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1、曲线积分习题课 一、内容提要及教学要求 1 会计算两类曲线积分 (0)之交线, 从x轴正向看去为逆时针方向。 10 (1) 已知 解: 又L关于x轴对称,而sin(xy)关于y为奇函数,所以 于是 I = 12a 。 L的长度为a,求 即3x2+4y2=12,所以 11 12 13 OA 14 15 取l:x2+y2=r2,逆时针方向,则 16 解:L: 例5 计算 顺时针方向 注: 应充分利用L的方程简化被积函数 。 17 L:y=2x2上从A( ,0)到 B( ,0)的一段有向弧段。 解 : 所以 18 取l为x2+y2=2上从点A( ,0)经上半圆到点B( ,0)的有向曲线,则 或 2
2、Ox y AB 19 20 解 21 解:在不含原点的单连域内,任作两条起点为A终 点为B的光滑曲线C1、C2。 再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2 +C3成为包围原 点的正向曲线(如图所示) C2 C3 O C1 A B x y 则由题设知 所以有 22 由C1、C2的任意性知,在不含原点的单连通域内, 该曲线积分与路径无关。 (2) 由(1)知,在(x,y)(0,0)时,应恒有 即 即 取L:x2+2y2=1,取逆时针方向。则 23 起点对应= 0,终点处=2 例8 计算 O x y 所以 解: 为x2+y2+z2=a2(z0)与x2+y2ax(a0)之交线, 从x轴正向看去为逆时针方向。 24 是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕,从z轴 看去沿逆时针方向。 解:在xOy平面上的投影曲线L为x2+2y2=1(z=0) ,取逆时针方向。 所以的参数方程为 : 起点对应=0,终点对应=2。 25 利用格林公式: I=0 26 27 dw = F dr = 证明: 在半平面x0内有力 除原点外处处有 构成力场,其中K为常数, 证明此力场中力所做的功与路径无关 所以 28