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1、 信号与系统 Signals & System A.V.Oppenheim 2nd Edition 概论 信号就是函数。离散时间与 连续时间函数。（但不是所有的的 函数都适合做信号,常见信号及其运算。） 系统就是对信号的变换。（变 换海洋中的一滴水，特别的一类：线性移 不变系统LTI 系统） 给定信号和系统求变换后的 信号。 给定变换前后的信号，确定 系统。 给定信号和系统直接求系统 的响应时域分析。（在LTI前 提下信号与系统的统一。） 信号的变换分析：傅立叶级 数、傅立叶变换、拉氏变换 、z 变换。（送你一双看穿表象的慧 眼。） 抽样定理 （风马牛不相及的两种信号 之间的联系，数字化时代的
2、基石。） 信号与系统问题无处不在 什么是信号？ 信号是消息的表现形式，消息则是信 号的具体内容。 什么是系统？ 系统是物理器件的集合，对给定的信 号做出反应而产生出另外的信号。 系统其实就是一个信号转换器。 信号的描述： 数学上：信号表示为一个或多个 变量的函数 形态上：信号表现为一种波形 自变量： 时间、位移 周期、频率、相位、幅度 信号的分类： 函数自变量数目：一维信号和 多维信号 函数自变量取值的连续性和离 散性：连续时间信号和离散 时间信号 函数周期性与否：周期信号和 非周期信号 信号的描述 信号的自变量变换 基本信号 系统及其数学模型 系统的性质 本章的基本内容: 1.1 连续时间与
3、离散时间信号 （Continuous-Time and Discrete-Time Signals） 一.信号： 信号可以描述范围极其广泛的物理现象。 信号可以分为确知信号与随机信号，也可以 分为连续时间信号与离散时间信号。 确知信号可以表示成一个或几个自变量 的函数。作为信号分析的基础，本课程只研 究确知信号。 连续时间信号的例子： 离散时间信号的例子： 连续时间信号在离散时刻 点上的样本可以构成一个离散 时间信号。 二. 信号的能量与功率： 连续时间信号在 区间的平均功率定 义为： 连续时间信号在 区间的能量定义 为： 离散时间信号在 区间的能量 定义为 离散时间信号在 区间的平均 功率为
4、 在无限区间上也可以定义信号的总 能量： 连续时间情况下: 离散时间情况下: 在无限区间内的平均功率可定义为： 1.2 自变量变换 Transformations of the Independent Variable) 一.由于信号可视为自变量的函数，当自 变量改变时，必然会使信号的特性相 应地改变。 当 时，信号向右平移 时，信号向左平移 当 时，信号向右平移 时，信号向左平移 1. 时移变换：Shift of Signals 2. 反转变换：Reflection of Signals 信号以 为轴呈镜像对称。 与连续时间的情况相同。 3. 尺度变换： Scaling 时, 是将 在时间上
5、压缩a倍 时, 是将 在时间上扩展1/a倍。 由于离散时间信号的自变量只能取整 数值，因而尺度变换只对连续时间信号 而言。 01 2 3 4 5 6 2 11 2 3 2 2 22 0123 例如： 显然上例中， 是从 中依次抽出 自变量取偶数时的各点而构成的。这一 过程称为对信号 的抽取（decimation） 综合示例： 由 01 1 0 1 1/23/2 0 1 1/21/6 做法一： 可视为周期信号，但它的基波周期 没有确定的定义。 二. 周期信号与非周期信号： 周期信号： 满足此关系的正实数（正整数）中最小 的一个，称为信号的基波周期 （ ）。 可以视为周期信号，其基波周期 非周 期
6、信 号 周期信号 连续时间 周期信号 离散时间周 期信号 三.奇信号与偶信号：odd Signals and even Signals 如果有 或 则称该 信号为奇信号（镜像奇对称） 如果有 或 则 称该信号是偶信号（镜像偶对称) 任何信号都能分解成一个偶信号与 一个奇信号之和。 对实信号有： 其中 其中 0-1 -2 1 2 1 2 例1： -2 2 1 0 -1 1 1 -1 例2. 信号的奇偶分解： 1.3 复指数信号与正弦信号 （Exponential and Sinusoidal Signals ） 一. 连续时间复指数信号 其中 C, a 为复数 1. 实指数信号： C，a 为实数
7、 呈单调指数上升。 呈单调指数下降。 是常数。 2. 周期性复指数信号: ，不失一般性取 实部与虚部都是正弦信号。 显然是周期的，其基波周期为： 0 3、正弦信号 其基波周期为 , 基波频率为 ，当 时 通常称为直流信号。 4. 一般复指数信号: 其中 C, a 为复数 令 则 该信号可看成是振幅按实指数信号规律变 化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都 是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。 当 时，是指数增长的正弦振荡。 时，是指数衰减的正弦振荡。 时，是等幅的正弦振荡。 二. 离散时间复指数信号与正弦信号 一般为复数 1. 实指数信号： 均为实数 当 时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减
8、时，呈摆动指数衰减 时，呈摆动指数增长 正弦信号： 离散时间正弦信号不一定是周期的，这是 与连续时间正弦信号的重大区别。 离散时间信号频率表示为 ，量纲是弧度。 3. 一般复指数信号： 令则 实部与虚部都是幅度按指数规律变化的正弦 序列。 当 时幅度呈指数增长， 时幅度呈指 数衰减。 离散时间复指数序列 不一定是 周期性的，要具有周期性，必须具备一定 条件。 即 离散时间复指数序列的周期性 设 则有： a）表明只有在 与 的比值是一个有理数 时， 才具有周期性。 对 ，当 时，对应 的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。 而对 ,当 时，只要是 变化的 范围，如 ，则由于 ， 总是会有 。 这表
9、明：当 变化时，并非所有的 都 是互相独立的。 离散时间信号的有效频率范围只有 区间 。其中 ， 处都对应最低频率； 或 处都对应最高频率。 在满足周期性要求的情况下，总能找到互 为质数的两个正整数 m, N 使得： （m与N无公因子） 此时 即为该信号的周期, 也称为基波 周期,因此该信号的基波频率为: 离散时间周期性复指数信号也可以构成一 个成谐波关系的信号集。 该信号集中的每一个信号都是以N为周期的 , N是它们的基波周期。 称为直流分量， 称为基波分量。 称为二次谐波分量等等。 每个谐波分量的频率都是 的整数倍。 称为直流分量， 称为基波分量 称为二次谐波分量等等。 每个谐波分量的频率
10、都是 的整数 倍。 特别值得指出的是：该信号集中的所有信 号并不是全部独立的。 这表明：该信号集中只有N个信号是独立 的。即当k 取相连的N个整数时所对应的各个 谐波是彼此独立的。因此，由N个独立的谐 波分量就能构成一个完备的正交函数集。这 是与连续时间的情况有重大区别的 显然有： 信号 和 的比较 不同，信号不 同 对任何 信号都 是周期的 基波频率 基波周期：T0 频差 的整数倍时 ，信号相同 仅当 时 ，信号是周期的 基波频率 基波周期：N 一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃 1. 单位脉冲序列 : 1.4 单位冲激与单位阶跃 （The Unit Impulse and Unit Step
11、 Functions） 0 1 2. 单位阶跃序列 : 与 之间的关系： 一次差分 1 0 具有提取信号 中某一点的样值的作用 。 1 1.单位阶跃 ， ， 1 0 二. 连续时间单位阶跃与单位冲激 定义： 2. 单位冲激 定义： 定义的不严密性，由于 在 不连 续，因而在该处不可导。 定义 如图所示: 1 0 显然当 时 可认为 0 即 可视为一个面积始终为1的矩形，当 其宽度趋于零时的极限。 表示为 1 0 0 1 矩形面积称为冲激强度。 显然有： 0 也具有提取连续时间信号样本的 作用。 G(t) 0 t G1(t) 0 t0 t 用阶跃表示矩形脉冲 1.5 连续时间与离散时间系统 （C
12、ontinuous-Time and Discrete-Time Systems） 一. 系统 系统是非常广泛的概念。通常将 若干相互依赖，相互作用的事物所组成的具 有一定功能的整体称为系统。它可以是物理 系统，也可以是非物理系统。 输入信号与输出响应都是连续时间信 号的系统。 连续时间系统 连续时间系统： 离散时间系统 离散时间系统： 输入信号与输出响应都是离散时间信号 的系统。 系统分析的基本思想： 1. 根据工程实际应用，对系统建立 数学模型。 通常表现为描述输入 输出关系的方程。 2. 建立求解这些数学模型的方法。 为此要求所研究的系统具有以下两点 重要特性: （1）这一类系统应该具有
13、一些性 质和结构，通过它们能够对系统的行 为作出透彻的描述，并能对这一类系 统建立有效的分析方法（即可行性） 。 本课程所研究的对象LTI（ Linear TimeInvariant Systems）系统就是这 样的一类系统。 2）很多工程实际中的系统都能利用这 类系统的方法建模（即具有普遍性）。 二. 系统的互联 （Interconnection of Systems） 现实中的系统是各式各样的，其 复杂程度也大相径庭。但许多系 统都可以分解为若干个简单系统 的组合。 可以通过对简单系统（子系统）的分 析并通过子系统互联而达到分析复杂系 统的目的。 也可以通过将若干个简单子系统互联 起来而实
14、现一个相对复杂的系统。这一 思想对系统分析和系统综合都是十分重 要的。 2. 并联 ( parallel interconnection ) 1. 级联 (cascade interconnection) 3. 反馈联结 ( Feedback interconnection ) 工程实际中也经常将级联、并联混合使用， 如： 在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻 的输入有关，而与该时刻以外的输入无关， 则称该系统是无记忆系统。否则就是记忆系 统，即（memory systems 或 systems with memory )。 如果一个系统的输出响应不仅与当时的输 入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入 有关，则系统是记忆的。 1.6 系统的基本性质 ( Basic System Properties ) 1. 记忆系统与无记忆系统 (memory systems and memoryless system
