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1、工程流体力学 第八章 粘性流体绕物体的流动 第八章 粘性流体绕物体的 流动 实际流动都是有粘流 动，目前对粘性流动 研究方法主要有： 1、基于N-S方程的 紊 流模拟 2、流体实验 流动分类 根据工程的实际情 况，流动可分为： 内流和外流。 内流 ：如右上图 。 外流： 如右下图 。 本章的主要内容 本章主要讨论绕流问题，即外流问题。首先 将介绍粘性流体的运动微分方程，然后将给出边 界层的概念及其控制方程，最后针对绕流流动现 象的一些具体问题进行了讨论。 空间流动三维问题，NS方程及其求解 扰流阻力及其计算 附面层的问题 第一节 不可压缩粘性流体的运动微 分方程 以流体微元为分析对象，流体的运
2、动方程可写 为如下的矢量形式： 这里 ： 是流体微团的加速度，微分符号： 称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。 (8-1) (8-2) (8-3) 一、微元体的受力分析和运动微分方程 的推导 如图所示，控制体的各边长分别 为dx,dy,dz，微元体的体积为： （ 84） 作用在微元体上的质量力为 ，其可用 三个分量 表示为： （85） 这里： （86） 如果的三个分量是 ，则： （87） 作用在微元体上的表 面力 将微元体六个面上的应力分别投影到三个坐标方向 上如图 作用于微元体个面上的x轴方向的应 力 把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作 用在微元体上的表面力
3、在x方向的分量为： 作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的应力 v同理，表面力在y方向的分量为： v表面力在z方向的分量为： 作用在微元体上的表面 力 v如果用 , 和 表示单位体积的表面力，则： （ 88） 作用在微元体上的 表面力 将上式和式（87）代入式（81）则得： （89 ） 这就是微分形式的运动方程。 二、本构方程 v本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托 克斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流 动中，建立了牛顿流体的本构方程： （810） 上式也称为广义牛顿定律 三、纳维斯托克斯方程（简称NS 方程） v将式（810）代入式（89）可得： （ 8 11） 上式称纳
4、维斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘 性流体运动微分方程的又一种形式。 v对于不可压流体，其连续方程为： v对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动 方程为： （8 12） 三、纳维斯托克斯方程（简称NS 方程） 并考虑到拉普拉斯算子： 不可压缩粘性流体的运动方程还可写为： （813） 三、纳维斯托克斯方程（简称NS 方程） v如果质量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可压 缩粘性流体的运动方程的矢量形式为： (8-14) 右端第一项表示单位质量的质量力；第二项代表作用 于单位质量流体的压强梯度力；第三项代表黏性变形应力 。 三、纳维斯托克斯方程（简称NS 方程） v对
5、理想流动，认为流体无粘性， ，这时运动方程简 化为欧拉方程： （815 ） 或矢量形式 （816 ） 三、纳维斯托克斯方程（简称NS 方程） 当流体静止不动时， ，则运动方程简化为： （817） 三、纳维斯托克斯方程（简称NS 方程） 第二节 蠕动流动 v蠕动流动：雷诺数很低的流动。 v特点：流动的尺度和流动的速度均很小 v如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、 油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流 动等等。 一、蠕动流动的微 分方程 v对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角 坐标系下，可把纳维尔斯托克斯方程（814 ）组简化成 ： （818） 一、蠕动流动的微分方程 如果流动是不可压缩流体，则连
6、续性方程为： （819） 将式（818）依次求 、 、 ，然后相加， 并结合连续性方程，即得： 即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。 (8- 20) 二、绕球的蠕动 流动 v对如图所示的 无穷远来流以速度 均匀平行流沿 轴 绕半径为 的静止圆 球流动，得速度与压 强分布为： （821 ） 二、绕球的蠕 动流动 式中 为无穷远处来流的压力。 圆球以很小的速度在静止流体中作等速运 动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示 。 二、绕球的蠕动流 动 v在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高点和最 低点，分别为：在前驻点A（ 180 ） （822） 在后驻点B（ 0）： （823） v而切应
7、力的最大值，发生在C（ 90）为： （824） 等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差的绝对值。 二、绕球的蠕 动流动 v球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为 ： （8-25） 对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流 体作用在圆球上的阻力为： （8-26） 这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 为圆球的直径 。 第三节 边界层的概念 边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。 我们可以用如图所示的绕平板的流动情况说明边界 层的概念。 边界层的定义 v粘性流体绕流物体时，由于粘性的作用，在物体 的表面附近，存
8、在一速度急剧变化的薄层边 界层。 例如：来流 的流体绕流平板时，在平板表面形 成边界层。 边界层的定义 v在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增 加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状 态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊 流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之 为转捩区，转类区的开始点称为转捩点。转类区 下游边界层内的流动为紊流状态。 v在转捩区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点 的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁 面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称 为层流底层和粘性底层。 边界层的特点 v边界层内速度梯度很大，旋涡强度大，有旋 流动惯性力和粘性具有相同的数
9、量级，同时 考虑。 v边界层外部速度梯度很小，可以作为理想流 体的势流处理。 v边界层厚度随 的增大而增大，随 的增大而 减小。 v由于边界层很薄，因而可以近似认为，边界 层任一截面上各点压强相等。 边界层的分类 按流动状态，可分为层流边界层和紊流边界层。 判别准则雷诺准则： 平板上的临界雷诺数 = 边界层的构成： 1.层流边界层，当 较小时，边界层内全为层流，称为 层流边界层。 2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余 大部分为紊流区，称为混合边界层。 边界层的厚 度 v两个流动区域之间并没有明显的分界线。 v边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线 上速度达到势流区速度的99处的
10、距离作为边界 层的厚度，以表示，这一厚度也称边界层的名 义厚度。 v边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关 系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边 界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边 界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘 点开始，边界层逐渐变厚。 第四节 平面层流边界层的微 分方程 v在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、 速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为 一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程 。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质 量力，则流动的控制方程N-S方程为： （8-27） 第四节 平面层流边界层的微分 方程 v将上述方程组无量纲化。 为此考虑如图所示的一半 无穷绕流平板，假定无穷 远来流 的速度 ，流动绕 过平板时在平板附近形成 边界层，其厚度为 ，平板 前缘至某点的距离为 。取 和 为特征量，可定义如下 的 无量纲量： / / / / /（ ） 代入方程组（827），整理后得： （8-28） 式中雷诺数 第四节 平面层流边界层的微分 方程 v与 相比较是很小的 ，即 或 / 1，同时注意到， 与 、 与 、 与 具有 同一数量级，于是 、 、 和 的量级均为1， 并可以得到： 1 1 1 为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得 ：
