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1、第四章 杆件的强度、刚度和稳定性计算 1 第一节 应力、应变、胡克定律 1、应力 平衡力系作用下的杆件虽然不会产生运 动，但一定会产生变形。 的概念：考虑受力杆件I-I截面上任意一点A 称为面积A上的平均应力。 而 称为A点出的应力 应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分 布疏密程度，内力集度. A I I p I I p A 2 F1 Fn F3 F2 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布 ，集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏 ”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 应力就是单 位面积上的 力 3 正应力：杆件内部应力p的截面法线分量称为正 应力。 剪应力：杆件内部应力p的截面切线
2、分量称为剪 应力。 应力的单位是帕斯卡，简称帕（Pa） 1MPa(兆帕)=106 Pa， 1GPa(吉帕)=109 P I I A p 4 内力：横截面上所有点应力的总和。 I I FN轴力FN表示截面上所有点正应力在轴 线（或法线）方向上作用的总和。 剪力FQ表示截面上所有点剪应力在 切线方向上作用的总和。 FQ 当同一横截面上正应力有正有负时， 弯矩M表示截面上所有点正应力对正 负应力分界轴x-x的力偶作用。 M x x 扭矩FT表示截面上所有点剪应力对截 面中心点O点的力偶作用。 O 5 剪力FQ表示截面上所有点剪应力在 切线方向上作用的总和。 FQ 当同一横截面上正应力有正有负时， 弯
3、矩M表示截面上所有点正应力对正 负应力分界轴x-x的力偶作用。 M x x 扭矩FT表示截面上所有点剪应力对截 面中心点O点的力偶作用。 O 6 刚度：构件抵抗变形的能力。 杆件受轴向力作用时，沿杆轴方向会伸长（或缩 短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减少（或 增大），称为横向变形。 1）纵向变形与胡克定律 长为 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了 纵向线应变为： 试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一 极限值，则正应力和正应变成线性正比关系 2、轴向拉伸（压缩）变形 7 称为胡克定律 英国科学家胡克（Robet Hooke，16351703） 于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系
4、后提出的。 胡克定律： EA称为杆的拉压刚度 上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A 均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均 匀的情况。比例常数E 称为弹性模量，它表示材 料在拉伸（压缩）时抵抗变形的能力，量纲与应 力相同，常用单位为MPa. 8 2）横向变形、泊松比 横向正应变为： 当应力不超过一定限度时，横向应变 与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。 法国科学家泊松（17811840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 横向变形因数或泊松比 表4-1给出了常用材料的E、 值。 9 三、 变形计算 材料名称E值（单位GPa)值值 低碳钢（Q235）2002100.240.28 16
5、锰钢2002200.250.33 铸铁1151600.230.27 铝合金70720.260.33 混凝土15360.160.18 木材（顺纹）912 砖石料2.73.50.120.20 花岗石490.160.34 常用材料的E 、值 10 选择材料与材料的机械性质有关 确定尺寸与截面大小、形状有关 在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同 。 平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究 对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算 中不可缺少的几何参数。 第二节 截面的几何性质 11 截面的形心就是截面图形的 几何中心 一、形心 y z O dA y z zC yC C 1、形心的概念
6、 通过形心的坐标轴称为形心轴 C r 12 截面的形心就是截面图形的 几何中心 一、形心 y z O dA y z zC yC C 1、形心的概念 通过形心的坐标轴称为形心轴 形心坐标公式 13 解：将此图形分别为I、II、III三 部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取 为x轴，则 例1 求图示图形的形心。 150 y C x O x1 y1 200 10 yC 300 I II III 10 由于对称知： xC=0 14 1、静矩 o z y A dA z y A ydA A zdA 平面图形对y轴的静矩 平面图形对z轴的静矩 单位： 二、静矩和惯性矩
7、15 （1）静矩可0；0；0。 （2）若图形形心C已知，则： oy z A C （3）求静矩的另一公式： 16 （4） y z A C 如果平面图形具有 对称轴，则平面图形的 形心必然在对称轴上。 平面图形对其对称轴的 静矩必为零。 若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则 该坐标轴必通过图形的形心。 轴过形心 S该轴=0 17 组合图形的静 矩计算公式 求所示图形对y轴的静矩 z y z O R z+dz 解 ： 18 2、惯性矩 o y z A dA y z A ydA A zdA 图形对y轴的惯性矩 图形对z轴的惯性矩 单位： 惯性矩恒0； 19 y z b h 例1、矩形。求 解： （1
8、） （2） z dz 同理 c 例2、圆形。 y z d 20 A 3、平行移轴公式 C y z dA y z o b a 已知: (y、z轴过形心C) 求 解： 21 平行移轴公式 注意： （1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两 平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩 来换算; （2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心 轴的惯性矩最小. A C y z dA y z o b a 22 d D 根据定义： 整个图形对某一轴的静矩、惯性矩等于各个分图 形对同一轴的静矩、惯性矩之和。 I II III y z 4、组合图形惯性矩的计算 23 例如: 则 I II I
9、II y z 同理 24 空心圆 其中 d D y z I II III y z y1 25 20cm 3 17 3 例：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。 解:(1)求形心 z y C 任选参考坐标系,如 I II 而 y1 26 (2)求 20cm 3 17 3 z y C I II y1 27 即： 惯性半径（单位： ） 5、惯性半径 工程中因为计算需要，常将图形的惯性 矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。 28 y z b h 例：1、矩形。求 解： z dz c 29 力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能。 材料的力学性能 工程材料根据其断裂时发生变形的
10、大小 分为脆性材料和塑性材料两大类。在常温、静 载条件下，这两种材料在拉伸和压缩时的力学性能 具有明显的差异。 第三节 杆件的轴向拉伸（压缩 ） 1、材料在轴向拉伸（压缩）时的力学性能 30 1）低碳钢拉伸时的力学性能 常温、静载 标准试样（圆截面） 31 标准试样（矩形截面） 试样原始标距与原始横截面面积 关系者, 有为比例试样。 国际上使用的比例系数k的值为5.65。 若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求 时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。 32 33 应力应变图 34 （1）弹性阶段（Ob 段） Oa 段为直线段，说明正应 力和正应变成线性正比，材 料遵循胡克定律，即E
11、 。a点对应的应力称为比例 极限，用P表示 。 弹性阶段最高点b对应的应 力值为弹性极限，用e表示 。 弹性模量E和 的关系： 应力应变图 35 过b点，应力变化不大， 应变急剧增大，曲线上出现水 平锯齿形状，材料失去继续抵 抗变形的能力，发生屈服现象 。 工程上常称下屈服强度为 材料的屈服极限，用s表示。 材料在屈服阶段，其弹性 变形基本不再增长，而塑性变 形迅速增加，不能使用胡克定 律。 材料屈服时，在光滑试样 表面可以观察到与轴线成的纹 线，称为45滑移线。 （2）屈服阶段（bc 段） 36 材料晶格重组 组后，又增加 了抵抗变变形的能力，要使试试件 继续继续 伸长长就必须须再增加拉力，
12、 这阶这阶 段称为为强化阶阶段。 曲线最高点d处的应力，称 为强度极限(b )。 若将杆件拉伸到强化阶段 的某一点k时停止加载，并逐步 卸载到零，则试样的应力应变 曲线会沿着kO1回到O1，卸载后 消失的应变O1k1为弹性应变， 保留下的应变OO1为塑性应变。 冷作硬化现象，在强化阶 段某一点 k处，缓慢卸载，冷作 硬化使材料的弹性强度提高， 而塑性降低的现象。 （3）强化阶段（cd 段） 代表材料强度性能的主要指标： 屈服极限s和 强度极限b 37 （4）局部径缩阶段（de段） 试样变形集中到某一局部 区域，由于该区域横截面的收 缩，形成了图示的“颈缩”现 象最后在“颈缩”处被拉断。 38
13、两个塑性指标: 延伸率 断面收缩率 为塑性材料为脆性材料 低碳钢的为塑性材料 （2)延伸率和截面收缩率 杆件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来 。 39 （3）低碳钢压缩时的力学性能 试件和实验条件 常温、静载 40 屈服极限 比例极限弹性极限 拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。 E - 弹性摸量 塑性材料（低碳钢）的压缩 41 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力 应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现 象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。 为典型的脆性材料。 b拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡 量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。 （1）拉伸性能 2）铸铁的力学性
14、能 42 脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同 压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限 （2）压缩性能 43 低碳钢压缩低碳钢压缩, , 愈压愈扁愈压愈扁 铸铁压缩铸铁压缩, , 约约4545度度开裂开裂 44 对于没有明显 屈服阶段的塑性材 料，用名义屈服极 限0.2来表示。 3）其它材料的力学性能 45 建筑专业用的混凝土，压缩时的应力应变图，如图示。 混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。 46 几种常用材料的主要力学性能 材料名称屈服极限 s/MPa 强度极限b /MPa 伸长长率/% 受拉受压压 Q235钢钢2202403704602527 16Mn钢钢280340470510
15、1931 灰口铸铁铸铁983906401300 0.5 混凝土C201.614.2 混凝土C302.121 红红松（顺纹顺纹 ） 9632.2 47 1. 极限应力 塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显 的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服 极限作为塑性材料极限应力。即 s 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失 效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力 。 即 b 根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极 限应力() 4）许用应力与安全系数 工作应力杆件工作时由荷载引起的应力 极限应力使材料丧失正常工作能力的应力 48 把极限应力除以一个大于1的因数，得到 的应力值称为许用应力( ) 大于1的因数n 称为安全因数。 工程中安全因数n的取值范围，由国家标准 规定，一般不能任意改变。 2.许用应力 49 思考：两根材料相同、粗细不同的直杆，
