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1、复 习 1.方向导数的概念与计算 1 2. 梯度（注意梯度是一个向量） 的梯度为： 的梯度为： 3. 重要关系图： 连连 续续 可微分可微分偏导数存在偏导数存在 一阶偏导数连续一阶偏导数连续 有定义有定义 2 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 3 回顾： 一元函数极值点的可疑点： (在定义域内部的)驻点,不可导点. 即：一元函数的极值点驻点,不可导点 Th1(Th1(必要条件必要条件) )可导函数的极值点必是它的驻点可导函数的极值点必是它的驻点. . Th2(Th2(第一充分条件第一充分条件) ) 考察函数的导数在极值考察函数的导数在极
2、值可疑点可疑点左右两侧的符号：左右两侧的符号： 从左到右，导数由正变负，该驻点是极大值点；从左到右，导数由正变负，该驻点是极大值点； 从左到右，导数由负变正，该驻点是极小值点；从左到右，导数由负变正，该驻点是极小值点； 从左到右，导数不变号，函数在该点没有极值从左到右，导数不变号，函数在该点没有极值. . Th3(Th3(第二充分条件第二充分条件) ) 4 一、多元函数的极值 5 一、多元函数的极值 6 一、多元函数的极值 7 一、多元函数的极值 8 一、多元函数的极值 9 一、多元函数的极值 10 一、多元函数的极值 11 一、多元函数的极值 12 1.定义: (1)由定义知:极值点应在定义
3、区域内部(内点),而不能在 边界上. (3)在点 (0,0) 有极小值 ; 在点 (0,0) 有极大值; (2)该极值的概念可推广到三元以上的多元函数上. 说明： 在点 (0,0) 有极大值; 13 o y z x x y z o 在点 (0,0) 无极值. 14 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研)P118T1 15 定理1 (必要条件) 函数 偏导数,且在该点取得极值 2.多元函数取得极值的条件: 证: （多元函数的（多元函数的FermatFermat引理）引理）
4、仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点 ，均称为函数的驻点，均称为函数的驻点. . 16 设可微函数 在点 取得极小值， 则下列结论正确的是( ) 在 处的导数大于零 在 处的导数小于零 在 处的导数等于零 在 处的导数不存在 2003 C 例2. 17 定理1简述为：驻点极值点(可导函数) 注1 几何意义： 注2 逆命题不成立，即驻点不一定是极值点. 故驻点极值点 但在该点不取极值. 因函数在该点的偏导不存在. 1)驻点 2)偏导中至少有一个不存在的点. 18 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 若函数 令 时, 具有
5、极值则: 1) 当 A0 时取极小值 .2) 当时, 没有极值. 3) 当时, 不能确定 , 需另行讨论. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 1.驻点 2.偏导中至少有一个不存在的点. 19 例3. 求函数 解: 解方程组 得驻点(1,1),(0,0) 故所求函数的极值为: 对驻点(1,1): 所以 对驻点(0,0): 所以函数在(0,0)处无极值. 20 说明：求函数的极值的一般步骤： 第三步: 定出的符号，再判断是否为极值. 求出在定义区域内部的实数解,得驻点. 第一步: 解方程组 第二步:求出二阶偏导数 的值A、B、C. 对于每一个驻点 (09数一,三9分) 21 二、多元函数的最值
6、 1.最值的存在性： 如函数 2.有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤： （1）找最值可疑点 D内的驻点及不可导点 边界上的可能极值点 （2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为 所求的最大（小）值 . 需求函数 （假定函数在D有有限个可疑点） 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m . 22 3.条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域内限制. 对自变量除定义域内限制外, 还有其它限制条件. 例如 , 转化 23 方法2 拉格朗日乘数法
7、. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 的极值问题, 故极值点必满足 设 例如, 极值点必满足 引入辅助函数 24 拉格朗日乘数法: 就是可能的极值点的坐标. 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 以上解正是 的驻点. 25 解 : 如图, 例4. 求二元函数 26 设 解方程组 得条件极值的可疑点为： 另解 求 提示: 3.比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所 求的最大(小)值 . 练习：求函数在闭域 2007研 答案: 27 推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形. 例如, 求函数 下
8、的极值. 解方程组 可得到条件极值的可疑点 28 4. 函数的最值应用问题 求多元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但 如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又 知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值 就是所求的最值. 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 函数的最值应用问题的解题步骤： 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件) 29 例5.求曲面与平面 解：设为抛物面上任一点， 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 到平面 之间的最短距离. 令 得唯一驻点
9、： 根据问题的实际意义,知 30 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法； 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法. 31 3. 有界闭区域上连续函数的最值的求法 (1)找最值可疑点 D内的驻点及不可导点. 边界上的可能极值点. (2)比较以上各点处的函数值，最大(小)者即为所求 的最大(小)值 . 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小. 根据问题的实际意义确定最值. 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)； 4. 函数最值的应用问题 作业作业: :P118P118 3,5,8,11 .预习预习: :P132-P137P132-P137 32
