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1、离散数学II 群、环、域群、环、域、格、格与布尔代数与布尔代数 李占山李占山 翠文楼翠文楼413413 E-mail:zslizsliE-mail:zslizsli 课程安排 总学时：64 讲课学时：64(1-16周,每周4学时) 教材：离散数学孙吉贵等 -高等教育出版社 参考教材: 1离散数学-学习指导与习题解答孙吉贵等 -高等教育出版社 2代数结构与组合数学屈婉玲编著 - - -北京大学出版 社 3 离散数学习题集(抽象代数分册)张立昂编著-北京 大学出版社 4应用近世代数胡冠章编著 -清华大学出版社 课程重要性 v离散思想 v考研课程 v计算机等级考试课程 v程序员考试课程 v抽象思维能
2、力的培养 第一讲 内容提要 I. I. 群论的出现及其创始者群论的出现及其创始者GaloisGalois、 Abel,Abel,环论、域论与布尔代数环论、域论与布尔代数 II.II.近世代数的应用近世代数的应用 III.III.代数运算及其性质代数运算及其性质 IV. IV. 代数系统代数系统 I. 群论的出现 群论是现代数学非常重要的分支群论是现代数学非常重要的分支, , 群论产生群论产生 的开端非常平凡的开端非常平凡, , 但是群论的创立者却充满但是群论的创立者却充满 了传奇了传奇. . 这要从代数方程的求解方法谈起。这要从代数方程的求解方法谈起。 代数方程根式解法的研究有很悠久的历史。代
3、数方程根式解法的研究有很悠久的历史。 大家知道，一个实系数的代数多项式在实数大家知道，一个实系数的代数多项式在实数 域中只要能分解成一些实系数的一次因式与域中只要能分解成一些实系数的一次因式与 二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方 程程: : 与一次方程的解得到原方程的解。为此，与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的求人们试图对次数更高的方程得到类似的求 解公式解公式. .不过，由于一般三次方程相对于不过，由于一般三次方程相对于 二次方程求根公式要复杂得多，所以古代二次方程求根公式要复杂得多，所以古代 数学家在这方面的努
4、力都未能获得成功。数学家在这方面的努力都未能获得成功。 二次方程的求根公式二次方程的求根公式 直至直至1616世纪形如世纪形如 axax 3 3 +bx+bx 2 2 +cx+d=0+cx+d=0的三次方程的三次方程 的求根公式才被意大利数学家费罗的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)(Ferro)和和 塔尔塔里亚塔尔塔里亚( (TartaliaTartalia) ) 彼此独立发现。彼此独立发现。 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 ( (CardanoCardano) ) 在得知塔氏的发明后，央求塔氏在得知塔氏的发明后，央求塔氏 将求解方法告诉他，塔氏
5、在其允诺绝对保密将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密 的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言 ， 15451545年将塔氏关于三次方程的解法发表在年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作自己的著作大术大术( (ArsArs Magna) Magna)一书中一书中. . 在在 三次方程求解问题解决后，一般四次方程很三次方程求解问题解决后，一般四次方程很 快被意大利数学家费拉里快被意大利数学家费拉里( Ferrari)( Ferrari)所解决，所解决， 也发表在这部书中。也发表在这部书中。 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解当一般的二、三
6、、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。的求根公式。 但事情的发展似乎突然停了下来但事情的发展似乎突然停了下来. . 虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力, , 其中包括其中包括1818世纪中叶伟世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉大的瑞士数学家欧拉(Euler), (Euler), 经过三个世纪之久仍然没经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式有一个人能找出五次方程的求根公式. . 由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解 法，于是数学家们开始进行反思。
7、拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)在在 17701770年猜测年猜测: : “ “这样的求根公式不存在这样的求根公式不存在. .他预见到一般方程的可解他预见到一般方程的可解 性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题” ”。 群论的创始人伽罗华和阿贝尔 LagrangeLagrange的洞察力启发了年轻的的洞察力启发了年轻的AbelAbel与与GaloisGalois， 他们在继承了他们在继承了LagrangeLagrange留下的宝贵遗产基础上留下的宝贵遗产基础上 ，各自作出了重要的贡献。，各自作出了重要的贡献。 Abel
8、Abel （N.H.Abel,1802-1829)N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近挪威数学家，近 代数学发展的先驱者。代数学发展的先驱者。18021802年年8 8月月5 5日出生于一个日出生于一个 牧师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学牧师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学 ，1313岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异 。他。他1616岁自学数学名著，中学时被誉为岁自学数学名著，中学时被誉为“ “数学迷数学迷” ” 。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天 赋，不断给予指导与资助
9、。赋，不断给予指导与资助。 阿贝尔 1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全 是自学，并开始花大量时间考虑数学问题 ，做研究工作。1825年大学毕业后，获得 奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle) ，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著 名的数学刊物纯粹与应用数学杂志， 1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章， 其中就有关于一般五次方程不能用根式求 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。 阿贝尔 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家 的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一 个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被 看成字母，那么任何一个由这些系数所
10、组成 的根式都不可能是该方程的解。原来在三个 世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成 功，只因为这个问题就没有解。 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名 的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关 于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但 不幸没有得到重视，只好又返回柏林。 阿贝尔 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝 尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去 世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通 知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿 贝尔已无法前往接受这一职务了。 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年 ，有4位法国科学院院士上书挪威
11、国王，请他为阿贝尔 提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上 对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方 面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数 方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。 后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群 阿贝尔 18241824年年, , 挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔(Abel)(Abel)证明了拉格证明了拉格 朗日的看法朗日的看法. . 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高 斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高 斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方斯处理二项
12、式方程的具体方法去研究五次方 程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但 很快他发现其中存在的问题。很快他发现其中存在的问题。 阿贝尔 这时，这时，AbelAbel敏感地猜想到一般五次方程不可敏感地猜想到一般五次方程不可 能用根式求解的结论。能用根式求解的结论。 接着，接着，AbelAbel成功地证明了一条定理，今天称成功地证明了一条定理，今天称 之为之为AbelAbel定理。由此定理，定理。由此定理，AbelAbel就证明了：就证明了： “ “高于四次的一般方程不可能有一般形式的高于四次的一般方程不可能有一般形式的 根式解根式解” ”。这是数学史上的一项重要
13、成就。这是数学史上的一项重要成就。 阿贝尔 但是虽然没有通用公式但是虽然没有通用公式, , 有些特殊的五有些特殊的五 次方程有求根公式次方程有求根公式, , 那么自然会问那么自然会问: : 如何判如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式公式? ? 对具有根式解的代数方程的特征问题，阿对具有根式解的代数方程的特征问题，阿 贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题. .不幸不幸 的是，的是，18291829年死神夺去了年仅年死神夺去了年仅2626岁的他，岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。使他即将完成的光辉事业功亏一篑。
14、挪威天才数学家阿贝尔(Abel) 伽罗华 在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这 个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊.只活了20岁，而他 所留下的著作总共只有60页，但却以自己天才的创造 ，犹如划破黑夜长空的一颗彗星Galois的出现， 开创了置换群论的研究. 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11 年后才开始得到数学界的承认. 伽罗华幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。 伽罗华 不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很 快就发现了伽罗华的数学才能，
15、在他的指导 下，伽罗华开始研究代数方程理论，1828年 17岁时高中未毕业便有重大发现，写出了关 于循环连分数特别是五次代数解法的重要论 文。 18291829年年1818岁的他中学毕业参加声望很高的巴岁的他中学毕业参加声望很高的巴 黎高等工科大学的入学考试时黎高等工科大学的入学考试时, , 伽罗华失败了伽罗华失败了 , , 不得不进入较普通的师范学校不得不进入较普通的师范学校. . 伽罗华 18281828年，他把自己所写的论文送交法国年，他把自己所写的论文送交法国 科学院审查，同年科学院审查，同年6 6月该科学院曾举行例月该科学院曾举行例 会，由泊松（会，由泊松（S.D.Poisson)S.D.Poisson)和柯西两位著和柯西两位著 名数学家审查，但由于重视不够，原稿名数学家审查，但由于重视不够，原稿 被柯西弄丢了。被柯西弄丢了。 18291829年他又写了一些关于方程方面的重年他又写了一些关于方程方面的重 要论文。同年要论文。同年7 7月，他在巴黎高等工科大月，他在巴黎高等工科大 学的入学考试中再次失败。学的入学考试中再次失败。 伽罗华 怀着沮丧之情怀着沮丧之情, , 伽罗华于伽罗华于18301830年初又向年初又向 科学院提交了另一篇论文科学院提交了另一篇论文, , 这次是为竞这次是为竞 争一项数学大奖争一项数学大奖
