材料力学--第5章.

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1、第五章 轴向拉压 内容提要 l轴向拉压杆的内力 l轴向拉压杆的应力 l圣维南原理 应力集中 l轴向拉压杆的变形 变形能 l轴向拉压超静定问题 稳定应力 装配应力 l构件受惯性力作用时的应力计算 5.1 轴向拉压杆的内力 l定义：受到外力或其合力作用线与杆轴线重合，沿轴线方向将发生 伸长或缩短变形，这种变形称为轴线拉伸或压缩，也叫轴向拉压。 l受力特点: 在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力一个分量。若为直 杆,外力的合力必须沿杆轴线作用； l如果两个力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这 样的力称为轴向拉力; 如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生 纵向缩短，称为轴向压力； l变形特点

2、：轴向伸长(拉)或缩短(压),并伴随横向收缩或膨胀。即纵 伸横缩，纵缩横伸。 l主要变形是纵向伸长或缩短 ； 5.2 轴向拉压杆的应力 l平面假设：受轴向力作用的杆件，其横截面变形前是平面，假设变形后仍为 平面 ，只是两截面的距离发生了改变，称为。 特点：杆变形后两横截面沿杆轴线作相对平移，纵向线段的伸长都相同， 即拉杆在其任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。 由于假设材料是均匀的，杆分布内力集度又与杆的变形程度有关，所以拉 杆在横截面上的分布内力也是均匀分布。于是，横截面上各点处的正应力都 相等。 l应力公式: 式中，F为轴力，为杆的横截面面积。 例子5-1 5-2 p71页 l1、受力分

3、析 l2、列平衡方程分段求轴力 l3、用正应力在截面分布公式求拉压应力 l圣维南原理：外力作用会对杆端附近各截面的应力分布产生影响，对远离杆 端的各个截面影响甚小或者没有影响，这一规律称为； l应力分布不均匀： l应力集中：在外力作用下，弹性体形状或截面尺寸发生突变的局部区域应力 急剧增大，这种现象称为； l理论应力集中因数k： 其中：分子表示截面最大应力 分母表示同一截面上的平均应力； 5.3 圣维南原理 应力集中 l轴向变形 l原长为l，伸长后为l1；则伸长量为l= l- l1 ； l由公式： l求积分： 轴向拉压杆的轴向变形公式 l由于A和FN均相等，则： EA为杆的抗拉刚度 5.4 轴

4、向拉压杆的变形 变形能 l横向变形： 各向同性材料： 式中负号表示：当沿轴向（x轴）伸长变形时，沿横向（y、z 轴）缩短变形，反之，沿横向伸长变形。 l变形能： 例题：5-3 p76 l例：一实心圆截面锥形杆，左右两端的直径分布为d1和d2， 如不计杆件的自重，试求轴向拉力F作用下杆件的变形。 解：设距左端x的横截面的直径设为D（x），由三角形相似得： 5.5 轴向拉压超静定问题 温度应力 装配应力 . 温度应力装配应力 .综合问题 .超静定问题及其解法 l静定问题（SDP） : 结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学 平衡条件就能 唯一确定的问题。相应的结构叫静定结构（SDS）; l超静

5、定问题（SIP） :结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力 学平衡条件不能唯一确定的问题，或称静不定问题。相应的结构叫 超静定结构（SIS）; l实例:如图： .超静定问题及其解法 l由上可见,超静定问题的未知力个数超过了独立的平衡方程的个 数。其差值叫超静定次数（静不定次数)。解SIP需补充方程才 能唯一确定未知力。 l这些补充方程一般是根据变形后,约束条件不被破坏来建立的。 由于约束条件的限制,各杆件之间的变形必存在一些联系变 形协调条件构件体系的变形协调原则:杆件不破坏,彼此不 相分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影响结构形 状的相对位移。由此可建立相应的变形几何方程 l在线

6、弹性范围内，由胡克定律将变形与杆件的内力联系，得到 变形几何方程补充方程,然后与静力学平衡方程一起求解， 即可求出结构的所有未知力。 l思路： 力学方面+变形方面+物理方面 l力学方面即建立静力学平衡方程；变形方面即建立变形协调方程； 物理方面即变形与力之间的关系式。 l理论和实践证明:无论超静定次数为多少，总能找到相应数量的补充 方程来求解 。 l例子：p78 5-4；5-5 例 图(a)所示为两端固定的 钢杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m, A=20cm2,P=300kN,E=200GPa， 试求钢杆各段应力和变形。 解：1、列静力平衡方程 以整根杆为研究对象,画 出受力图如图(b)

7、,静力平衡方 程为：RA+RB=P (a) 2、建立补充方程 (杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长 l1,而CB段缩短 l2,杆两 端固定总长不变,即 l0 。因此,有:l1| l2| 这就是本例的几何方程。 变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为: N1=RA, N2=RB(压) 。 l温度要引起物体的膨胀或收缩； l静定结构，杆件可以自由变形，当温度均匀变化时，构件不会引 起应力；但对超静定结构，构件变形受部分或全部约束，温度变 化时要引起应力； l温度应力：由温度变化所引起的应力，称为； . 温度应力 装配应力 .（1） .（2） l例：刚性梁固定在3根钢和铝圆杆的顶端如

8、图所示，初始杆高250mm，初始温度 为t1=20 ，且各杆中无初应力，然后在梁上作用150kN/m的均布载荷且温度 升高到t2=80 ，求各杆横截面上的应力。已知钢和铝的弹性模量及线膨胀 系数分别为E1=200Gpa，a1=12*10-6/； E2=70Gpa，a2=23*10-6 /. 解： .（1） .（2） .（3） .（4） 将（4）代入（3），再利用（2）得到： .（5） l由（1）和（5）解得： l两根杆上的应力为： l装配应力：对超静定结构，加工误差在构件内引起应力，这种 由装配而引起的应力称为；该应力是构件在载荷作用前具 有的，称为初应力； l静定问题:因杆件尺寸误差,会使结

9、构空间形状与原设计相比发 生偏差，但不会引起应力； l超静定问题:因杆件尺寸误差,不仅会使空间结构、形状与原设 计相比发生偏差，而且会在构件内引起应力； l静定结构的杆件尺寸误差各杆的刚体位移； l超静定结构的杆件尺寸误差各杆的刚体位移+变形位移； .（1） .（2） P81 5-16图 得到初应力很大，所以：保证足够加工精度来降低有害的装配应力。 l动应力：在动载荷作用下，构件内的应力称为 l(1) 构件作匀加速直线运动时的应力： 例：P83 5-6 l(2) 构件作匀速转动时的动应力： 例：P85 5-7 5.6 构件受惯性力作用时的应力计算 qd表示线分布集度 小 结 l轴向受力特点:荷载与支反力的合力沿杆轴作用,横截面上内力仅为轴力N。 l应力分布:应力在横截面上均匀分布(仅在外力作用点附近或杆的截面突变 处附近,应力才成非均匀分布)。 l拉(压)胡克定律:这个定律建立了杆件受力在线弹性范围内,内力(或应力) 与变形(或应变)的关系： l位移和变形：也作解超静定问题时补充方程： l超静定问题:超静定问题和静定问题的区别在于前者具有多余约束。超静定 问题求解的关键是建立补充方程。补充方程应综合几何条件和物理条件得 到。 作业：p86 l5-3 l5-6 l5-8 l5-10 l5-15 l5-20 l5-25