流体静力学(新版).

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1、 流体力学 和蕊 n流体静力学 n研究平衡流体的力学规律及其应用 n流体平衡包括： 1）流体对地球无相对运动；（重力场中的流体平衡） 2）流体对运动容器无相对运动；（流体的相对平衡） 平衡流体互相之间没有相对运动，因而流体粘性在平衡状 态下不显示，流体静力学中的原理都适用于实际流体。 2-1 平衡流体上的作用力 分析流体上的力时，通常分析流体中隔离 体上的力，即封闭表面所包围的一部分流体。 由作用方式不同分为表面力和质量力。 一、 质量力 作用在微团质量中心上的力。质量力主要有 重力，直线运动惯性力，离心惯性力等等。这些力 的矢量和 注： 单位质 量力具有和加 速度相同的量 纲L/T2 重力

2、直线运动 惯性力 离心惯性力 二、 表面力 按其作用方向分： 1、沿表面内法线方向的压力 2、沿表面切向的摩擦力 平衡流体没有相对运动，按照牛 顿内摩擦定律，在平衡流体内部 不存在切向的摩擦力。则平衡流 体上的表面力只有沿受压表面内 法线方向的流体静压力。 点压强和切应力即为dA 趋于0时的极限 面积面积AA上的平均流体静压强上的平均流体静压强P P： A 点 上 的 流 体 静 压 强 P： 流体静压强的定义 流体静压力：流体静压力：作用在某一面积上的总压力；作用在某一面积上的总压力； 流体静压强：流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或作用在某一面积上的平均压强或 某一点的压强。某一点的压

3、强。 流体静压力与流体静压强的区别： 1、静压强的方向 沿作用面的内法线方向（垂向性） 流体静压强的方向 流体静压强的特性 l假定图中某点的静压强不是垂直于作用面，则静压强 p 必然可分解为两个分量，个与作用面相切，为切向分 量，也就是切应力；另一个与作用面相垂直，为法向分 量。从牛顿内摩擦定律中可以看出，静止流体内部是不 会出现切应力的，若 ，则流体的平衡会遭到破 坏。因而在静止的流体中切向分量是不存在的，即 。因此，流体静压强只可能垂直于作用面。 l 又因为流体处于静止时不能承受拉应力，拉应力的存 在也会破坏流体的平衡，所以流体静压强的方向必然是 沿着作用面的内法线方向。 由于流体内部的表

4、面力只存在着压力 ，因此流体静力学的根本问题是研究 流体静压强的问题。 2、在静止流体内部，任一点的流体静压强的大小与作用面 的方向无关，只与该点的位置有关。（各向等值性） 流体微小四面体平衡 在静止的或相对静止的流体 中，取出一个包括O点在内 的微小四面体OABC，如图 所示，并将O点设置为坐标 原点。取正交的三个边长分 别为dx、dy、dz，它们分别 与坐标轴x、y、z重合。与坐 标面x、y、z及倾斜面ABC 垂直的面上平均压强分别为 px、py、pz及pn。 从任何方向作用于一点上的流体静压强 均是相等的。 作用在各面上的流体静压力等于各面的平均静 压强与该作用面面积的乘积，即 l作用在

5、微小四面体上的质量力在各轴向的分力等于单位质量 力在各轴向的分力与流体质量的乘积。流体的质量等于流体 密度与微小四面体体积的乘积。设单位质量力在x、y、z轴 的分力分别是，则质量力在各轴向的分力为： l微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于 平衡状态，则外力的轴向平衡关系式为： 微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态 ，外力的轴向平衡关系式为： ，即各向分力投影之 和为零： x方向受力分析: 上式第（1）项展开写成： 当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0 ，所以有：px=pn 。 类似地有：px=py=pz=pn 说明：说明： 1. 静止流体中不同点的压强一般是不等的，一 点

6、的各向静压强大小相等。 2.运动流体是理想流体时，由于=0，不会产 生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分 布特性。 2-2 流体平衡的微分方程式 2.2.1.流体平衡微分方程式 2.2.2.有势力场中的静压强 2.2.3.等压面、帕斯卡原理 1、流体平衡微分方程式欧拉平衡方程式 在流体内部取以任意点A为中心的微小正六面体，六面体 的各边分别与直角坐标轴平行，边长分别为dx、dy、dz。 中心点的压强为 p(x,y,z)=p，对其进行受力分析： 1.方程推导 静止流体只受到质量力和由压力产生的法向表面力，这 些力应该满足的关系流体平衡的微分方程式。 l作用在六面体上的表面力只有周围流体对它的

7、压力。因此先 确定六面体各面上的压强。设点A的坐标为x、y、z，压强 为p。由于压强是坐标的连续函数，则离该点 处的压强 为 ，并且可将 在 处用 泰勒级数展开，即 如果dy为无限小量，则在上述级数 中二阶及二阶以上的高阶小量均可 略去，即等号右边只取前两项已经 可以满足精度要求，则上式可以简 写为： 则沿y轴方向的六面体边界面abcd和 中心点处的 压强分别为 和 。作用在这两个面 上的法向力为 和 。 当微小六面体处于平衡状态时，方向的合力为，即： 同理可以写出、方向的力平衡方程式，即： l用 除以上x、y、z轴方向的力平衡 方程式，并化简得 以上三个式子用矢量形式表示为 这就是流体平衡微

8、分方程式。它是欧 拉在1755年首先提出的，所以又称为 欧拉平衡微分方程式。 2.物理意义： 1）处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的 表面力分量与 质量力分量彼此相等。 2）压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位 体积上的质量力的分量（X，Y，Z）。 欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程，它 可解决流体静力学中许多基本问题。 1.欧拉平衡微分方程适用于静止流体、相对静止的流体 在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力的性质及方 向并未作具体规定。 2.欧拉平衡微分方程适用于可压缩流体、不可压缩流体。 在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未 加限制。 3.欧拉平衡微分方程适用于

9、理想流体、粘性流体。 流体是处在平衡或相对平衡状态，各流层间没有相对运动 。 说明 流体平衡微分方程的另一种形式流体平衡微分方程的另一种形式 因为p = p(x,y,z) 压强全微分 流体平衡微分式方程两边乘以dx,dy,dz后相加得： l 如果流体是不可压缩的，即P为常数。上式右边的括号内的 数值必然是某一函数W(x、y、z)的全微分，即 2、有势质量力及力的势函数 满足上式的函数W(x，z，y)称为势函数。具有这样势函数的质量 力称为有势的力。 凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是 有势力。 或者说：不可压缩流体只有在有势质量力的作用下 才能够处于平衡状态。 l当质量力只有重力时

10、即为流体静力学基本方程式 3 3、等压面、等压面 1.等压面的定义：是指流体中压强相等（p=常数）的 各点所组成的面。 等压面满足的方程 2.等压面具有的重要特性： 1）不可压缩流体中，等压面与等势面重合。 所谓等势面就是力的势函数W(x，y，z)=C的面。对 于不可压缩流体，等压面也就是等势面。 2）在平衡流体中，作用于任一点的质量力必定垂直 于通过该点的等压面。 3.两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面（P59 ） 压强差公式和等压面压强差公式和等压面 等压面等压面 将流体平衡微分方程的两端分别乘以dx、dy、dz，然后相 加，得： 即 ： 在流场中压强相等的点组成在流场中压强相等的点

11、组成 的面，的面，dp=0。 压强差公式，表明压强差公式，表明 流体静压强的增量流体静压强的增量 取决于单位质量力取决于单位质量力 和坐标增量。和坐标增量。 等压面的微分方程，表明在静止等压面的微分方程，表明在静止 的流体中作用于任一点的质量力的流体中作用于任一点的质量力 垂直于经过该点的等压面。垂直于经过该点的等压面。 写成矢量形式 ： 重力场中流体静压强的分布规律 一、流体静压强的基本方程式 图 密闭容器中的静 止流体 代入流体平衡微分方程式(2-6)， 有 ： （一）微分方程式 积分即得静力学基本方程 ： 该方程的适用范围是: 重力作用下的平衡状态均质不可 压缩流体。 （二） z形式的积

12、分方程 水静力学基本方程式。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 图2-6 密闭容器中的静 止流体 （三） h形式的积 分方程式 (四)压强的图示 在静止流体中，压强随着深度成直线 规律变化。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 h 图2-7 静止液体中压强分布示意图 （五）测压关系 依据某点的压强及两点间的深度 差，可求出另外一点的压强值或两点间的压强差。 消去，则有 常被称为静止流体中的测压关系。 它表明，在静止流体中，若已知某点的压强，加上 ，就得到其下 方 处另一点的压强，减去 ，则可得到其上方 处某点的压强。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 （六）等压面 第三节 重力场中流

13、体静压强的分布规律 定义： 压强相等的点所组成的面称为等压面。 在静止，同种、连续的流体中，等压面是水平面。 液体与气体的分界面，即液体的自由 液面就是等压面，其上各点的压强等于 在分界面上各点气体的压强。 等压面 v 举例说明 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面 油 水 v 举例说明 关于等压面的条件： 液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。 如不能同时满足这三个条件，就不能应用上述规律。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 例：如图2-8a中a和b两点，虽然静止、同种，但不连续 ，中间被气体隔开了，所以两点压强不相等。又如图2-8a 中b、c两点，虽然静止、连续，但

14、不同种，所以同在一个 水平面上的b、c两点压强也不相等。又如图2-8b中的d、e 两点，虽然同种、连续，但不静止，管中是流动的液体， 所以同在一个水平面上的d、e两点压强也不相等。 图2-8非等压面的水平面示例 想一想：下图所示那个断面是等压面？ 答案：B- B , 静止、同种、连续液体 图2-9 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 A B CD EF 6 7 AB CD 二、流体静压强基本方程式的意义 由（2-7）式，可导出 （2-10） 此式表明，在由同一种流体相互连通的静止流体中，任意点上的 都具有相同的数值。下面，从物理与几何两个方面再进一步讨论 式（2-10）的意义。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 在重力作用下，静止的连续均质不可 压缩流体中，各点单位重量流体的总 势能保持不变。 物理意义 Z 单位重量流体的位势能 p/g 是单位重量流体的压强势能 J/Kg 1、物理意义 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 图 2-10真空管中液面上升的高度 位势能和压强势能之和称为总势能。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 位势能 压强势 能 2) 几何意义 单位重量流体的势能具有长度的单位，可以用液 柱高度来表示，称为水头。 Z 为压 强水头 静水头 静水头线 各点静水头的连线 为位置水头 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 图2-11静止流体的静水头线