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1、讨论课4振动和波动 2013.2 1 1. 如图所示，在光滑水平面上两弹簧和小球 在 y 方向做微振动（ya）。 （1）这一振动是简谐振动吗？ （2）求恢复力。 a ：自然长度 aa y y 0 k m y ：位移 2 解 这一微振动不是简谐振动！ （1）系统的势能函数： 3 aa y y 0 k m （2）求恢复力 不是简谐振动 4 2. 如图(a)所示，把一劲度系数为 k 的轻质弹簧的一 端固定，另一端系在质量为 m 的匀质圆柱体的对称轴 上，圆柱体可绕对称轴自由转动。今沿弹簧长度方向 拉开圆柱体然后释放，让圆柱体在水平面上作无滑动 滚动。 （1）证明系统作简谐振动；（2）求振动频率； （
2、3）求相应的线性恢复力；（4）当弹簧和圆柱体放 在斜面上（图(b)），情况如何？ k m k m （a）（b ） 5 （1）证明系统作简谐振动 静摩擦力 f 与弹簧的弹力 F 的方向相反。圆柱体 质心运动定理： 取垂直于纸面向里为正方向，设圆柱体的半径为R， 绕过质心轴转动定理： k m 0 x x F f C 无滑动滚动条件： 6 即 联立解得： 因此，系统围绕平衡位置作简谐振动。 （2）振动频率为 k m 0 x x F f C 7 （3）相应的线性恢复力 线性恢复力： 用 代表系统等效劲度系数 k m 0 x x F f C 8 （4）当弹簧和圆柱体放在斜面上，只是平衡位置向 x 轴正方
3、向移动 其他与水平情况相同。 k m 9 通过能量判 据求解： 静摩擦力不做功，系统机械能量守恒，且势能函 数为 ，则系统围绕平衡位置作简谐振动。 能量守恒可表示为 即 对时间求导，得 10 kk k mm 3. 求耦合双振子系统的固有频率和振动模式（即振 动函数）。 11 解 O1O2x1x2x 设： kk k mm 12 解得固有频率 ： 把 代入，解出 关系： 13 两种振动模式： mm mm 振幅、初相由初始条件确定。 14 4. 在受迫振动中，振幅出现极大值的现象称为位移 共振，速度振幅出现极大值的现象称为速度共振。证 明： （1）位移共振时，位移相位落后于驱动力近似为 （2）当驱动
4、力频率恰好等于固有频率时发生速度共振 ，这时速度与驱动力恰好同相。 15 （1）位移共振 16 （2）速度共振 17 (1) 1区入射波函数 ； (2) S1面上反射波 ， 设其振幅为 A1； (4)如果两列反射波在1区叠加后合振幅最小，介质2 厚度至少应多大? (3) S2面上反射回1区的 波 ，设振幅为 ； 求： 5. 如图所示，余弦波沿 x 方向传播， a 点振动为 r1u1r3u3 。 ， (5)如果两列反射波在1区叠加后合振幅最大,介质2厚 度至少应多大? r2u2r1u1 y d Dl S1 S2 0 12 a xx 3 3 r3u3 18 解r1u1r3u3 r2u2r1u1 y
5、 d Dl S1 S2 0 12 a xx 3 3 r3u3 19 ，k = 0，1，2， (4) 和 相消干涉： r2u2r1u1 y d Dl S1 S2 0 12 a xx 3 3 r3u3 r1u1r3u3 20 当第二种介质的厚度等于2/2时，从它的两个表 面反射波相消 介质 2 可作为 “隐形涂层” r2u2r1u1 y d Dl S1 S2 0 12 a xx 3 3 r3u3 取 k = 1： 21 当第二种介质的厚度等于2/4时，从它的两个表 面反射波加强 介质 2 可作为 “增反涂层” r2u2r1u1 y d Dl S1 S2 0 12 a xx 3 3 r3u3 取 k
6、 = 1： (5) 和 相长干涉： 22 6. 由驻波振动的简正模式和德布罗意假设，导出 宽度为 a 的一维无限深势阱中质量为 m 的粒子能量 的表达式。 U=0 UU U(x) x0 一维无限深方势阱 23 UU U(x) x0 解 粒子只能在阱内运动，驻 波波函数满足边值条件： 简正模式对应的波长 ： 德布罗意假设： 粒子能量： 24 7. 湖面上方 h=0.50m 处放一电磁波接收器，当 某射电星从地平面慢慢升起时，接收器可测到一系 列极大值。已知射电星所发射的电磁波的波长 =20cm，求出现第一个极大值时射电星的射线与竖 直线的夹角。把湖面看作是电磁波的反射面。 h 25 解 入射波和反射波在接收器 P 处的波程差： h B P A 2 入射波 反射波 26 8. 飞机在上空以速度 u=200m/s 水平飞行，发出 频率为0=2000Hz 的声波。地面上静止的观察者在 t=4s内测出的频率1=2400Hz 降为2=1600Hz ，已知 声速为 v=330m/s，求飞机飞行高度。 27 解 AB C h 28
