空间图形的公理4.

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1、4.2 空间图形的公理(公理4、定理) 问题问题 引航 1.公理4的内容是什么？其实质实质 是什么？ 2.定理的内容是什么？有什么作用？ 3.异面直线线所成的角的定义义是什么？求角的方法是 什么？ 1.公理4 (1)内容：平行于_的两条直线平行. (2)符号表述： _. 同一条直线 ac 2.两条直线的位置关系 （2）异面直线：特征：_的两条直线，没有公共点. 没有公共点 mn 在同一平面内有且只有一个 mn=A 不共面 3.定理 条件：空间中，两个角的两条边分别对应_. 结论：这两个角_. 平行 相等或互补 4.异面直线所成的角 定义义 前提两条异面直线线a，b 作法 过过空间间任意一点P分

2、别别引两条异面直线线a，b 的平行线线l1，l2 结论结论 这这两条相交直线线所成的_即为为 异面直线线a，b所成的角 范围围记记异面直线线a与b所成的角为为，则则_ 特殊 情况 当=_时时，a与b互相垂直，记记作_ 锐锐角(或直角) 090 90ab 1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)空间中不相交的两条直线是异面直线.( ) (2)两条异面直线所成的角一定是锐角.( ) (3)若两条相交直线和另外两条直线分别平行，则相交直线所 成的锐角或直角相等.( ) 【解析】(1)错误.空间中不相交的两条直线是异面直线或平行 直线. (2)错误.两条异面直线所成的角一定是锐角或直角. (3

3、)正确.根据定理可知. 答案：(1) (2) (3) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若ab，bc，则a和c的关系为_. (2)若a，b，c是空间三条直线，ab，a与c相交，则b与c的位 置关系是_. (3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一 条_. 【解析】(1)若ab，bc，则由公理4可知ac. 答案：ac (2)ab，又a与c相交，则b与c的关系可能为相交或异面. 答案：相交或异面 (3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一 条相交或异面. 答案：相交或异面 【要点探究】 知识识点1 公理4及定理 对对定理的四点认识认识 (1)如果一个角的两边

4、边与另一个角的两边边分别别平行，并且其中 一组组方向相同，另一组组方向相反，那么这这两个角互补补. (2)如果一个角的两边边与另一个角的两边边分别别平行，并且方向 都相反，那么这这两个角相等. (3)定理的逆向说法：“如果空间中的两个角相等或互补，那 么这两个角的两边分别对应平行”，显然是不成立的，这两个 角的两边可能平行，相交或异面. (4)此定理一般称为等角定理. 【微思考】 (1)定理的作用是什么？ 提示：此定理的主要作用是说明两个角相等或互补. (2)公理4的实质实质 是什么？ 提示：公理4揭示了空间平行线的传递性. 【即时练】 若两个三角形不在同一平面内，它们们的边边两两对应对应 平

5、行，那 么这这两个三角形( ) A.全等 B.相似 C.仅仅有一个角相等 D.全等或相似 【解析】选D.由定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等 ，所以选D. 知识识点2 异面直线线的定义义及所成的角 1.对对异面直线线所成角的两点说说明 (1)两条异面直线线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定 义义的，是研究空间间两条直线线位置关系的基础础. (2)定理为为两条异面直线线所成的角的定义义提供了可能性与唯一 性，即过过空间间任一点，引两条直线线分别别平行于两条异面直线线 ，它们们所成的锐锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无 关. 2.求两异面直线所成的角需注意的问题 (1)a与b所

6、成角的大小与点P无关，为了简便，点P常取在两条 异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后过点P作直线 aa，a与b所成的角即为异面直线a与b所成的角.特别地 ，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直 线的线段的端点或中点. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角 ，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何 建立了联系，促进了知识的渗透. (3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 【知识拓展】对异面直线的三点说明 (1)若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使 其同时经过a，b两条直线. (2)异面直线和平行直线都没有公共

7、点；区别是平行直线可以 确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平面内. (3)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为 异面直线.如图，虽然有a ，b ，即a，b分别在两个 不同的平面内，但是由于ab=O，所以a与b不是异面直线. (4)异面直线的画法 一个平面衬托画法(如图1) 图1 两个平面衬托画法(如图2) 图2 【微思考】 求两条异面直线线所成角的关键键是什么？ 提示：求两条异面直线所成角的关键是找到两异面直线所成的 角. 【即时练】 1.(2014杭州高二检测检测 )如图图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面 直线线AA1与BC所成的角是( ) A.30 B.45 C

8、.60 D.90 2.正方体ABCDABCD中，E，F分别为平面 ABCD与AADD的中心，则EF与CD所成角的度数是 _. 【解析】1.选D.由于ADBC，所以AA1与AD所成的角即为异面直 线AA1与BC所成的角，由于AA1与AD所成的角为90，故异面直 线AA1与BC所成的角为90. 2.连接BD， 则E为BD的中点，连接AB， 则EFAB，又CDAB， 所以BAB为异面直线EF与CD所成的角，BAB=45. 答案：45 【题题型示范】 类类型一 公理4的应应用 【典例1】 (1)(2014佛山高二检测检测 )如图图，空间间四边边形ABCD的对对角线线AC ，BD相等，顺顺次连连接各边边

9、中点E，F，G，H，则则四边边形EFGH一 定是( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.空间间四边边形 (2)如图图，E，F分别别是长长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，C1C的中点 ，求证证：四边边形B1EDF是平行四边边形. 【解题探究】1.题(1)中E，F，G，H为中点，其作用是什么？ 对角线AC，BD相等的作用是什么？ 2.题(2)中四边形B1EDF的四个顶点有何特点，怎样说明B1EDF为 平行四边形？ 【探究提示】1.利用E，F，G，H分别为各边的中点，可得该四 边形为平行四边形，结合AC，BD相等可进一步判断EFGH的形状 . 2.四个顶点中有两个为长方体的顶点，有两个

10、为棱的中点，可 借助中点作一辅助线，说明一组对边平行且相等. 【自主解答】(1)选C.由E，F，G，H分别为各边的中点得 EFAC，GHAC，EHBD，FGBD. EF=GH= AC， EH=FG= BD. 所以四边形EFGH是平行四边形. 因为AC=BD，所以EF=EH. 所以四边形EFGH是菱形. (2)取DD1的中点Q，连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点，所以EQ A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1 B1C1， 所以EQ B1C1， 所以四边形EQC1B1为平行四边形， 所以B1E C1Q. 又因为Q，F是矩形DD1C1C的两边中点， 所以QD C1F， 所以四边形D

11、QC1F为平行四边形， 所以C1Q DF，又因为B1E C1Q，所以B1E DF， 所以四边形B1EDF是平行四边形. 【延伸探究】将本例(1)中“AC与BD相等”改为为AC与BD垂直， 则则EFGH的形状为为_. 【解析】由E，F，G，H分别为各边的中点， 得EF AC，GH AC， 所以EF GH，即四边形EFGH是平行四边形， 又ACBD，所以FGHG，即EFGH为矩形. 答案：矩形 【方法技巧】公理4的作用及应用的关键 (1)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法，它 是论证平行问题的主要依据，也是研究空间两直线的位置关系 、直线与平面位置关系的基础. (2)应用的关键：寻找

12、与所证直线平行的“中间直线”，利用 平行的传递性即可证得. 【变式训练】如图所示，在空间四边形ABCD中，M，N，P，Q分 别是四边形边上的点，且满足 求证：M，N，P，Q四点共面且MNPQ为平行四边形. 【解题指南】应用公理4证明. 【证明】因为 所以MQBD且 所以 即 又 所以PNBD且 所以 即 所以MQNP且MQ=NP. 所以M，N，P，Q四点共面且MNPQ为平行四边形. 【补偿训练补偿训练 】已知棱长为长为 a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分 别别是棱CD，AD的中点.求证证：四边边形MNA1C1是梯形. 【证明】连接AC，在ACD中， 因为M，N分别是CD，AD的中

13、点， 所以MN是三角形的中位线，所以MNAC，MN= AC. 由正方体的性质得：ACA1C1，AC=A1C1. 所以MNA1C1，且MN= A1C1， 即MNA1C1，所以四边形MNA1C1是梯形. 类类型二 等角定理的应应用 【典例2】 (1)(2014南通高二检测检测 )已知ABPQ，BCQR，ABC= 30，则则PQR等于_. (2)如图图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为别为 棱AD， AB，B1C1，C1D1的中点. 求证证：EA1F=E1CF1. 【解题探究】1.题(1)中的两组平行关系的实质是什么？ ABC=30的作用是什么？ 2.题(2)中A1F与F

14、1C及EF与E1F1有何关系，证明EA1F=E1CF1的 方法是什么？ 【探究提示】1.两组平行关系的实质是两个角的两边分别平行 ，由ABC=30结合等角定理可求PQR. 2.A1F与F1C及EF与E1F1分别平行.证明EA1F=E1CF1可考虑利用 等角定理证明. 【自主解答】(1)由题意知ABPQ，BCQR，ABC=30.根据 定理知，如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或 互补，所以PQR=30或150. 答案：30或150 (2)如图所示，在正方体AC1中， 取A1B1的中点M，连接BM，MF1， 则BF=A1M= AB.又BFA1M， 所以四边形A1FBM为平行四边形. 所以

15、A1FBM. 而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点， 则F1M C1B1， 而C1B1 BC，所以F1MBC，且F1M=BC. 所以四边形F1MBC为平行四边形， 所以BMF1C.又BMA1F， 所以A1FCF1. 同理取A1D1的中点N， 连接DN，E1N，则A1N DE， 所以四边形A1NDE为平行四边形， 所以A1EDN. 又E1NCD，且E1N=CD， 所以四边形E1NDC为平行四边形， 所以DNCE1， 所以A1ECE1. 所以EA1F与E1CF1的两边分别对应平行. 即A1ECE1，A1FCF1， 又EA1F与E1CF1对应边方向相同， 所以EA1F=E1CF1. 【方法技巧】证明角相等的技巧 (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中 ，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等. (2)在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似 来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个 角的两边分别对应平行且角的方向相同或