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1、曲线积分习题课 一、内容提要及教学要求 1 会计算两类曲线积分 (0）之交线， 从x轴正向看去为逆时针方向。 10 (1) 已知 解： 又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以 于是 I = 12a 。 L的长度为a，求 即3x2+4y2=12，所以 11 12 13 OA 14 15 取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则 16 解：L： 例5 计算 顺时针方向 注： 应充分利用L的方程简化被积函数 。 17 L：y=2x2上从A( ，0)到 B( ，0)的一段有向弧段。 解 ： 所以 18 取l为x2+y2=2上从点A( ，0)经上半圆到点B( ，0)的有向曲线，则 或 2
2、Ox y AB 19 20 解 21 解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终 点为B的光滑曲线C1、C2。 再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2 +C3成为包围原 点的正向曲线（如图所示） C2 C3 O C1 A B x y 则由题设知 所以有 22 由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内， 该曲线积分与路径无关。 （2） 由（1）知，在(x，y)(0，0)时，应恒有 即 即 取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则 23 起点对应= 0，终点处=2 例8 计算 O x y 所以 解： 为x2+y2+z2=a2(z0)与x2+y2ax（a0）之交线， 从x轴正向看去为逆时针方向。 24 是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，从z轴 看去沿逆时针方向。 解：在xOy平面上的投影曲线L为x2+2y2=1（z=0） ，取逆时针方向。 所以的参数方程为 ： 起点对应=0，终点对应=2。 25 利用格林公式： I=0 26 27 dw = F dr = 证明： 在半平面x0内有力 除原点外处处有 构成力场，其中K为常数， 证明此力场中力所做的功与路径无关 所以 28
