 2.正方体ABCDABCD中,E,F分别为平面 ABCD与AADD的中心,则EF与CD所成角的度数是 _. 【解析】1.选D.由于ADBC,所以AA1与AD所成的角即为异面直 线AA1与BC所成的角,由于AA1与AD所成的角为90,故异面直 线AA1与BC所成的角为90. 2.连接BD, 则E为BD的中点,连接AB, 则EFAB,又CDAB, 所以BAB为异面直线EF与CD所成的角,BAB=45. 答案:45 【题题型示范】 类类型一 公理4的应应用 【典例1】 (1)(2014佛山高二检测检测 )如图图,空间间四边边形ABCD的对对角线线AC ,BD相等,顺顺次连连接各边边
9、中点E,F,G,H,则则四边边形EFGH一 定是( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.空间间四边边形 (2)如图图,E,F分别别是长长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,C1C的中点 ,求证证:四边边形B1EDF是平行四边边形. 【解题探究】1.题(1)中E,F,G,H为中点,其作用是什么? 对角线AC,BD相等的作用是什么? 2.题(2)中四边形B1EDF的四个顶点有何特点,怎样说明B1EDF为 平行四边形? 【探究提示】1.利用E,F,G,H分别为各边的中点,可得该四 边形为平行四边形,结合AC,BD相等可进一步判断EFGH的形状 . 2.四个顶点中有两个为长方体的顶点,有两个
10、为棱的中点,可 借助中点作一辅助线,说明一组对边平行且相等. 【自主解答】(1)选C.由E,F,G,H分别为各边的中点得 EFAC,GHAC,EHBD,FGBD. EF=GH= AC, EH=FG= BD. 所以四边形EFGH是平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH是菱形. (2)取DD1的中点Q,连接EQ,QC1. 因为E是AA1的中点,所以EQ A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1, 所以EQ B1C1, 所以四边形EQC1B1为平行四边形, 所以B1E C1Q. 又因为Q,F是矩形DD1C1C的两边中点, 所以QD C1F, 所以四边形D
11、QC1F为平行四边形, 所以C1Q DF,又因为B1E C1Q,所以B1E DF, 所以四边形B1EDF是平行四边形. 【延伸探究】将本例(1)中“AC与BD相等”改为为AC与BD垂直, 则则EFGH的形状为为_. 【解析】由E,F,G,H分别为各边的中点, 得EF AC,GH AC, 所以EF GH,即四边形EFGH是平行四边形, 又ACBD,所以FGHG,即EFGH为矩形. 答案:矩形 【方法技巧】公理4的作用及应用的关键 (1)作用:公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法,它 是论证平行问题的主要依据,也是研究空间两直线的位置关系 、直线与平面位置关系的基础. (2)应用的关键:寻找
12、与所证直线平行的“中间直线”,利用 平行的传递性即可证得. 【变式训练】如图所示,在空间四边形ABCD中,M,N,P,Q分 别是四边形边上的点,且满足 求证:M,N,P,Q四点共面且MNPQ为平行四边形. 【解题指南】应用公理4证明. 【证明】因为 所以MQBD且 所以 即 又 所以PNBD且 所以 即 所以MQNP且MQ=NP. 所以M,N,P,Q四点共面且MNPQ为平行四边形. 【补偿训练补偿训练 】已知棱长为长为 a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分 别别是棱CD,AD的中点.求证证:四边边形MNA1C1是梯形. 【证明】连接AC,在ACD中, 因为M,N分别是CD,AD的中
13、点, 所以MN是三角形的中位线,所以MNAC,MN= AC. 由正方体的性质得:ACA1C1,AC=A1C1. 所以MNA1C1,且MN= A1C1, 即MNA1C1,所以四边形MNA1C1是梯形. 类类型二 等角定理的应应用 【典例2】 (1)(2014南通高二检测检测 )已知ABPQ,BCQR,ABC= 30,则则PQR等于_. (2)如图图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为别为 棱AD, AB,B1C1,C1D1的中点. 求证证:EA1F=E1CF1. 【解题探究】1.题(1)中的两组平行关系的实质是什么? ABC=30的作用是什么? 2.题(2)中A1F与F
14、1C及EF与E1F1有何关系,证明EA1F=E1CF1的 方法是什么? 【探究提示】1.两组平行关系的实质是两个角的两边分别平行 ,由ABC=30结合等角定理可求PQR. 2.A1F与F1C及EF与E1F1分别平行.证明EA1F=E1CF1可考虑利用 等角定理证明. 【自主解答】(1)由题意知ABPQ,BCQR,ABC=30.根据 定理知,如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或 互补,所以PQR=30或150. 答案:30或150 (2)如图所示,在正方体AC1中, 取A1B1的中点M,连接BM,MF1, 则BF=A1M= AB.又BFA1M, 所以四边形A1FBM为平行四边形. 所以
15、A1FBM. 而F1,M分别为C1D1,A1B1的中点, 则F1M C1B1, 而C1B1 BC,所以F1MBC,且F1M=BC. 所以四边形F1MBC为平行四边形, 所以BMF1C.又BMA1F, 所以A1FCF1. 同理取A1D1的中点N, 连接DN,E1N,则A1N DE, 所以四边形A1NDE为平行四边形, 所以A1EDN. 又E1NCD,且E1N=CD, 所以四边形E1NDC为平行四边形, 所以DNCE1, 所以A1ECE1. 所以EA1F与E1CF1的两边分别对应平行. 即A1ECE1,A1FCF1, 又EA1F与E1CF1对应边方向相同, 所以EA1F=E1CF1. 【方法技巧】证明角相等的技巧 (1)利用题设中的条件,将要证明的两个角放在两个三角形中 ,利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等. (2)在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似 来证明角相等,可考虑两个角的两边,可利用定理证明这两个 角的两边分别对应平行且角的方向相同或