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1、流体力学 暖通教研室 二00二年十一月 主讲：周传辉 1 第九章 一元气体动力学基础 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 92 音速、滞止参数、马赫数 93 气体一元恒定流动的连续性方程 94 等温管路中的流动 95 绝热管路中的流动 2 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 从微元流束中沿轴线s任取ds一段，应用理 想流体欧拉运动微分方程，单位质量力s方 向分力以S表示，由牛顿第二定律得： 对于恒定一元流动 对气体而言,它的容重一般都很小,因此当质量力仅为重力时,往往可以忽略质量力 去掉角标，可以写成： 即： 整理得： 欧拉运动微分方程 3 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 一、气体一
2、元定容流动 在元流中任取两个断面，有： 二、气体一元等温流动 再把cRT代入，有 4 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 三、气体一元绝热流动 等熵流动就是理想气体的绝热流动 满足: k为绝热指数 因此： 代入欧拉运动微分方程，得： 对任意两个断面： 5 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 把（a）式作一个变化 单位质量气体所具有的内能u。 证明：从热力学第一定律可知，对于理想气体，有： 又由： 以及 代入上式可得 该式表明：在等熵流动中，沿流任意断面上， 单位质量气体的内能、压能、动能之和为一常数。 6 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 在热力学中， 为焓，用焓表示的全能方程为： 把
3、焓与定压比热的关系代入，得： 在热力学中绝热指数取决于气体的分子结构，一般计算时可以用： 空气，k1.4，干饱和蒸气，k1.135，过热蒸气，k1.33。 对任意两个断面： n为多变指数，包含:等温（n1）、绝热（nk）和定容（n）的过程。 (h=u+pv) 对于多变过程： 7 91 理想气体一元恒定流动的运动方程 多变过程 等熵流动 定容流动 等温流动 8 92 音速、滞止参数、马赫数 一、音速一、音速 （Speed of SoundSpeed of Sound） 音速：微小扰动在流体中的传播速度。也就是声音在流体中的传播速度。 流体中的某个地方受到外力的作用使其压力发生变化，我们称为压力扰
4、动，压 力扰动会产生压力波，向四周传播，这个压力波的传播速度，对不同的流体是 不同的，即流体的性质不同，密度、压缩性等不同，传播速度也就不同。 比如：在15，1atm下的音速 氢气：1294m/s 空气：340m/s CO2：266m/s 水：1490m/s 钢：5060m/s 冰：3200m/s 推导音速的计算式： 取一段带有活塞的等截面直圆管，里面充满静止的可压缩气体，活 塞在外力的作用下，产生一个微小的速度dv向右移动，这样就产生 一个微小扰动的平面压缩波向介质内部传播。 声速动画 9 92 音速、滞止参数、马赫数 在波峰的前面是没有被扰动的流体（即静止 状态），波峰后面是被扰动的流体，
5、它的压 强、密度都要发生变化，由于被压缩,因此 变为：pdp，d。 把坐标系固定在波峰上，取一个包含波 峰的控制体，并且这个控制体的两个侧 面无限接近，使控制体的体积趋于0。 气体的压缩波的厚度，在大气压下约 为10-6m的量级，所以这样取控制体 是合理的。 设管道截面积为A，对控制体 写出连续性方程，展开略去二 阶小量。得； 对控制体列动量方程，由于控制体的体积趋近于0，质量力为0，且可忽略 切应力的作用，考虑质量流量守恒，有： 10 92 音速、滞止参数、马赫数 同连续性方程联立，消掉dv，得音速方程为： 这就是微小扰动的平面波音速计算公式，同样适用于球面波。也适用于液体。 弹性模量和压缩
6、系数的关系： 代入上式，得： 由于声音的传播速度很快，在传播过程中来不及与外界进行热量交换，而且切应力的 作用可以忽略，即无能量损失，所以可以认为这个传播过程是等熵绝热过程 代入音速的微分式，得： 11 92 音速、滞止参数、马赫数 二、滞止参数二、滞止参数 （Stagnation PropertiesStagnation Properties） 滞止即为停止，因此，滞止参数是在气流的某截面处，设想其速度无摩擦绝热地 降为0时，这个截面上的各种参数我们称为滞止参数，一般用下标0表示。 常用的有：滞止压强、密度、温度、焓、音速。 称为滞止音速。 在实际工程上，为了分析和 计算流动问题方便起见，
7、常使用滞止参数这个概念， 而且由于它比较容易测量，所以 滞止参数得到广泛的应用。 用温度计测气流的 温度，有没有误差，如果 有是偏大还是偏小？ 12 在滞止状态下气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓 表示之， 它表示单位质量的气流所具有的总能量，称为总焓。有： 上式表明，滞止温度要比气流的温度T高出 ，对于Cp=1005 J/（kgK） 的空气，则高出 例如速度为100m/s的空气流，滞止温度超过气流的温度约5K，也即约5 。可见，将一个带小玻璃球的普通水银温度计或热电偶温度计放在气流中 来测量气流的温度，读出的温度比气流的温度T要高。但小玻璃球上驻点 处的温度虽达到滞止温度，但其上的其他各
8、点的温度升高要小一些，所以 普通水银温度计上读出的平均温度比滞止温度稍低一些。因此用任何静止 温度计都不能直接测得气流的真实温度了，只有用与气流同样速度运动的 温度计才能直接测得 。 13 92 音速、滞止参数、马赫数 结 论： 在有摩擦的绝热气流中，各断面的滞止温度、滞止焓、滞止音速值 不变，表示总能量不变，但因为摩阻消耗掉的一部分能量转化为热能，使 滞止压强P0沿程降低。 在有摩擦的等温气流中，由于气流与外界不断交换热量，使滞止温度 T0沿程变化。 a.等熵流动中，各断面滞止参数不变，其中T0、i0、c0反映了包括热能在内 的气流全部能量。 b.等熵流动中，若流速沿程增大，则气流温度、焓、
9、音速沿程降低。 c.同一气流中当地音速c永远小于滞止音速。气流中最大音速是滞止音速。 14 92 音速、滞止参数、马赫数 三、马赫数三、马赫数 （Mach numberMach number） 气流截面上的当地速度与当地音速之比是马赫数。 马赫数反映的是气体流动过程中的压缩性能，马赫数越大、压缩性越大。 马赫数是气体动力学中一个很重要得无因次性能参数，它反映的是惯性力与弹性力 的相对比值，是确定气体流动状态的准数。 M1,vc，超音速 M=1,v=c ，音速（跨音速） M1,vc，亚音速 由 作一变形可得： 利用绝热过程方程式以及 气体状态方程可以得到： 15 微弱扰动波在超声速气流中的传播是
10、有界的，界限就是马赫锥（超音速飞机、子弹等） 16 92 音速、滞止参数、马赫数 四、气流按不可压缩处理的极限四、气流按不可压缩处理的极限 可压和不可压两种情况下的滞止压强， 当相对误差小于1%时，M等于多少？ 可 压 缩： 不可压缩： 把第一式按二项式定理展开，取前三项，有 又因为 代入上式，得： 二项式展开: 17 92 音速、滞止参数、马赫数 如果令 为绝对误差，则 称 为相对误差，则当相对误差小于1时，有： 即：当M1时，M2远远大于1，即密度的变化远远大于速度的变化，速度增加的较慢 ，密度减小的很快，气体的膨胀程度非常显著。说明密度的相对变化的特征，在亚 音速与超音速流动中的存在根本
11、差别。因此v的乘积随v的增大而减小。若速度增 加， 则v减小，由连续性方程可知1v1A12v2A2，A1A2，即超音速气流中速度 随断面的增大而增大。 当M1时，气流的速度等于当地音速，这时的气体处于临界状态。气体达到临 界状态的断面，称为临界断面。临界断面的参数称为临界参数，用下脚标“k”表示 包括：vk,ck,pk,Tk, k.临界断面的M1，密度的相对变化与速度的相对变化相等， 断面不需要变化。21 93 气体一元恒定流动的运动方程 流 向 面 积积 (A) 流速 (v) 压压 力 (p) 密度 () 单单位面积积 质质量流量 (v) 亚亚音 速流 M1 增大增大减小减小减小 减小减小增
12、大增大增大 22 94 等温管路中的流动 (Isothermal Flow) 一、气体管路运动微分方程一、气体管路运动微分方程 微元段dl上单位质量气体的摩擦损失为： 把这个式子代入到理想流体一元流动的微分方程中，即加上损失项，得： 为沿程阻力系数，与Re与管子的相对粗糙度/D有关。 对于等温管流： (1) D是常数，管材一定，则相对粗糙度也一定； (2) 是温度的函数，等温管流，温度不变，也不变； (3) 等截面管道，A为常数，由连续性方程可知，v常数。 由此可得， 为常数，即管道上任意断面的Re数都相等。可得也沿程不变。 23 94 等温管路中的流动 二、管中等温流动二、管中等温流动 由连
13、续性方程以及 截面相等的条件可得： 对于等温流动的气体， 我们可以认为是理想气体 由此可得： 得： 代入 ，对管长积分，得： 24 94 等温管路中的流动 有： 由等温时： 得： 这就是等温管路的基本公式 把连续性方程和质量流量的计算公式代入该式，可得： 质量流量： 大压差公式 25 94 等温管路中的流动 三、等温管路的特征三、等温管路的特征 气体管路运动微分方程： 通除P/，得： 理想气体状态方程的微分式： 连续性方程的微分式，dA0， 比较二式，可得： 26 94 等温管路中的流动 由音速公式得： 压强的变化关系式为： 27 结 论 (1) kM21 v减小，p增加。 变化率随摩阻的增大而增大。 (2) kM21时，摩阻沿程增加，使流速不断增加，但是1kM2不可能等于0， 而使流速变为无穷大，所以管路出口断面上的马赫数不能超过 ， 只能是 (3) 在M 的l处求得的管长就是等温管流的最大管长，如果实际管长 超 过最大管长，将使得进口断面流速受到阻滞。 94 等温管路中的流动 28 95 绝热管路中的流动 (Isentropic Flow) 一、绝热管路运动方程 由于绝热流动温度会沿程升
